Задача оптимального производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность аij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль ci от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

 

Виды сырья Виды продукции Виды продукции Запасы сырья
  I II  
А а11 = n а11= n b1= mn+5n
В a21=1 a22=1 b2= m+n+3
С a31= 2 a32= m+1 b3= mn+4m+n+4
прибыль c1= m+2 c2= n+1  
план (ед.) x1 x2  

1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

 

1.2. В условиях предыдущей задачи составить оптимальный план (x1, x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Zmax. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом)

1.3. Построить по полученной системе ограниченный многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путём. Определить соответствующую прибыль Zmax.

Транспортная задача

На трёх складах А1, А2 и А3 хранится а1=100, а2=200, а3=60+10n единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трём потребителям В1, В2 и В3, заказы которых составляют b1=190, b2=120, b3=10m единиц груза соответственно. Стоимость перевозок сij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

 

потребности
запасы

В1   b1=190 В2  
b2=120

 В3   b3=10m
А1 а1=100      
А2 а2=200
n
m+1
n

   
А3 а3=60+10n      

 

2.1. Сравнивая суммарный запас, а = ∑аi и суммарную потребность b = ∑bi в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом, а = b – aв случаеa<bили фиктивного потребителя с потребностью a – b вслучаеa>b и положивсоответствующие им тарифы нулевыми.

2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьших затрат).

2.3. Проверить, является пи первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план обеспечивающий минимальную стоимость

перевозок, Smin = ∑ cij xij . Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом Фогеля).

 
 


x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33

Хопт=

 

Матричные игры

3.1. Игра 2х2 задана матрицей

 
 
m+6 n m m+n

С =

 

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом).

 

3.2. Игра задана матрицами

0 m+n n-1 m+3 m+4 n-1 n+1 n
 
 

С1 = для n – четного

 

 

 
 


n-1 n+3 n+m 0 n n+2 n+m n
С2 = для n – нечетного

 

Найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

 

Сетевое планирование

Процесс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1,2,….,10.

1–начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от i – го этапа к j- му этапу назовем операцией. Возможны выполнение операций (i → j) и их продолжительности tij задаются таблицей:

 

 

№ Шифр операции Продолжительность операции
  i → j tij
1 → 2 m
1 → 3
1 → 4 n
2 → 3
2 → 6
4 → 3
4 → 6
3 → 5
3 → 7 n+1
5 → 9 m+1
6 → 7
6 → 8
7 → 8
7 → 9 m
7 → 10
8 → 10
9 → 10 n

4.1.Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции i → j обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность tij операции.   4.2. Считая, что начало работы происходит во время t1=0, определите время tj окончания каждого j-го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.

 

4.3. Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

4.4. Для каждой некритической операции i → j определите резервы свободного времени pcij и проставьте их над стрелками рядом с tij в скобках.

4.5.Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути, подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени pcij необходимо также найти полные резервы времени pcij для каждого этапа)