Рекурсивные цифровые фильтры
Недостатком трансверсальных фильтров являются их ограниченные возможности. Рекурсия в математике означает возвращение к данным, полученным на предыдущем этапе вычислений, в радиотехнике это выливается в обратные связи.
Алгоритм рекурсивной фильтрации
– тая выборка выходного сигнала формируется как взвешенная сумма – той входной выборки, некоторого количества 
предыдущих входных выборок, а также некоторого количества 
предыдущих выходных выборок. Аналогично предыдущему случаю можно записать разностное уравнение рекурсивной фильтрации
,(4.53)
где 
– весовые коэффициенты трансверсальной части, 
– весовые коэффициенты рекурсивной части.
Схема алгоритма представлена на рисунке 4.14. Когда заполнятся все линии задержки фильтр будет производить суммирование 
входных отсчетов и выходных отсчетов.
Определим передаточную функцию, предварительно найдем изображение выходного сигнала
, (4.54)
тогда
. (4.55)
Оказывается, что если 
, то фильтр может загенерировать.
Определим ККП и системную функцию фильтра
, (4.56)
. (4.57)
Импульсная характеристика будет содержать бесконечное множество импульсов. Это будет бесконечная импульсная характеристика (БИХ – фильтр).
Наличие ОС ставит проблему устойчивости, т.к. возможно самовозбуждение.
Для того, чтобы фильтр был устойчивым, полюса передаточной функции должны лежать в левой полуплоскости.
Для системной функции условие устойчивости выполняется при нахождении ее полюсов внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.
У устойчивого фильтра импульсная характеристика затухающая.
Рекурсивный фильтр первого порядка
Для этого фильтра 
и 
. Трансверсальная часть не содержит элементов задержки.
При дальнейшем анализе 
. Запишем передаточную функцию
, (4.58)
а ККП будет равен
. (4.59)
АЧХ в свою очередь будет равно
(4.60)
Рассмотрим два случая
1) 
. В этом случае 
при 
, где 
. (4.61)
при 
, где 
. (4.62)
2) 
. Этот фильтр выделяет частоты , где , а подавляет , где
АЧХ фильтра представлены на рисунке 4.16
Если сигнал удовлетворяет теореме Котельникова, то для этого сигнала фильтр представляет собой ФНЧ (имеется ввиду случай, когда , для случая это будет ФВЧ). Для сигналов с широким спектром это будет гребенчатый фильтр более качественный, чем трансверсальный.
Импульсная характеристика рекурсивного фильтра первого порядка показана на рисунке 4.17. Надо заметить, что затухающей импульсная характеристика будет при условии, что 
.
Если , то импульсная характеристика будет знакопеременной (рисунок 4.18).
