Загальна характеристика системи MOODLE

ВСТУП

В Україні, що переживає перехідний період від країни з нерозвиненими телекомунікаціями до країни з високим рівнем їхнього розвитку, кількість студентів, які здатні використовувати можливості мережі Інтернет, вже є достатньо великою та зростає дуже великими темпами. Одночасно відбувається розвиток IT-технологій та засобів телекомунікацій. Ці фактори викликають постійне зростання уваги до засобів дистанційної освіти та збільшення кількості електронних курсів.

Сучасна людина стикається з необхідністю навчання протягом усього життя. Тому освітні заклади та різні компанії сьогодні намагаються зробити свої навчальні ресурси доступними в будь-який час. Електронні навчальні системи надають для цього чудову можливість. Системи електронного навчання за роки свого існування довели свою доцільність та широко застосовуються.

Електронне навчання успішно використовується як доповнення до традиційних методів навчання, а також для розгортання нових форм дистанційної освіти.

Актуальність теми дослідження зумовлена необхідністю визначення нових стратегій підготовки педагогічних кадрів, прагненням досягти ідеалу фахівця, що відповідає вимогам сьогодення. В умовах входження України у світовий освітній простір, гуманізації та модернізації освіти одним із засобів професійної підготовки педагогів насамперед є електронні засоби навчання (електронні підручники, електронний контроль для виявлення рівня теоретичних знань, електронні лекції, електронні фахові і не фахові видання, віртуально-тренінгова система навчання тощо), які забезпечують підвищення якості підготовки фахівців до майбутньої професійної діяльності у будь-якій сфері.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка, створення й упровадження електронного навчального курсу «Лінійна алгебра» на тему: «Елементи теорії векторних просторів і систем лінійних рівнянь». Створення такого курсу сприятиме повнішому і глибшому засвоєнню студентами навчального матеріалу, закріпленню його в пам’яті, а також допоможе викладачам у здійсненні диференційованого підходу до навчання.

Відповідно до мети дослідження вирішено такі завдання:

1. Зібрано основні положення теоретичного матеріалу, поділені на вісім тем, а саме:

Тема 1. Елементи теорії множин.

Тема 2. Відношення.

Тема 3. Відповідності. Відображення.

Тема 4. Основні алгебраїчні системи.

Тема 5. Комплексні числа.

Тема 6. Векторні простори.

Тема 7. Матриці.

Тема 8. Системи лінійних рівнянь.

2. Підібрані приклади розв’язання типових задач.

3. Створені індивідуальні навчально-дослідні завдання.

4. Складений підсумковий тест.

Кожна тема розпочинається з теоретичного матеріалу, в якому висвітлено основні поняття та твердження даної теми, дані приклади розв’язання типових задач.

Електронний навчальний курс із вказаних розділів «Лінійної алгебри» призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «математика» і створений в системі Moodle.

Система Moodle (модульна об’єктивно-орієнтована навчальна система) є пакетом програмного забезпечення для створення курсів дистанційного навчання та веб-сайтів і поширюється безкоштовно. Відзначимо широкий набір модулів-складових для курсу: форум, зошит, тест, ресурс, опитування, анкета, домашнє завдання. На першій сторінці курсу передбачена можливість відобразити зміни, які відбулися з часу останнього входу студента до системи. Існує доступний звіт відносно входження користувача до курсу й роботи над різними модулями. Значну частину електронних текстів можна редагувати спеціально вбудованим редактором. Студенти можуть самостійно слідкувати за власною успішністю, використовуючи ресурс «Журнал оцінок».

Використання системи Moodle відкриває широкі можливості в організації денної форми навчання. Це обумовлюється особливостями організації профільного навчання та проведення інтенсивної підготовки студентів до іспитів, коли передбачена велика кількість часу на самостійну роботу. Використання в процесі навчання технологій електронної освіти дає можливість не витрачати час на аудиторних заняттях для розв’язування елементарних задач, а зосередитися на творчих завданнях.

Таким чином, запропонований далі електронний курс буде одним з ефективних інформаційних технологій, які використовуються для підтримки денної форми навчання, оскільки він допоможе студентам при вивченні окремих тем, викладачу — оцінити рівень засвоєних знань і забезпечить співпрацю та спілкування між учасниками навчального процесу.

РОЗДІЛ 1. СИСТЕМА УПРАВЛІННЯ НАВЧАЛЬНИМИ

РЕСУРСАМИ MOODLE

Загальна характеристика системи MOODLE

Модульна об’єктно-орієнтована навчальна система MOODLE забезпечує можливість для створення електронних навчальних курсів, що відповідають усім особливостям організації освітнього процесу сучасного вищого навчального закладу, у якому поєднуються різні форми навчання, структура та спосіб подання навчально-методичних матеріалів в електронному вигляді легко варіюються залежно від конкретної форми їх використання, забезпечуючи підтримку персоналізованих предметних середовищ у рамках особистісно-орієнтованого принципу організації навчальної діяльності.

Moodle — вільна безкоштовна система управління навчанням.

Після порівняння декількох десятків систем дистанційної освіти виявилось, що лідером серед відкритих програмних продуктів є модульне об’єктно-орієнтоване середовище управління навчанням — "Moodle", яке відповідає всім необхідним основним критеріям:

- функціональність — наявність набору функцій різного рівня, (форуми, чати, аналіз активності учнів, управління курсами та навчальними групами тощо);

- надійність — зручність адміністрування та управління навчанням, простота оновлення контенту на базі існуючих шаблонів, захист користувачів від зовнішніх дій тощо;

- стабільність — висока міра стійкості роботи системи стосовно різних режимів роботи та активності користувачів;

- вартість — сама система безкоштовна, витрати на її впровадження, розробку курсів і супровід — мінімальні;

- відсутність обмежень за кількістю ліцензій на слухачів (студентів);

- наявність вбудованих засобів розробки та редагування навчального контента, інтеграції різноманітних освітніх матеріалів різного призначення;

- підтримка міжнародного стандарту SCORM — основи обміну електронними курсами, забезпечує перенесення ресурсів в інші системи;

- система перевірки та оцінки знань слухачів в режимі он-лайн (тести, завдання, контроль активності на форумах;

- зручність та простота використання та навігації — інтуїтивно зрозуміла технологія навчання (можливість легко знайти меню допомоги, простота переходу від одного розділу до іншого і спілкуватися з інструктором тощо;

- модульність — наявність в навчальних курсах набору блоків матеріалу, які можуть бути використані в інших курсах.

Moodle дозволяє організувати навчання в процесі спільного вирішення навчальних завдань, здійснювати взаємообмін знаннями.

У цій системі реалізовано досить ефективні засоби створення та доступу до різнотипної інформації. Достатньо продумана система санкціонованого доступу до інформації, виділено три категорії користувачів, що мають різні права: адміністратор, викладач, студент. Вона дає можливість супроводжувати дистанційне навчання для невеликих груп.

Для організації предметного курсу вся навчальна інформація в системі розбивається на тематичні модулі, кожен з яких може включати в себе лекційний (теоретичний матеріал), лабораторні (або практичні) роботи, завдання для самостійного опрацювання, тест для самоконтролю та контролюючий тест або завдання (а можливе проведення і того і іншого). Для кожного виду діяльності передбачаються терміни для виконання. Час на виконання завдань може регулюватися викладачем, але кращим буде підтримання визначеного графіка для чіткого проходження всіх запланованих тем. Перед початком проходження курсу викладач повинен визначити календарний план та оформити його засобами системи. Тобто, для кожного виду діяльності вказати час початку та термін на виконання. Такий підхід дозволяє зорганізуватися як викладачам так і слухачам. Оскільки Moodle самостійно відслідковує час та постійно нагадує про ті події, які незабаром починаються. Важливим при цьому є правильне користування ресурсом календаря — важливі дати підсвічуються, тим самим підказуючи про настання запланованих робіт.

Важливою особливістю Moodle є те, що система створює і зберігає портфоліо кожного студента: всі здані ним роботи, всі оцінки та коментарі викладача до робіт, всі повідомлення в форумі.

Викладач може створювати і використовувати в рамках курсу будь-яку систему оцінювання. Всі поля по кожному курсу зберігаються в відомості.

При підготовці та проведенні занять у системі Moodle викладач використовує набір елементів дистанційного курсу, до якого входять:

Глосарій

Ресурс

Завдання

Форум

Wiki

Урок

Тест.

Поєднуючи різні елементи курсу, викладач організує вивчення матеріалу таким чином, щоб форми навчання відповідали цілям та завданням конкретних занять.

Глосарій дозволяє організувати роботу з термінами, при цьому словникові статті можуть створювати не лише викладачі, але й студенти. Терміни, які занесені до глосарію, підсвічуються у всіх матеріалах курсів і є гіперпосиланнями на відповідні статті глосарія. Система дозволяє створювати як глосарій курсу, так і глобальний глосарій, доступний учасникам всіх курсів.

В якості ресурсу може виступати будь-який матеріал для самостійного вивчення, проведення дослідження, обговорення: текст, ілюстрація, web-сторінка, аудіо чи відео файл та ін. Для створення web-сторінок в систему вбудований візуальний редактор, що дозволяє викладачу, що не знає мови розмітки HTML, з легкістю створювати web-сторінки, що включають елементи форматування, ілюстрації, таблиці.

Незважаючи на домінуюче положення програмних продуктів Microsoft, та відповідно збереження документів у форматі MS Office (MS Word, MS PowerPoint та інше), їх використання для подання навчального матеріалу є недоцільним. У багатьох випадках розробка навальних ресурсів виконується за допомогою офісного набору програм з подальшою конвертацією у необхідних формат подання навчальних ресурсів.

Електронні лекції, на відміну від простого читання підручника, мають низку додаткових властивостей. Вони насичені різного роду інтерактивами, що дозволяє постійно змінювати вид діяльності. Наприклад, використовуючи можливість прихованого тексту викладач має можливість в лекціях задавати питання по прочитаному матеріалу попередньо ховаючи від читача відповідь. Той в свою чергу намагається дати відповідь на питання та, відкривши прихований текст, має можливість перевірити її правильність. Також, в лекціях викладач може розміщувати аудіо та відео матеріал, для наочної демонстрації описаного.

Виконання завдання — це вид діяльності студента, результатом якої зазвичай стає створення та завантаження на сервер файлу будь-якого формату або створення тексту безпосередньо в системі Moodle (за допомогою вбудованого візуального редактора).

Викладач може оперативно перевірити складені студентом файли або тексти, прокоментувати їх і, при необхідності, запропонувати доопрацювати в певних напрямках. Якщо викладач вважає це необхідним, він може відкрити посилання на файли, складені учасниками курсу, і зробити ці роботи предметом обговорення в форумі. Така схема дуже зручна, наприклад, для творчих курсів.

Якщо дозволено викладачем, кожен студент може здавати файли неодноразово — за результатами їх перевірки; це дає можливість оперативно коригувати роботу, добиватися повного вирішення поставленої задачі.

Всі створені в системі тексти, файли, завантажені студентом на сервер, зберігаються в портфоліо.

Елемент курсу «Урок» (може зустрічатися термін тренінги) дозволяє організувати покрокове вивчення навчального матеріалу. Масив матеріалу можна розбити на дидактичні одиниці, в кінці кожної з них дати контрольні питання на засвоєння матеріалу. Система, налаштована викладачем, подбає про те, щоб, за результатами контролю, перевести учня на наступний рівень вивчення матеріалу чи повернути до попереднього. Цей елемент курсу зручний ще й тим, що він дозволяє проводити оцінювання роботи учнів в автоматичному режимі: викладач лише задає системі параметри оцінювання, після чого система сама виводить для кожного студента загальну за урок оцінку, заносить її в відомість.

Елемент курсу «Тести» дозволяє викладачу розробляти тести з використанням запитань різних типів:

Запитання в закритій формі (множинний вибір)

Так / ні

Коротка відповідь

Числове

Відповідність

Випадкове запитання

Вкладена відповідь.

Запитання тестів зберігаються в базі даних і можуть повторно використовуватися в одному або різних курсах.

Значна кількість параметрів тестових завдань дозволяє достатньо повно контролювати процес тестування. Наприклад, при проходженні тесту може бути використано кілька спроб, кожна з яких автоматично фіксується. Можливо встановити ліміт часу на роботу з тестом. Оцінювання може здійснюватися за наслідками першої спроби, останньої спроби або як середнє арифметичне всіх використаних спроб тестування. Викладач має нагоду переглядати відповіді студентів на кожне тестове завдання або відразу все. Для подальшого аналізу результати і статистика проходження тестових завдань зберігаються в базі системи, а також можуть бути скопійовані або вислані на адресу е-mail викладача у вигляді текстового файлу або у вигляді електронної таблиці.

Окрім використання тестових завдань і автоматичного оцінювання виконання студентами тестів в системі передбачена можливість отримання детальних звітів, що стосуються різних аспектів не тільки тестування, але і всієї навчальної діяльності студентів (активність, час, присвячений на ознайомлення з окремим ресурсом, уроком або на весь курс конкретного студента або всієї групи і т.д.). Такий моніторинг і збір статистичних даних є додатковою ефективною і об'єктивною допомогою при всебічному оцінюванні результатів навчальної діяльності і проектуванні подальшої індивідуальної траєкторії навчання.

Широкі можливості для комунікації — одна з найбільш сильних сторін Moodle. Система підтримує обмін файлами будь-яких форматів — як між викладачем і студентом, так і між самими студентами. Сервіс розсилки дозволяє оперативно інформувати всіх учасників курсу або окремі групи про поточні події. Форум дає можливість організувати навчальне обговорення проблем, при цьому обговорення можна проводити по групах. До повідомлень у форумі можна прикріплювати файли будь-яких форматів. Чат дозволяє організувати обговорення навчальних проблем у режимі реального часу. Сервіси «Обмін повідомленнями», «Коментар» призначені для індивідуальної комунікації викладача та студента: рецензування робіт, обговорення індивідуальних навчальних проблем.

Форум зручний для навчального обговорення проблем, для проведення консультацій. Форум можна використовувати і для завантаження файлів студентами — в такому випадку навколо цих файлів можна побудувати навчальне обговорення, дати можливість самим студентам оцінити роботи один одного.

При додаванні нового форуму викладач має можливість вибрати його тип із декількох: звичайний форум з обговоренням однієї теми, доступний для всіх загальний форум або форум з однією лінією обговорення для кожного користувача.

 

 

1.2. Створення навчального курсу «Лінійна алгебра» у середовищі управління навчальними ресурсами MOODLE

Розроблений електронний навчальний курс «Лінійна алгебра» розглядається як сукупність навчальних ресурсів, необхідних для аудиторної, самостійної та індивідуальної роботи студента і містить:

1) назву дисципліни;

2) тексти основних фактів та прикладів розв’язання задач з теми, подані в електронному вигляді;

3) індивідуальні навчально-дослідні завдання, подані в електронному вигляді;

4) тестові завдання для підсумкового контролю з використанням запитань в закритій формі (множинний вибір).

Всі тексти основних фактів та прикладів розв’язання задач з теми включають в себе інтерактивні елементи, які дозволяють студентам закріпити знання, отримані на заняттях. Звичайно, читання таких лекцій не звільняє студентів від відвідування занять, а призначене, в першу чергу, для закріплення пройденого матеріалу.

Індивідуальні навчально-дослідні завдання різних типів, подані в електронному вигляді у PDF-форматі, розроблені для кожного студента. Подібний підхід дуже економить час викладача і студентів, оскільки останні у зручний для себе час можуть ознайомитися із завданнями для виконання.

Тестові завдання для підсумкового контролю з використанням запитань в закритій формі (множинний вибір) складаються з 31 запитання та обмежені за часом. На нашу думку, перенесення цього виду діяльності в електронну форму дозволяє економити час на заняттях та зберегти час викладача, якому не доведеться перевіряти результати тестування, оскільки це за нього зробить Moodle, а також видасть аналіз як по кожному тестованому, так і по всій групі в цілому.

Важливим при використанні системи Moodle є також можливість студентів самостійно слідкувати за власною успішністю, використовуючи ресурс «Журнал оцінок».

Виділяють наступні можливості та переваги застосування системи Moodle у навчальному процесі:

У викладача:

Мати у структурованій формі навчально-методичне забезпечення дисципліни.

Зручний інструмент по обліку та контролю роботи студентів.

Встановлювати потрібні терміни виконання студентами завдань.

Програмне забезпечення, європейський стандарт Moodle по організації навчального процесу за модульною системою, що вимагає Болонська декларація.

Можливість використання аудіо та відео матеріалів при організації навчального процесу.

Широкі можливості по змінам, розширенню, доповненню та корегуванню навчально-методичних матеріалів дисципліни.

Тести для проведення контролю знань студентів із застосуванням різних за типом запитань.

Автоматизовану система рейтингової оцінки самостійної роботи студентів.

Програмне забезпечення, що захищене від несанкціонованого доступу, змін та пошкодження (знищення).

Програмне забезпечення для виконання науково-методичних розробок за власним вибором, послідовністю та темпом.

У студентів:

Логічно структурований та комплектний навчально-методичний матеріал, що покращує умови для самостійного опанування дисципліни.

Засоби самотестування.

Засоби виконання завдань та оцінювання незалежно від людського фактору, викладача.

Можливість особистої участі та допомоги викладачу по комп’ютерному забезпеченню навчального процесу.

Реальна участь у науковій роботі студентів.

Модульна організація навчального процесу, що в кінцевому варіанті дасть можливість обходитися без іспитів.

Розширені Internet-ресурси.

Можливість дистанційного опанування навчальних матеріалів.

Можливість дострокової здачі сесії.

Система управління Moodle зареєстрована і використовується у більш ніж 43000 офіційних організаціях, що працюють у більш ніж 200 країнах. Таким чином, запропоновано сучасний підхід до організації та проведення навчального процесу. Не викликає сумніву, що використання електронного навчання та дистанційних технологій для підтримки денної форми навчання дозволяє не тільки економити час на заняттях та час викладача на перевірку різного роду завдань, але і допомагає інтенсифікувати весь процес навчання, приділити більше часу на розвиток комунікативних та творчих здібностей студентів.

РОЗДІЛ 2. ОСНОВНІ ФАКТИ ТЕОРІЇ ВЕКТОРНИХ ПРОСТОРІВ ТА СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ,

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

2. 1. Елементи теорії множин

1. Поняття множини, підмножини

Множина є основним поняттям в усіх розділах математики і це поняття не означається через інші поняття. Під множиною розуміють сукупність деяких об’єктів, об’єднаних за певним правилом або за певною ознакою.

Об’єкти, які утворюють множину називаються елементами цієї множини.

(елемент належить множині )

(елемент не належить множині )

Якщо множина складається із скінченної кількості елементів, то кількість елементів множини називають порядком цієї множини.

Множина яка не містить жодного елемента називають порожньою і позначають: Æ.

Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто якщо будь-який елемент множини є елементом множини і навпаки — будь-який елемент множини є елементом множини .

Множину називають підмножиною множини , якщо кожен елемент множини є елементом множини .

Очевидно, що множина рівна множині тоді і тільки тоді, коли множина є підмножиною множини і множина є підмножиною множини .

2. Операції над множинами

Означення. Об’єднанням множин і називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать або множині або множині .

Означення. Перерізом множин і називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать і множині , і множині .

Означення. Різницею множин і називають таку множину , яка складається з усіх елементів множини , які не належать множині .

Приклад. Нехай Тоді

Означення. Якщо множина є підмножиною множини то різницю називають доповненням множини до множини і позначається .

Приклад. Нехай Доповненням множини до множини є множина .

Означення. Нехай — деякі множини, де ( — множина індексів: тощо). Об’єднанням множин називають таку множину S, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин .

Означення. Перерізом множин називають таку множину , яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній з множин .

Якщо , то записують: .

Якщо то записують:

3. Властивості операцій над множинами

Для будь-яких множин мають місце рівності:

1.

2.

3.

4.

4. Універсальна множина. Закони де Моргана

Коли розглядають множини, які є підмножинами якоїсь однієї множини , то множину називають універсальною по відношенню до цих множин.

Надалі будемо вважати, що всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами деякої універсальної множини .

Мають місце рівності:

1.

2.

Означення. Доповненням множини називають її доповнення до універсальної множини; позначають: — доповнення множини А:

Властивості доповнень:

1. ;

2.

3. (множини і не перетинаються);

4.

Теорема 1. Доповнення до перерізу довільної кількості множин дорівнює об’єднанню доповнень цих множин:

2. Доповнення до об’єднання довільної кількості множин дорівнює перерізу доповнень цих множин:

Для двох множин маємо:

Якщо у виразі із множини відсутні дужки, то операції виконуються в такому порядку: 1) взяття доповнення; 2) переріз; 3) об’єднання.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1. Довести, що для довільних множин , і виконується рівність

.

Розв’язання

Це означає, що .

Приклад 2. Використовуючи властивості операцій над множинами, спростити запис множини

Розв’язання

Задана множина є різницею множин

і .

Запис кожної множини можна спростити:

При цьому було застосовано закони де Моргана. Оскільки , то .

Отже,

 

 

2. 2. Відношення

Прямий добуток множин

Означення. Множина, яка складається з двох елементів і в якій береться до уваги порядок слідування елементів, називають упорядкованою парою.

( ) — упорядкована пара

— перший елемент(компонента)

— другий елемент (компонента)

Означення. Прямим або декартовим добутком множин А і В називають множину всіх упорядкованих пар, перший елемент яких належать множині А, а другий — множині В.

— прямий добуток

Прямий добуток називають прямим квадратом множини А.

Якщо , , то — прямокутник.

Прямим добутком множин називають множину упорядкованих n-ок ( ), де .

— прямий або декартовий n-ий степінь множини

2. Поняття бінарного відношення.
Основні типи бінарних відношень

Бути рівним, меншим, більшим, паралельним, перпендикулярним — відношення.

Означення. Бінарним відношенням на множині А називають всяку підмножину прямого квадрата множини А. Відношення позначають: r.

r — відношення на множині А

Елементи х і у, які належать множині А, перебувають у відношенні r, якщо (х; у) Î r. Пишуть хrу — елемент х перебуває у відношенні r до елемента у.

хrу Û (х; у) Î r

Нехай тоді, наприклад, — бінарне відношення на множині М, причому

Означення.Відношення r на множині А називається рефлексивним, якщо для будь-якого елемента а, який належить множині А, а перебуває у відношенні r до а:

Означення. Відношення r на множині А називається симетричним, якщо для будь-яких елементів а, b Î A з того, що arb випливає bra:

Означення. Відношення r на множині А називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів з того, що arb і brc випливає arc:

Означення. Відношення r на множині А називається відношенням еквівалентності, якщо воно є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

Фактор-множина

Означення. Нехай М – деяка не порожня множина. Розбиттям множини М називають всяку сукупність підмножин множини М, які задовольняють умови:

1) не порожні;

2) не перетинаються;

3) об’єднання яких дорівнює М.

Елементами розбиття є підмножини множини М. Ті підмножини, які утворюють розбиття множини М, називають класами розбиття.

Теорема. Якщо на не порожній множині М задано відношення еквівалентності r, то цю множину можна розбити на класи так, що будь-які елементи , що належать одному класу, перебувають у відношенні r, або будь-які елементи , що належать різним класам, у цьому відношенні не перебувають.

Означення. Розбиття множини М на класи за відношенням еквівалентності r, при якому будь-які два елементи, які належать одному класу розбиття, перебувають у відношенні r, а будь-які два елементи, які належать різним класам, у відношенні r не перебувають, називають фактор-множиною множини М за відношенням еквівалентності r і позначають М/r.

Елементами фактор-множини є класи розбиття, які ще називають класами еквівалентності.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1. Знайти прямий добуток множин А і В, якщо: А = {1, 2, 3}, B = {3, 4}.

Розв’язання

Приклад 2. Знайти прямий добуток множин

Розв’язання

Приклад 3. На множині М = [0; 3] задано відношення еквівалентності: хrу Û”x має однакову цілу частину з y”. Знайти фактор-множину [0; 3]/r.

Розв’язання

До класу еквівалентності, що визначається числом x Î [0; 3], належать усі числа, які мають однакову цілу частину з числом . Серед усіх чисел множини [0;3] містяться тільки такі цілі числа: 0, 1, 2, 3. Це означає, що фактор-множина [0;3]/r містить тільки чотири класи: [0;1), [1;2), [2;3), {3}. Фактор-множина [0; 3]/r = { [0;1), [1;2), [2;3), {3} }.

2. 3. Відповідності. Відображення

1. Поняття відповідності. Обернена відповідність.

Композиція відповідностей

Означення. Відповідністю між множинами і називають упорядковану трійку , де ; при цьому множину називають множиною відправки, множину — множиною прибуття, — графіком відповідності.

Відповідність між множинами і записують так або . Якщо пара , то кажуть, що елементу відповідає елемент .

Приклади відповідностей.

1.

— відповідність; .

2.

— відповідність.

Означення. Оберненою відповідністю до відповідності називають таку відповідність , де — множина пар таких, що :

.

Для всякої відповідності існує обернена відповідність.

Означення. Композицією відповідностей і називають відповідність , де .

2. Поняття відображення (функції)

Означення. Відображенням множини у множину називають відповідність при якій будь-якому елементу множини відповідає єдиний елемент множини

Відображення ще називають функціональною відповідністю або функцією.

Якщо при відображенні елементу відповідає елемент , то пишуть і називають образом елемента

Для кожного елемента всякий елемент такий, що називають прообразом елемента

Множину всіх прообразів елемента називають повним прообразом цього елемента і позначається .

Означення. Образом множини називають множину , яка складається з усіх тих елементів які є образами елементів множини .

Означення. Повним прообразом множини називають множину яка складається з усіх прообразів елементів множини

Означення. Відображення називають сюр’єктивним відображенням або сюр’єкцією, якщо .

 

— сюр’єкція.

Означення. Відображення називають ін’єктивним відображенням або ін’єкцією, якщо воно різним елементам множини ставить у відповідність різні елементи множини

 

— ін’єкція.

Означення. Відображення називають бієктивним відображенням або бієкцією, якщо воно є сюр’єктивним та ін’єктивним.

Бієкція — взаємно однозначна відповідність між множинами і

 

— бієкція.

Відображення називають оборотним, якщо відповідність є відображенням. У випадку оборотності відображення обернену відповідність називають відображенням, оберненим до Відображення є оборотним тоді і тільки тоді, коли є бієкцією.

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1. Задати хоча б одне відображення множини на множину .

Розв’язання

Нехай множини і зображуються відрізками на осях і відповідно в декартовій системі координат (див. рис.).

 

Розглянемо лінійну функцію графік якої проходить через точки та . Знайдемо і :

Отже, Цією формулою задається одне з відображень множини на множину .

Приклад 2. — відображення; Довести, що

Розв’язання

Приклад3. —відображення; Довести, що

Розв’язання

2. 4. Основні алгебраїчні системи

1. Бінарні алгебраїчні операції

Означення. Бінарною алгебраїчною операцією на множині називають всяке відображення , тобто операція кожній упорядкованій парі елементів множини ставить у відповідність єдиний елемент цієї множини.

Операції позначають значками або .

Означення. Операцію на множині називають комутативною, якщо для будь-яких елементів справджується рівність:

.

Означення. Операцію на множині називають асоціативною, якщо для будь-яких елементів справджується рівність:

.

Означення. Операцію на множині називають дистрибутивною відносно операції , якщо для будь-яких елементів справджуються рівності:

;

.

Означення. Якщо в множині визначена операція , то елемент такий, що для будь-якого з множини виконується рівність

,

називається нейтральним.

Означення. Якщо в множині із операцією існує нейтральний елемент , то елемент такий, що

,

називається симетричним до елемента

Теорема 1. Якщо у множині із визначеною на ній операцією існує нейтральний елемент то він єдиний.

Теорема 2. Якщо операція на множині є асоціативною, то для будь-якого елемента множини існує не більше як один симетричний елемент.

2. Поняття групи, підгрупи

Означення. Не порожню множину із визначеною на ній операцією називають групою, якщо виконуються наступні умови:

1) операція є асоціативною на множині ;

2) у множині існує нейтральний елемент відносно операції ;

3) для будь-якого елемента множини існує симетричний елемент.

Умови 1-3 називають аксіомами групи.

Надалі групу із визначеною на ній операцією будемо позначати так: .

Якщо в групі операція є комутативною, то групу називають комутативною або абельовою.

Якщо в групі операція є операцією множення, то таку групу називають мультиплікативною, якщо ж операція є операцією додавання, то групу називають адитивною.

Означення. Нехай — група, — не порожня підмножина множини . Якщо множина відносно операції є групою, то її називають підгрупою групи .

Теорема. Нехай — група. Для того, щоб не порожня підмножина множини була підгрупою групи необхідно і достатньо, щоб:

1.

2.

3. Поняття кільця та його найпростіші властивості

Означення. Не порожню множину із визначеними на ній операціями додавання і множення називають кільцем, якщо виконуються наступні умови:

1) є комутативною групою відносно операції додавання;

2) операція множення є асоціативною на ;

3) операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання на .

Умови 1-3 називають аксіомами кільця.

Якщо у кільці операція множення є комутативною, то кільце називають комутативним.

Якщо у кільці існує нейтральний елемент відносно операції множення, то кільце називають кільцем з одиницею.

Означення. Різницею елементів називають такий елемент