Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості
Програма розділу
Сутність методу переміщень та основні припущення. Основні невідомі та ступінь кінематичної невизначеності. Розгорнута форма методу переміщень. Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості в статиці стержневих систем (співвідношення жорсткості) у місцевій (локальній) системі координат. Співвідношення жорсткості в загальній (глобальній ) системі координат. Алгоритм розрахунку методом переміщень у загальному випадку деформованості стержнів. Теорема про взаємність реакцій та використання її для контролю розв’язувальної системи рівнянь. Визначення кількості невідомих у випадку, коли нехтують поздовжніми деформаціями. Методи урахування симетрії споруди в розрахунках методом переміщень. Алгоритм розрахунку при використанні припущення про відсутність поздовжніх деформацій. Контроль правильності розрахунків та епюр зусиль. Канонічна форма методу переміщень. Основна система канонічної форми методу переміщень. Способи визначення матриці реакцій та вантажного вектора. Розрахунки методом переміщень на зміну температури та переміщення опор у загальному випадку та при нехтуванні поздовжніми деформаціями. Основні поняття методу скінчених елементів (МСЕ). Автоматизація розрахунків у методі переміщень з використанням ЕОМ.
Методичні вказівки
Необхідно засвоїти ідею методу переміщень та правила визначення ступені кінематичної невизначеності(кількості невідомих кутів повороту та лінійних переміщень вузлів стержневої системи) у двох випадках – коли враховуються поздовжні деформації стержнів та коли цими деформаціями нехтують.
Значна роль приділяється контролю правильності розрахунків на всіх етапах розв’язання задачі. Матриця коефіцієнтів розв’язувальної системи рівнянь має бути симетричною відносно головної діагоналі. У тих випадках, коли розв’язувальна система рівнянь формується без дотримання певних правил, симетризація матриці коефіцієнтів стає досить клопіткою роботою – доводиться для симетризації матриці переставляти рядки матриці. Тому зверніть увагу на раціональний порядок формування системи рівнянь методу переміщень. Особливо уважно слід будувати епюри зусиль за отриманими результатами обчислень. Слід звернути увагу на те, що додатне значення знайденого зусилля відповідає тому напрямку, який був прийнятий при отриманні основних залежностей методу переміщень. Основною перевіркою (необхідною та достатньою) є статична перевірка побудованих епюр зусиль. Розрахунок методом переміщень виконано вірно якщо всі вузли споруди знаходяться в рівновазі. Якщо виявляється, що якийсь вузол неврівноважений, то помилку слід шукати в рівнянні, яке відповідає неврівноваженому вузлу. Якщо розрахунок виконувався з припущенням про відсутність поздовжніх деформацій, то при наявності лінійних переміщень крім перевірки рівноваги вузлів необхідно перевіряти рівновагу частин, що зміщуються. Для цього складають рівняння рівноваги для частини, вузли якої мають лінійні переміщення, у формі проекцій сил на ось, яка паралельна напрямку переміщення, що розшукується. Таких рівнянь має бути стільки, скільки є незалежних лінійних переміщень вузлів.
Треба приділити достатню увагу урахуванню симетрії споруд. Урахування симетрії споруди надає можливість зменшити трудомісткість розрахунків "вручну", а також зменшити час підготовки інформації про розрахункову схему для ЕОМ, вартість розрахунків та трудомісткість аналізу результатів.
Вивчаючи канонічну форму методу переміщень уясніть ідею методу та смисл основної системи методу переміщень у канонічній форми. Зверніть увагу на те, що коефіцієнти та вільні члени канонічних рівнянь можна визначати статичним та кінематичним методами. При визначенні коефіцієнтів та вільних членів канонічних рівнянь уважно слідкуйте за знаками побічних членів. Для перевірки коефіцієнтів та вільних членів канонічних рівнянь необхідно побудувати сумарну епюру одиничних епюр та вантажну епюру в основній системі методу сил. Перемноживши за Верещагіним сумарну епюру одиничних епюр саму на себе маємо отримати суму коефіцієнтів канонічних рівнянь. Перемноживши сумарну епюру одиничних епюр на вантажну епюру в основній системі методу сил маємо отримати суму вільних членів канонічних рівнянь. Та основною перевіркою розрахунків у канонічній формі методу переміщень, як і в розгорнутій формі, є статична перевірка побудованих епюр зусиль.
2.МЕТОД ПЕРЕМІЩЕНЬ У ЗАГАЛЬНОМУ ВИПАДКУ ДЕФОРМОВАНОСТІ СТЕРЖНЯ
Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості
Для одержання основних залежностей методу переміщень розглянемо деформацію прямого стержня, який виділено із плоскої стержневої системи. На рисунку 2.1 зображено вихідне 
й деформоване 
положення стержня системи.
Рисунок 2.1- Вихідне та деформоване положення стержня системи
Обмежимося системами з малими деформаціями з матеріалів, що підкоряються закону Гука. При виводі приймемо принцип незалежності поперечних і поздовжніх деформацій, тобто будемо вважати що поздовжні сили не впливають на величину поперечних деформацій, а згинальні моменти не впливають на величину поздовжніх деформацій. У цьому випадку диференціальні рівняння рівноваги прямого стержня мають вигляд:
При прийнятих допущеннях між внутрішніми зусиллями 
й переміщеннями 
й 
існують залежності:
Ураховуючи залежності (2.1) систему диференціальних рівнянь рівноваги прямого стержня в переміщеннях можна представити у вигляді:
де 
– жорсткості стержня при розтяганні й вигині відповідно;
- компоненти переміщення перерізу, паралельні координатним осям 
та 
відповідно;
– компоненти розподіленого навантаження, паралельні осям і відповідно.
Рішення системи рівнянь (2.3) можна представити у вигляді:
Використовуючи граничні умови
можна виразити постійні інтегрування 
через переміщення кінцевих перерізів. З огляду на диференціальні залежності (2.2) та умови на границях:
одержимо систему рівнянь, з якої знайдемо значення згинальних моментів, поперечних і поздовжніх сил на кінцях стержня :
де 
– зусилля на кінцях 
та 
стержня від місцевого навантаження коли перерізи та стержня жорстко защемлені. Інші позначення в залежностях (2.7) відповідають рисунку 2.1.
Значення легко можна визначити за допомогою таблиці 2.1, у якій наведено епюри та величини опорних реакцій для випадків навантаження стержня, які найчастіше зустрічаються на практиці. У більш складних випадках навантаження стержня для визначення цих величин слід скористатися методом сил, методом переміщень або методом початкових параметрів.
Таблиця 2.1 – Реакції балок постійного перерізу з двома защемленими кінцями
| Схема балки та вплив на неї | Реакції опор |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Продовження таблиці 2.1
| Схема балки та вплив на неї | Реакції опор |
| 
|
| Напрям реакцій  та епюра моментів відповідає умові:  . Напрям реакцій  відповідає умові:  
|
| Напрям реакцій та епюра моментів відповідає умові: . 
|
Залежностями (2.7) визначаються кінцеві зусилля стержня коли відомі переміщення кінцевих перерізів та – 
. Ці залежності надалі будемо називати основними залежностями методу переміщень для прямолінійного стержня в статиці стержневих систем у місцевій (локальній) системі координат.
У практичних додатках зручніше користуватися залежностями, записаними для глобальної (загальної) системи координат. Як видно з рисунка 2.2, між компонентами переміщень кінцевих перерізів та , визначеними в локальній (місцевій) і в глобальній (загальній) системах координат, існують залежності:
Рисунок 2.2 - До визначення зв’язку між компонентами переміщень визначеними в
локальній і в глобальній системах координат
З урахуванням залежностей (2.8) основні залежності методу переміщень (2.7) можна записати у вигляді:
У тому випадку, коли на одному із кінців стержня є шарнір (наприклад, на кінці ), для визначення трьох зусиль 
ми маємо визначити чотири переміщення 
. Щоб не розшукувати зайву невідому, виключимо кут повороту шарнірного кінця 
. Для цього скористаємось тим, що в цьому випадку 
Знайшовши з цієї умови та підставивши його в 
отримаємо основні залежності методу переміщень для стержня із шарніром на кінці.
У локальній системі координат кінцеві зусилля визначаються залежностями:
У переміщеннях глобальної системи координат визначаються залежностями:
Зауваження!