Приклад виконання завдання

До системи однорідних тіл 1 та 2 (рис. 8.11), що обертаються з кутовою швидкістю = 6с-1, прикладається обертальний момент

М = (3+7t) Н·м. Знайти статичні та додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t1 = 2с, якщо: m1=3 кг; m2=5 кг; е1=0,1 мм;е2= 0,3 мм; l1= 0,25 м; l2 = 0,25 м; а = 0,05 м; b = 0,15 м; R1=0,1 м; R2=0,2 м.

 

 

Розв'язання. Переміщенню тіл 1 та 2 (рис 8.11) перешкоджають в'язі: нерухомі (циліндричні) шарніри А і В. На підставі аксіоми звільнення від в'язей, дію шарнірів А і В та тіла замінюємо реакціями в'язей – YA, XA, YB, XB (рис. 8.12).

 

 

 

Рисунок 8.1

 

 

Рисунок 8.2

 

 

 

 

Рисунок 8.3

 

 

 

 

Рисунок 8.4

 

 

 

Рисунок 8.5

 

 

 

Рисунок 8.6

 

 

 

Рисунок 8.7

 

 

 

Рисунок 8.8

 

 

 

Рисунок 8.9

 

 

Рисунок 8.10

 

 

 

Рисунок 8.11

 

Реакції YA, XA, YB, XB запишемо як суму статичних YAC, XAC, YBC, XBC та додаткових динамічних реакцій YA∆, XA∆, YB∆, XB∆.

YA = YAC + YA∆, XA = XAC + XA∆, (8.1)

YB = YBC + YB∆, XB = XBC + XB∆.

Статичні реакції в'язей визначаються при = 0, = 0 з рівнянь (рис.8.12):

(8.2)

де

Розв’язуючи систему рівнянь, маємо:

.

 

Таким чином: RAC = 54,85 Н, RBC = 23,63 Н.

 

Для визначення реакцій циліндричних шарнірів А і В (рис.8.12), використаємо принцип Д’Аламбера:

В проекціях на осі X, Y, Z

(8.3)

де сили інерції, зведені до центрів D і K;

де ε – кутове прискорення;

ω – кутова швидкість тіл;

- моменти інерції тіл відносно осі Z; M=(3+7t)

Із останнього рівняння системи (8.3) знайдемо кутову швидкість ω та кутове прискорення ε тіл.

,

де .

 

Оскільки , тоді

. (8.4)

Інтегруємо диференціальне рівняння (8.4) при початкових умовах: при

t1=0,

(8.5)

Звідки: .

Визначимо кутове прискорення (8.4) та кутову швидкість (8.5) при t1 = 2 c.

де .

Додаткові динамічні реакції опор А і В знайдемо із перших чотирьох рівнянь системи (8.3), враховуючи (8.1) та (8.2)

де

Або:

(8.6)

 

Із рівнянь (8.6) знаходимо складові додаткових динамічних реакцій циліндричних шарнірів: , при

Додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В

При додаткові динамічні реакції шарнірів складають 59% для шарніра А та 33,6% для шарніра В від статичних реакцій в’язей.

Відповідь: R∆A = 31,94 н, R∆В = 7,95 н.

Принцип Лагранжа

Д. 9 Визначення реакцій в’язей врівноваженого плоского механізму за допомогою принципу віртуальних переміщень

 

Плоский механізм, що зображений на рисунках 9.1 – 9.5 в тридцяти варіантах, знаходиться в рівновазі під дією сил і моменту . Розміри ланок, кути, значення і наведені в таблиці 9.1 по варіантах.

 

Таблиця 9.1

Варіант Н см град.
Р М r1 R1 r2 R2 l a b

 

Застосовуючи принцип віртуальних переміщень, визначити силу , якщо ланки механізму є ідеальними твердими тілами, а тертя відсутнє.