Составление уравнений динамики упругих систем с распределенными массами
(волновые уравнения)
Для большого класса машин и механизмов решение задач динамики строится на физических моделях с сосредоточенными массами, т.к. распределенные массы, как правило, можно заменить сосредоточенными путем их приведения (см. п. 1.4). Однако в ряде случаев (большая протяженность рассчитываемых объектов, большие скорости деформации последних и т.п.) необходимо рассматривать элементы машины как системы с распределенными массами.
Рассмотрим порядок составления уравнений движения частиц для наиболее простых и характерных случаев, которые часто встречаются в практике расчетов.
На рис. 37 приведена схема стержня постоянного сечения S, подвергающегося растяжению и сжатию.
Известно, что скорость распространения упругой волны в прямом стержне
, (282)
где 
– удельный вес материала стержня.
Жесткость растягиваемого или сжимаемого стержня равна
. (283)
Если масса стержня
, (284)
то
. (285)
Жесткость определяет частоту колебаний системы. С уменьшением L (при неизменном значении m) жесткость резко возрастает.
Время распространения упругой волны по длине стержня может быть выражено в виде
. (286)
С уменьшением L время tB уменьшается. Скорость распространения упругой волны в сплошных металлических средах равна 5000 м/с. Время tB при L=10 м равно 0,002 с. Таким образом, при малых L упругая волна достигает противоположного конца стержня в течение малого времени.
Время распространения упругой волны в длинных стержнях существенно, пренебрегать им нельзя, и движение отдельных сечений следует рассматривать более строго.
Если U – продольное перемещение любого сечения стержня, x – координата рассматриваемого сечения, то относительное удлинение стержня можно записать в виде 
, а растягивающую силу 
. Приращение ее будет
.
Сила 
вызывает движения элемента, ограниченного длиной dx, с ускорением 
. Используя принцип Даламбера, можем написать
, (287)
или
. (288)
Заменим 
. Тогда получим вместо (288)
. (289)
Уравнение (289) называется волновым уравнением и описывает свободные плоские (одномерные) колебания стержня с распределенной массой.
При наличии возмущающей силы, вызывающей вынужденные плоские (одномерные) колебания системы, волновое уравнение имеет вид
. (290)
Волновое уравнение свободных колебаний пространственной системы в координатах x, y, z:
. (291)
15. Способы решения волновых уравнений
Общий интеграл волнового уравнения вида (289) находят введением новых переменных
, 
,
откуда
и 
. (292)
По правилам дифференцирования сложной функции
; (293)
. (294)
Дифференцируя выражения для x и t по z и h, получим:
; 
; 
; 
.
Подставляя эти значения в (293) и (294), найдем
; (295)
. (296)
Затем, дифференцируя и применяя те же правила еще раз, получим
; (297)
. (298)
Вычитая (298) из (297) и преобразуя, найдем
. (299)
Поскольку
, (300)
имеем
, (301)
откуда можем заключить, что 
не зависит от h и является функцией только z.
Выразим
. (302)
Тогда
, (303)
где 
– некоторая функция от h, которая представлена в виде постоянной интегрирования по z.
Обозначая
, (304)
получим общее решение уравнения (302)
, (305)
или в прежних переменных
. (306)
Начальные условия: при 
и 
.
Подставляя начальные условия, получим
, (307)
. (308)
Из выражения (308) найдем
, (309)
где 
– интегрируемое выражение 
.
Следовательно,
, (310)
. (311)
Подставляем значения 
и 
в общее решение (306):
, (312)
или
. (313)