Приклад виконання завдання. Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m2 = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m2 = 2 кг та довжиною м

Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m2 = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m2 = 2 кг та довжиною м, матеріальна точка масою mА= 0,5 кг, яка знаходиться в точці А (ОА=2/3 ).

Система пружин жорсткістю С1=2·103Н/м, С2=3·103Н/м, та С3=4·103Н/м знаходиться у положенні статичної рівноваги.

В деякий момент часу точку О зміщують із положення рівноваги вверх на х0=2см і надають швидкість ν0 = 3 м/с вертикально вниз. Одночасно ротор електродвигуна починає обертатись із постійною кутовою швидкістю ω = 1/2·ρ (ρ – частота збурювальної сили) навколо горизонтальної осі.

Знайти закон та побудувати графік (при , де T – період) руху центра мас (точка О) електродвигуна.

Рисунок 3.11

 

Розв’язання. Систему пружин замінюємо однією еквівалентною пружиною жорсткістю С

,

де

С13 = С1·С3 /(С13) = 2·103·4·103/(2·103+4·103) = 4/3·103 Н/м.

 

λ

Рисунок 3.12

 

Розглянемо рух невільної системи тіл (рис. 3.11): електродвигуна 1, двох однорідних стержнів 2, двох матеріальних точок А. Центр мас О електродвигуна зміщений із положення статичної рівноваги на величину х (рис. 3.12), а стержні 2 повернулися на кут φ навколо горизонтальної осі О. Дію в’язі (пружину жорсткістю С) замінюємо реакцією в’язі – силою Fпр. Оскільки в точці деформація пружин дорівнює нулю, то

 

Fпр= С· (х+λ), (3.1)

де λ – статична деформація пружин, яка знаходиться за формулою

λ= (P1+2P2+2PA ) /C,

де P1,P2,PA – вага відповідно тіл 1,2 та матеріальної точки А.

Кутова швидкість обертання ротора

 

,

 

оскільки при явищі резонансу частота збурювальної сили p дорівнює власній частоті коливань системи k= (m – маса системи)

Для дослідження руху корпуса електродвигуна (рис.3.12) використаємо теорему про зміну головного вектора кількості руху системи в проекції на вісь х.

 

(3.2)

 

, (3.3)

 

Проекція Qх головного вектора кількості руху системи на вісь х

 

. (3.4)

 

Використовуючи теорему додавання швидкостей, отримаємо проекцію швидкості точки А і швидкості центра мас тіл 2 на вісь х (рис.3.12).

(3.5)

,

де .

Тепер формула (3.4), враховуючи (3.5), запишеться :

Qх= ( +2m2+2m )-( m2+ m ) (3.6)

 

Підставляючи значення Qх (3.6) та Fxe (3.3) в теорему (3.2), отримаємо диференціальне рівняння:

 

.

Або , (3.7)

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7) складається із загального розв’язку однорідного диференціального рівняння 1+ х1=0, а саме:

 

х1=B1coskt + B2 sinkt (3.8)

 

та частинного розв’язку х2 неоднорідного диференціального рівняння (3.7), який будемо шукати у вигляді:

 

х2=B3cosωt. (3.9)

 

Із (3.7) враховуючи (3.9), знаходимо B3

 

-ω2B3cosωt + k2B3cosωt = h0cosωt,

.

 

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7)

(3.10)

 

Постійні інтегрування B1 та B2 визначимо із початкових умов:

.(3.11)

Швидкість V точки О (рис.3.12)

Із рівнянь (3.10), (3.12) та початкових умов (3.11) знаходимо постійні інтегрування B1 та B2 .

-0,02 = B1+0,007, 3 = 22,86 B2. B2 = 0,13 м; B1 = -0,027м.

Тепер рівняння (3.10) руху точки О електродвигуна запишеться:

x=-0,027cos(22,86t) +0,13sin(22,86t)+0,007cos(11,43t). (3.13)

 

Рисунок 3.13

 

На рис.3.13 наведений графік руху точки О корпуса електродвигуна, який отриманий на підставі формули (3.13).

 

Відповідь: