Математические действия с результатами измерений. Определение результата косвенных измерений
При косвенных измерениях значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, значения которых получены путем измерения.
В общем случае
Y=f(X1, X2, … , Xn) (31)
В состав аргументов в правой части уравнения (31) входят не только величины, значения которых определяют в данном опыте путем измерения, но и величины, значения которых являются справочными данными или найдены в предыдущих опытах (так называемые заимствованные величины).
Учитывая случайный характер оценок значений величин, подставляемых в расчетную зависимость, для вычислений используем формулы теории вероятностей [5].
Для нахождения математического ожидания и границ рассеяния величины Y представим зависимость (31) приближенно в виде линейной функции (разложение в ряд Тейлора). Ограничимся производными не более второго порядка
Здесь (a1, a2, …, ai ,… an ) – точка, в окрестностях которой осуществляется разложение функции.
Математическое ожидание оценки значения величины Y будет равно
Или
В формулу (32) подставляют a1, a2, …, ai ,… an , равные оценкам значений величин Xi. (Оценка значения величины - это показание средства измерений при однократном измерении и среднее арифметическое значение совокупности отсчетов - при многократном измерении; для заимствованной величины – справочное значение.)
Разность M(Xi) – ai равна (со знаком минус) отклонению оценки значения величины от математического ожидания, то есть - систематической погрешности. Если систематические погрешности исключены введением поправок, то имеем M(Xi) = ai . Тогда запись формулы (32) упростится
Здесь и ниже для обозначения среднего квадратического отклонения использована буква σ традиционная для теории вероятностей.
Из сопоставления формул (32) и (33) вытекает обоснованность требования, чтобы перед выполнением математических операций значения поправок, обусловленные систематическими погрешностями, были внесены в результаты измерений.
Коэффициент корреляции ρij характеризует взаимосвязь между изменениями величин, обусловленными влиянием одних и тех же факторов. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в границах –1< ρij < +1. При положительной корреляции, когда при увеличении Xi , вызванном изменением какого-либо фактора, наблюдается увеличение Xj, ρij >0. При отрицательной корреляции их изменения противоположны и ρij <0. Оценки Xi и Xj независимы (ρij =0), если изменение одной из них не сопровождается ожидаемым изменением другой.
Взаимная корреляция результатов измерений может быть обусловлена: взаимным пространственным расположением измерительных каналов; плохим экранированием; зависимостью погрешностей разных средств измерений, применяемых при данных косвенных измерениях, от одних и тех же влияющих величин и др.
Наличия корреляции можно ожидать в тех случаях, когда величины измеряют одновременно средствами измерений одного типа (одним и тем же средством измерений). В некоторых случаях причиной корреляции может быть оператор, выполняющий измерения.
При выполнении многократных косвенных измерений коэффициент корреляции вычисляют по формуле
Здесь буквой l обозначен порядковый номер совместного наблюдения оценок значений величин Xi и Xj ; m – общее число наблюдений; 
- средние арифметические значения оценок, полученных при измерении величин Xi и Xj
По формуле (34) вычисляют коэффициент корреляции между случайными погрешностями (стандартными неопределенностями типа А), полученными в результате многократных измерений. Для неисключенных систематических погрешностей и неопределенностей, относимых к типу В, он оценивается на основе анализа свойств применяемых средств измерений и метода измерений.
Так как в большинстве случаев точное значение коэффициента корреляции найти невозможно, то оценки значений величин Xi и Xj условно разделяют [15] на сильно коррелированные 0,7<| ρij |<1,0 и слабо коррелированные при | ρij |<0,7. В первом случае принимают ρij =+1,0 или ρij = -1,0, во втором - ρij = 0.
Если степень корреляции неизвестна, полезно оценить её влияние на результат вычислений, приняв последовательно ρij=0 и ρij=1.
При отсутствии корреляции
На практике, как правило, суммой дисперсий, которую называют поправкой на нелинейность, в формуле (35) пренебрегают ввиду её малости по сравнению со средним квадратическим отклонением (стандартной неопределенностью 
) оценки математического ожидания величины Y. Расчет оценки значения величины Y ведут по формуле
Однако в некоторых ситуациях (например, при большом разбросе статистических данных) это может привести к заметной методической погрешности (см. примеры 39, 40 и 49 в книге [29]).
Определим дисперсию оценки значения величины Y. Согласно книге [5], в случае некоррелированных и независимых величин, справедлива формула
Формулу (36) можно применять в случаях, когда известны достоверные оценки центральных моментов μ3 и μ4.
Для величин, распределенных по закону, близкому к нормальному, запись формулы (36) существенно упрощается
Руководство по выражению неопределенности измерений [24] предлагает следующие формулы для расчета суммарной дисперсии.
При незначительной нелинейности зависимости (31)
При значительной нелинейности, когда распределение каждого Xi располагается симметрично относительно среднего значения,
При незначительной нелинейности для коррелированных величин
При вычислении значений частных производных во всех рассмотренных случаях подставляют оценки значений величин Xi, то есть a1, a2, …, ai ,… an.
Формулы (39) – (40) применяют для расчета как погрешности оценки величины Y, так и расширенной неопределенности. Запишем расчетные зависимости для некоррелированных случайных величин при незначительной нелинейности с учетом ранее принятых обозначений.