Производная. Геометрический, механический смысл. Техника дифференцирования. Производная сложной функции
1. Правила нахождения производных и дифференцирования ( 
).
, если 
(производная сложной функции)
, если 
(производная обратной функции)
(формула логарифмического дифференцирования)
1. 
(постоянная)
2. 
(степенная) 
3. 
(показательная)
4. 
(экспонента)
5. 
(логарифмическая)
6. 
Тригонометрические Обратные тригонометрические
7. 
11. 
8. 
12. 
9. 
13. 
10. 
14. 
Задача 1. Найти производную функции: 
Решение: .
|
,
|
=
= =
|
= =
= 
= 
–
– 
= 
– 
= 
– .
Задача 2. Найти производные
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
.
2.9 
. 2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
2.16 
2.17 
2.18 
2.19 
2.20 
2.21 
2.22 
2.23 
2.24 
2.25 
2.26 
2.27 
2.28 
2.29 
2.30 
2.31 
2.32 
2.33 
2.34 
2.35 
2.36 
Практическое занятие №8
Логарифмическое дифференцирование.
Производная параметрически заданной функции, неявной функции
Иногда, прежде чем находить производную от заданной функции, ее необходимо преобразовать, чтобы процесс дифференцирования упростился. Например, функции вида 
, где 
, сначало целесообразно прологарифмировать:
.
По свойству логарифма: 
. Дифференцируя последнее выражение, получим:
.
Умножим обе части на 
: 
.
Заменяя через 
, получим: 
.
При отыскании производной функции вида , следует пользоваться методом логарифмирования или применять последнюю формулу.
Задача 1. Найти производную функции 
.
Решение: прологарифмируем обе части равенства: 
. По свойству логарифмов:
.
Дифференцируя полученное равенство, имеем:
,
.
Заменяя на 
, получим: 
.
Производная функции заданной параметрически 
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, вычисляется по формуле :
.
Для нахождения производной функции, заданной неявно, 
нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у¢ .
Задача 2. Найти производную: 
.
Решение. В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у¢ :
Из последнего уравнения находим у¢ : 
.
Задача 3. Найти производные следующих функций:
3.1 
3.11 
3.2 
3.12 
3.3 
3.13 
3.4 
3.14 
3.5 
3.15 
3.6 
3.16 
3.7 
3.17 
3.8 
3.18 
3.9 
3.19 
3.10 
3.20 
Задача 4. Найти производные следующих функций, предварительно преобразовав их:
4.1 
4.9 
4.2 
4.10 
4.3 
4.11 
4.4 
4.12 
4.5 
4.13 
4.6 
4.14 
4.7 
4.15 
4.8 
Задача 5. Найти производные функций заданных неявно.
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
Задача 6. Найти 
для функций заданных параметрически
7.1 
7.2 
7.3 
7.4 
7.5
Практическое занятие №9