Диференціальні рівняння руху точки в прямокутних координатах

З кінематики відомо, що рух точки у прямокутних координатах задається рівняннями:

. Для рішення задач динаміки точки треба мати рівняння, що зв'язують координати x, y, z цієї точки та діючу на неї силу (або сили).

Рисунок 1.3.2. Рух точки заданий в прямокутних координатах.

Розглянемо матеріальну точку, яка рухається під дією сил по відношенню до інерціальної системи відліку Oxyz, як наведено на рисунку 1.3.2.

Проектуючи обидві частини рівняння на вісі x, y, z, маємо:

де a_x , a_y , a_z , F_x , F_y , F_z –проекції прискорення точки М та силы на на координатні осі.

Проекції прискорення можна виразити через другі похідні по часу від координат точки, що рухається:

; ; .

Отримаємо:

; ; .

Або, позначая другі похідні за часом двома точками:

; ; .

Ці рівняння називаються диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в прямокутних координатах.

Система трьох диференціальних рівнянь (2.5) другого порядку еквівалентна системі шести диференціальних рівнянь першого порядку:

; ; .

Якщо точка М рухається в площині ОХY , то Z = 0, , знаходимо:

; .

У випадку руху точки вздовж прямої лінії, спрямувавши по ній координатну вісь ОХ, отримаємо одне диференціальне рівняння прямолінійного руху точки

Диференціальні рівняння руху точки у натуральній формі

У випадку натуральної форми завдання руху точки її положення на траєкторії визначається залежністю ,

де S - дугова координата (рисунок 1.3.3.). При цьому: прискорення

точки М дорівнює:

Рисунок 1.3.3. Рух точки заданий у натуральній формі.

Нехай точка під дією прикладених сил і реакцій в'язів рухається за деякою траєкторією АБ .

Спроектуємо рівняння на натуральні вісі координат

; ; ,

де: - відповідно проекції прискорення та рівнодіючої сили на дотичну, головну нормаль та бінормаль до траєкторії в точці М.

Так як

; ; ,

де - радіус кривини траєкторії в точці М, то рівняння руху в проекціях на натуральні осі мають вид:

; ; .

Рівняння називаються рівняннями руху матеріальної точки в натуральній формі.

ЛЕКЦІЯ 2

Дві основні задачі динаміки точки

План.

2.1.Пряма (перша) задача динаміки.

2.2. Друга задача динаміки

2.2.1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху точки

2.3. Методичні вказівки до розв’язання прямої задачі динаміки точки

2.4. Методичні вказівки до вирішення зворотної задачі динаміки

2.5. Приклад вирішення зворотної задачі динаміки

За допомогою диференціальних рівнянь руху точки можна розв'язувати дві основні задачі динаміки: - пряму (першу), обернену (другу, що є основною).