ДC.7 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху матеріальної системи

Матеріальна система(рис.7.1-7.5) рухається із стану спокою під дією сили тяжіння. Знайти прискорення та швидкість тіла 1 у момент часу, коли воно пройде шлях S. Масами шнурів, силами опору в шарнірах знехтувати. Тіла котяться по поверхнях без ковзання.

Величини для розрахунків наведені в табл. 7.1 де прийнято такі позначення: m1 ,m2 ,m3 – маси тіл 1, 2, 3; R2, r2, R3, r3 — найбільші та найменші розміри ступінчастих шківів тіл 2 та 3; ρ2x, ρ3x — радіуси інерції ступінчастих шківів 2 та 3 відносно осі обертання; α,β кути нахилу площин до горизонту. Якщо тіла (шківи) 2 або 3 однорідні, тоді при розрахунках брати R2, R3. Шнури над похилими площинами паралельні цим площинам.

 

Таблиця 7.1

Варіант m1, кг m2, кг m3, кг R2, M r2, M R3, M r3,M ρ2x, M ρ3x, M α
0.6 0.5 0.5 0.3 0.6 0.4
0.8 0.6 0.7 0.4 0.7 0.6
0.65 0.5 0.6 0.4 0.5 0.5
0.5 1.5 0.5 0.4 0.45 0.2 0.45 0.3
0.75 1.25 0.4 0.3 0.3 0.15 0.35 0.2
0.4 0.35 0.35 0.25 0.3 0.3
0.3 0.3 0.2 0.25 0.15 0.2 0.2
0.2 0.3 0.2 0.15 0.25 0.2 0.2 0.25
0.7 0.6 0.6 0.3 0.65 0.5
0.75 0.65 0.65 0.45 0.7 0.5
         
  3       4      
  5       6      
                         

Рисунок 7.1

 

 

       
       
       

Рисунок 7.2

 

 

           
       
       

Рисунок 7.3

 

 

       
         
     

Рисунок 7.4

 

       
       
     

 

Рисунок 7.5

 


Приклад виконання завдання

 

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S1, якщо матеріальна система (рис.7.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m1=10кг; m2=2кг; m3=1кг; R2=0.4M; r2=0.3M; R3=0.3M; r3=0.2M; ρ2=0.35M; ρ3=0.25M; α=30˚; β=45˚; S1=0.4M

 

Рисунок 7.6

 

 

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.7.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

 

=∑Nе+∑Nі (7.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1; ∑Nі та ∑Nе− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи. Матеріальна система (рис.7.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді

∑ Nі=0. (7.2)

 

І диференціальне рівняння (6.1) набуває вигляду

 

=∑ Nе. (7.3)

 

Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл записавши їх через швидкість V1 центра мас тіла1.

Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О1 (рис.7.6)

w1 = (7.4)

де R1 – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.

Кутова швидкість тіла 2

(7.5)

 

Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.

. (7.6)

 

Оскільки точка О3 – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді

(7.7)