ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме ( главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.
(1)
Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.
Проецируем вектор 
на оси координат:
: 
; 
(2)
Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на одну ос , определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.
Дифференцируем (1) по времени:
.
Согласно уравнению движения центра масс системы,
.
Следовательно, 
(3)
Уравнение (3) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил , действующих на эту систему.
Векторному уравнению (3) соответствуют три уравнения в проекциях оси координат:
; 
: 
(4)
Уравнения (4) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил , действующих на систему, на ту же ось.
Из уравнений (3) и (4) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.
С л е д с т в и я и з т е о р е м ы ;
1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемой промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.
Из уравнения ( 3) следует, что если 
т.е. 
. (5)
2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.
Так , например, при 
из первого уравнения (4)
откуда
Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.
ЗАДАЧА Д2
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2 =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t0 =0, когда скорость плиты U0 =2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.
На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние S=АД изменяется по закону 
, а на рисунке 4-9 желоб –окружность радиуса R=0,8 м и при движении груза угол 
изменяется по закону 
. В таблице Д2 эти зависимости даны отдельно для рисунков 0 и 1 , для рис. 2 и 3 и.т.д., где S- выражено в метрах, φ- в радианах, t - в секундах.
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость 
, т.е. скорость плиты как функцию от времени.
Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение, выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.
Таблица Д 2
| Номер условия |
|
| ||
| Рис.0,1 | Рис. 2,3 | Рис 4,5,6 | Рис. 7,8,9 | |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки массой m1 , движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень АD длиной 
с грузом D массой m2 на конце (Рис. Д2). В момент времени
t0 =0 , когда скорость тележки U=U0 стержень АD начинает вращаться вокруг оси А по закону 
.
Д а н о : m1 =24 кг, m2 =12 кг, U0 =0,5 м/с, =0,6 м, 
рад (t-в секундах). О п р е д е л и т ь : -закон изменения скорости тележки.
Решение.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р1 и Р2 и реакции плоскости 
. Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна.
Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то 
и теорема дает
, откуда 
(1)
Для рассматриваемой механической системы
- количества движения тележки и груза D соответственно (U- скорость тележки, VD- скорость груза по отношению к осям Оху).Тогда из равенства (1) следует, что
(2)
Для определения VDx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня АD вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда
. (3)
Но 
.
Вектор 
Изобразив этот вектор на рисунке Д2 с учетом знака 
, найдем , что
. Окончательно из равенства ( 3) получим
(4)
( В данной задаче величину 
можно найти другим путем, определив абсциссу 
груза D , для которой, как видно из рисунка Д2 , получим 
.)
При найденном значении VDx равенство (2), если учесть , что Ux=U, примет вид
(5)
Постоянную интегрирования С1 определим по начальным условиям: при t0 =0 U=U0. Подстановка этих значенийв уравнение (5) дает 
и тогда из ( 5) получим
Отсюда находим следующую зависимость скорости U от времени:
. (6)
Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость U от t.
О т в е т: 
м/с.
