Зокрема, звична для нас система відліку, яка пов’язана з Землею, також не є інерціальною

Диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки

 

Рух матеріальної точки в інерціальних системах відліку підпорядковується законам Ньютона.

Як відомо з розділу «Кінематика», для дослідження складного руху точки вводиться дві системи координат: 1) система координат, зв’язана з нерухомим тілом (інерціальна система відліку) та 2) рухома система координат, зв’язана з тілом, що рухається (неінерціальна система відліку).

Рух матеріальної точки відносно неінерціальної системи відліку називається відносним (відповідно, називаються відносними швидкість та прискорення точки )

Рух неінерціальної системи відліку відносно інерціальної називається переносним (відповідно, називаються переносними швидкість та прискорення точки ).

Рух матеріальної точки відносно інерціальної системи відліку називається абсолютним (відповідно, називаються абсолютними швидкість та прискорення точки , де - прискорення Коріоліса).

Другий закон Ньютона в неінерціальній системі відліку не виконується.

Проте, нерідко задачі динаміки зводяться до дослідження руху точки в неінерціальній системі відліку.

Зокрема, звична для нас система відліку, яка пов’язана з Землею, також не є інерціальною.

Розглянемо рух матеріальної точки відносно неінерціальної системи відліку.

Припустимо, що довільна матеріальна точка рухається при дії рівнодійної активних сил та рівнодійної реакцій в’язей (рис. 3.1).

При цьому точка рухається відносно рухомої системи координат , (відносний рух точки – ), яка,в свою чергу, рухається разом з точкою не поступально відносно нерухомої (інерціальної) системи координат (переносний рух точки – ).

Нехай, переносний рух рухомої системи координат відносно нерухомої системи відліку заданий. Визначимо відносний рух точки відносно рухомої системи координат .

Абсолютний рух невільної точки , масою , відносно інерціальної системи координат , тобто , підпорядковується другому закону Ньютона:

, (3.1)

де – абсолютне прискорення точки .

На підставі теореми Коріоліса, у випадку переносного непоступального руху, абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі трьох прискорень – відносного , переносного та прискорення Коріоліса :

. (3.2)

Підставляючи значення (3.2) в (3.1), дістаємо векторне рівняння руху невільної матеріальної точки:

. (3.3)

Перетворимо рівність (3.3) стосовно до відносного прискорення, тобто перенесемо два останніх доданка з лівої частини в праву:

. (3.4)

Введемо такі позначення:

. (3.5)

Вектор називається силою інерції переносного руху.

Вектор називається силою інерції Коріоліса.

Підставляючи значення (3.5) в (3.4), отримаємо основне рівняння відносного руху матеріальної точки в векторній формі:

. (3.6)

Таким чином, відносний рух матеріальноїточки можна розглядати як абсолютний, якщо до прикладених до точки активних сил та реакцій вязей умовно додати переносну та коріолісову сили інерції.

Розглянемо якісну відмінність між силами і , прикладеними до точки , і силами інерції та .

Сили і є результатом дії на матеріальну точку певних фізичних тіл, які можна повністю конкретно визначити в усіх окремих випадках.

Джерела існування таких сил не залежать від вибору координатної системи. Ці сили називаються ньютоновимисилами.

Що стосується переносної та коріолісової сил інерції, які називаються ейлеровими силами інерції, то вони з’являються лише тоді, коли матеріальна точка рухається в неінерціальній системі відліку і повністю залежать від характеру руху цієї системи відліку.

Ейлерові сили інерції не підкоряються закону рівності дії та протидії.

Якщо на деяку матеріальну точку діє сила інерції, то для неї не існує сили протидії, тобто ейлерові сили інерції не мають джерела свого виникнення з точки зору тверджень класичної механіки.

Крім того, значення ейлерових сил інерції та визначають не за допомогою приладів, як при визначенні фізичних ньютонових сил, а лише за формулами (3.5).

Отже, в межах класичної механіки ейлерові сили інерції та є фіктивними, тобто умовно прикладеними до матеріальної точки, рух якої розглядається.

Переносна і кориолісова сили інерції не є відображенням механічної взаємодії матеріальних об’єктів, а є результатом формального зведення диференціальних рівнянь динаміки, записаних у неінерціальній системі відліку, до відомої форми запису диференціальних рівнянь в інерціальній системі відліку. Такий підхід дає змогу застосувати для розв’язання ряду практичних задач увесь розроблений раніше математичний апарат.

Якщо спроектувати обидві частини векторного рівняння (3.6) на рухомі координатні осі Охуz, отримаємо диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки:

;

. (3.7)

3.2. Окремі випадки відносного руху

3.2.1. Принцип відносності в класичній механіці

 

Розглянемо частинний випадок, коли рухома координатна система Охуz рухається відносно нерухомої поступально, прямолінійно і рівномірно, тобто і . В цьому випадку , і тому відповідно: і .

Отже, основне рівняння (3.6) відносного руху точки набуває вигляду:

. (3.8)

Порівнюючи рівняння (3.1) і (3.8) бачимо, що в цьому частинному випадку, абсолютний і відносний рухи точки визначаються ідентичними рівняннями. Тобто, в даному випадку рухома координатна система також є інерціальною.

Таким чином, всі системи відліку, що рухаються рівномірно й прямолінійно відносно інерціальної координатної системи, теж є інерціальними, а рух матеріальної точки відносно будь-якої з них можнарозглядати як абсолютний рух.

Це вказує на інваріантність рівнянь динаміки при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

Принцип відносності в класичній механіці можна сформулювати наступним чином: за однакових початкових умов механічні рухи здійснюютться однаково як в нерухомих системах координат, так і в тих координатних системах, що рухаються поступально, рівномірно та прямолінійно, а отже, описуються однаковими рівняннями.

Якщо уявити спостерігача в закритому приміщенні, яке рухається рівномірно і прямолінійно, то він, не відчуваючи дії переносної і коріолісової сил інерції, не може визначити свого положення відносно інших систем відліку, отже не може визначити, чи рухається його система відліку чи перебуває в стані спокою.

3.1.3. Випадок відносного спокою. Сила ваги

 

Нехай точка перебуває в стані відносного спокою, тобто і . У цьому разі прискорення Коріоліса, а отже і сила інерції Коріоліса, дорівнюють нулю ( , ).

Тоді рівняння відносного спокою матеріальної точки має вигляд:

. (3.9)

Отже, у випадку, коли матеріальна точка перебуває у стані відносного спокою, геометрична сума прикладених до неї активних сил, реакцій вязей і переносної сили інерції дорівнює нулю.

Як приклад розглянемо відносний спокій матеріальної точки на поверхні Землі (рис. 3.2).

Скористаємось рівнянням відносного спокою точки, яка в цьому разі є невільною. Застосуємо принцип звільнення від в’язей: Тоді рівняння (3.9) набуває вигляду:

. (3.10)

Тут – сила тяжіння точки біля поверхні Землі; – реакція опори; – переносна сила інерції точки. За величиною, сила , згідно із законом тяжіння,

;

де – гравітаційна стала; – маса точки; – маса Землі, а – її радіус; сили інерції

;

,

оскільки .

Очевидно, сила тиску точки на Землю буде дорівнювати:

.

Отже, сила що є рівнодійною сили тяжіння і переносної сили інерції ,називається силою ваги і дорівнює їх геометричній сумі:

. (3.11)

Напрям сили ваги визначає напрям вертикалі в даній точці поверхні Землі. Напрям і величину реакції поверхні Землі визначаємо виходячи з величини і напрямку сили ваги (рис. 3.2).

Найбільшу вагу тіло має на полюсі, де , а сила – максимальне значення (тут радіус Землі мінімальний), а найменшу вагу – на екваторі.

За допомогою теорії відносного руху точки пояснюється тиск потяга на рейки; дія води в річках на їх русла, стан невагомості тіла, рух маятника Фуко і т. д.

3.4. Приклади розв’язування задач динаміки відносного руху матеріальної точки

Приклад 1. Точка підвісу математичного маятника рухається вниз зі сталим прискоренням . Знайти період малих коливань маятника, якщо (рис. 3.3).

Розв’язання. Маятник перебуває в складному русі.

Переносний рух – це поступальний прискорений рух маятника разом з точкою привісу вздовж вертикалі вниз.

Відносним рухом є рух точки за дугою кола радіуса .

Покажемо сили, які діють на точку (рис. 3.3). Отже, це вага і реакція мотузки , а також умовно прикладені і сили інерції.

Запишемо векторне рівняння відносно руху точки :

.

Оскільки переносний рух – поступальний , то прискорення Кориоліса і відповідно сила інерції Кориоліса дорівнюють нулю.

Переносна сила інерції спрямована до гори:

.

Спроектуємо векторне рівняння на дотичну до відносної траєкторії точки :

.

Проекція реакції в’язі нитки на дотичну дорівнює нулю.

Проекція відносного прискорення на дотичну за модулем дорівнює:

З урахуванням малих коливань приймаємо . Отже, рівняння відносного руху має вигляд:

;

.

Тут

.

Період малих коливань маятника дорівнює:

.

Приклад 2. Гладенький стержень довжиною обертається рівномірно навколо вертикальної осі, що проходить через його кінець зі сталою кутовою швидкістю (рис. 3.4). Вздовж стержня вільно переміщується кільце , яке в початковий момент часу ( ) знаходилось в середині стержня. Через скільки секунд кільце зійде зі стержня?

Розв’язання. Кільце М здійснює складний рух: поступальний вздовж стержняі переносний – обертальний разом із стержнем навколо нерухомої вертикальної осі .

Рухому систему відліку Ох пов’язуємо зі стержнем .

До кільця прикладені: сила ваги , вертикальна та горизонтальна складові повної реакції стержня. Умовно прикладаємо сили інерції і , які за модулем дорівнюють:

;

.

Векторне рівняння відносного руху кільця М запишемо у такому вигляді:

.

Спроектуємо його на вісь . Вектори , , та перпендикулярні (рис. 3.4).

Отримаємо диференціальне рівняння відносного руху кільця :

; ,

звідки

.

Складемо характеристичне рівняння:

корені якого

.

Тоді, загальний розв’язок рівняння матиме вигляд:

.

Для визначення сталих інтегрування і запишемо вираз для швидкості кільця:

.

та складемо початкові умови:

при : , .

Підставляючи їх у рівняння руху і швидкості, відповідно отримуємо:

; ,

звідки

.

Підставивши значення малих інтегрувань, дістанемо рівняння відносного руху кільця:

.

Підставляючи в ліву частину рівняння, визначимо значення тривалості руху кільця вздовж стержня:

,

звідки

.

Припустимо, що , а . Тоді останнє рівняння набуває вигляду:

або ,

звідки

.

Оскільки час руху кільця , то . Тому з двох коренів обираємо , а не , що <1.

Таким чином, , звідки після логарифмування одержимо:

.

Для того щоб отримати модулі вертикальної і горизонтальної складових повної реакції стержня та спроектуємо векторне рівняння на осі та .

Враховуючи, що та , отримаємо відповідно:

та ,

звідки матимемо:

;

.

Таким чином, горизонтальна складова тиску кільця на стержень у поперечному напрямі, змінна за часом.