Геометрическая оптика. Разрешающая сила оптических систем

При падении света на границу раздела двух прозрачных веществ падающий луч разделяется на два – отраженный и преломленный. Направления этих лучей определяются законами отражения и преломления света.

Закон отражения света.

Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Угол падения равен углу отражения:

a = g (4.3.15)

 

Закон преломления света.

Преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ:

sina/sinb = n2/n1. (4.3.16)

 

Здесь n1 и n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй сред относительно.

Вещество с большим показателем преломления называют оптически более плотным.

При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч света будет удаляться от нормали к поверхности. Увеличение угла падения a сопровождается более быстрым ростом угла преломления b и по достижении углом a некоторого предельного значения

aпред = arcsin(n2/n1), (4.3.17)

угол b становится прямым (b = p/2).

При углах падения, заключенных в пределах от aпред до p/2, свет полностью отражается от границы сред. Это явление носит название полного внутреннего отражения, а выражение (4.3.17) называется предельным углом полного внутреннего отражения.

Прозрачное тело, ограниченное, к примеру, двумя сферическими или сферической и плоской поверхностями, называется линзой. Точка линзы, через которую любой луч проходит не изменяя своего направления, называется главным оптическим центром О линзы. Прямая FF, проходящая через центры О1 и О2 сферических поверхностей, называется главной оптической осью. Остальные оси, проходящие через оптический центр линзы, называют побочными, а плоскости, перпендикулярные к главной оптической оси, и проходящие через фокусы – фокальными плоскостями линзы. Любая прямая АВ, проходящая через оптический центр линзы, называется побочной осью линзы.

M

А

F F

O1 O O2

N

В

Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок сходящихся лучей, называется собирающими.

Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок расходящихся лучей, называется рассеивающими. Схематические изображения собирающей и рассеивающей линз изображены на рисунке ниже:

Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе сходится в главном фокусе F. Для собирающей линзы главный фокус является действительным, для рассеивающей – мнимым. Каждая линза имеет два фокуса: передний и задний. Плоскость MN, проведенная через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной. Каждый из лучей, параллельных оптической оси, после преломления в линзе проходит через одну и ту же точку, лежащую на фокальной плоскости линзы (в параксиальном приближении).

Для построения изображений в линзах из всего пучка лучей, падающих на линзу, удобно использовать следующие лучи:

1) луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через правый главный фокус;

2) луч, проходящий через левый главный фокус, после преломления проходит параллельно главной оптической оси;

3) луч, проходящий через оптический центр линзы, после преломления проходит по тому же направлению (справедливо только для тонкой линзы).

Формула тонкой линзы:

, (4.3.18)

где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения, F– фокусное расстояние линзы. В формуле (4.3.18) берется знак «плюс», если изображение является действительным, «минус», если мнимым. У собирающей линзы фокусное расстояние F > 0, у рассеивающей линзы F < 0.

Оптическая сила линзы D – это величина, обратная фокусному расстоянию линзы (n – показатель преломления среды):

D = n/F. (4.3.19)

Оптическая сила системы тонких прижатых друг к другу линз является суммой оптических сил этих линз:

D = D1 + D2 + D3 +… (4.3.20)

Линейное увеличение линзы – это отношение линейного размера изображения А1В1 к линейному размеру предмета АВ.

Г = |А1В1|/|АВ| = f/d. (4.3.21) Линейное увеличение оптической системы тонких линз – это произведение линейных увеличений каждой линзы в отдельности:

Г = Г1Г2Г3… (4.3.22)

Расстояние наилучшего зрения для человеческого глаза: L » 0,25 м.

Простейший микроскоп состоит из двух собирающих линз – объектива и окуляра.

Для определения разрешающей способности микроскопа Аббе предложил освещать объект когерентным излучением, в качестве объекта была выбрана дифракционная решетка с постоянной d.

Разрешающая способность микроскопа:

Z , (4.3.23)

где l – длина волны света, n – показатель преломления среды, в которой находится объект (u/2) – апертура (половина угла между крайними лучами, идущими от объекта к краям объектива).

Угловая дисперсия дифракционной решетки:

D = k/(dcosj), (4.3.24)

где k – порядок дифракции, d – постоянная дифракционной решетки, j – угол дифракции.

По критерию Рэлея два интерференционных пика интенсивности, еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика с длиной волны (l + Dl)совпадает с максимумом второго пика в спектре k-того порядкас длиной волны l. Отсюда следует, что

l/Dl = kN, (4.3.25)

где отношение l/Dl называется разрешающей способностью дифракционной решетки, N – число штрихов дифракционной решетки.

 

Пример 9. Собирающая линза дает действительное, увеличенное в 2 раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением составляет 24 см. Построить изображение предмета в линзе.

Дано: Г = 2; f = 24 см = 0,24 м.

Найти: F.

Решение.

A

A1


2F B F F 2F B1


d f

 

Для построения изображения верхней точки А предмета АВ рассмотрим два луча. Первый луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломившись, пройдет через главный фокус линзы; второй, идущий через главный оптический центр линзы, не изменит своего направления. Точка пересечения А1 этих лучей является действительным изображением точки А. Опустив из точки А1 перпендикуляр на главную оптическую ось, получим действительное, увеличенное и перевернутое изображение А1В1 предмета АВ. Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой тонкой линзы (4.3.18), откуда выразим фокусное расстояние F:

F = df/(d+f). (4.3.26)

Линейное увеличение линзы найдем из формулы (4.3.21):

Г = f/d, откуда d = f/Г. (4.3.27)

Подставив соотношение (4.3.27) в (4.3.26), найдем

F = f/(Г+1) = 0,24/(2+1) = 8×10-2 м.

Ответ:F = 8×10-2 м.

Пример 10. Какое увеличение дает лупа, если ее оптическая сила равна 16 дптр? Построить изображение предмета в лупе.

Дано: D = 16 дптр.

Найти: Г.

Решение. Если не учитывать расстояние между глазом и линзой, то увеличение, даваемое лупой с фокусным расстоянием F, как следует из (4.3.21), будет равно

Г = f/d.

В частном случае, когда предмет расположен так, что его изображение получается на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза(L = 0,25 м), должно быть f = L, поэтому увеличение, даваемое лупой,

Г = L/F = LD,

где F – фокусное расстояние лупы, причем D = 1/F, как следует из (4.3.19).

Следовательно, Г = 0,25×16 = 4.

A1

A


В1 F B O F

 

 

Чтобы рассмотреть предмет через лупу, его располагают между лупой и ее фокусом. Для построения изображения точки А этого предмета используем два луча, исходящие из нее: один, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через фокус; другой, проходящий через главный оптический центр линзы, не изменит своего направления. Изображение А1 точки А получится в точке пересечения продолжения лучей. Аналогично получаем изображение В1 точки В. Следовательно, изображение А1В1 предмета АВ мнимое, увеличенное и прямое.

Пример 11. Микроскоп состоит из объектива и окуляра, расстояние между главными фокусами которых 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом, если фокусные расстояния объектива и окуляра соответственно равны 2 и 40 мм. Построить изображение предмета.

Дано: l = 18 см = 0,18 м, F1 = 2 мм = 2×10-3 м, F2= 40 мм = 4×10-3 м.

Найти: Г.

Решение. Построим в микроскопе изображение предмета АВ, который обычно помещают вблизи фокальной плоскости объектива. Для этого возьмем два луча, исходящих из точки А предмета АВ (см. рис. ниже). Первый луч, проходящий через фокус F1 объектива, после преломления в линзе пойдет параллельно главной оптической оси до падения на окуляр в точке D. После преломления в окуляре луч пройдет через его фокус F2. Второй луч, падающий на оптический центр О1 объектива, не изменит своего направления и упадет на окуляр в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломления в окуляре, проведем через точку F2 фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось, параллельную этому лучу и пересекающую фокальную плоскость в точке К. Тогда второй луч после преломления в окуляре также пройдет через эту точку.

M

       
   
 
 

 


A B2 B1 O2 F2

B F1 O1

A1 D K


A2 E N

Точка А2 пересечения продолжений первого и второго лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изображением точки А. Опуская из точки А2 перпендикуляр на главную оптическую ось, получим мнимое, увеличенное и перевернутое изображение А2В2 предмета АВ.

Поскольку микроскоп состоит из двух линз (объектив и окуляр), то увеличение микроскопа определяется формулой (4.3.22):

Г = Г1Г2, (4.3.28)

где Г1 – увеличение объектива, Г2 – увеличение окуляра. По определению, увеличение объектива (см. (4.3.21))

Г1 = f1/d1. (4.3.29)

Так как f1» l, d1 » F1, то Г1 » l/F1.

Окуляр действует как лупа, поэтому

Г2= L/F2, (4.3.30)

где L – расстояние наилучшего зрения, L = 0,25 м (для нормального глаза).

Подставив выражения (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.28), получим

Г = lL/F1F2 = 562.

Ответ: Г = 562.

 

Пример 12. Разрешающая способность светового микроскопа с иммерсионным объективом равна 6000 мм-1. Чему равен апертурный угол, если в качестве иммерсионной жидкости использован глицерин (n = 1,47), а длина волны света, освещающая препарат, составляет 446 нм?

Дано: Z = 6000 мм-1,

n = 1,47,

l = 446 нм = 446×10-9м.

Найти: u/2.

Решение. Для того чтобы найти апертурный угол, используем формулу (4.3.23):

Z ,

откуда выразим сначала синус апертурного угла, а потом и сам угол:

sin(u/2) = 0,5l/(nZ) Þ u/2 = arcsin[(0,5l/(nZ)] = 65,5°.

Ответ: u/2 = 65,5°.

 

Пример 13. На дифракционную решетку шириной 5 мм нанесено 2000 штрихов. а) Определить наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. б) Чему равна угловая дисперсия этой решетки в спектре второго порядка для света с длиной волны 700 нм?

Дано: l = 5 мм = 5×10-3 м,

N = 2000,

l = 546 нм = 546×10-9 м.

Найти: а) (l/Dl)макс; б) D.

Решение. а) Определим наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. Для этого используем исходные формулы (4.3.25) и (4.3.8) и учтем, что sinjмакс = 1:

l/Dl = kN, (l/Dl)макс = kмаксN

dsinj = kl, dsinjмакс = kмаксl, откуда d= kмаксl,

Из (4.3.9) найдем

d = l/N, поэтому kмакс = d/l = l/Nl = 4,58 = 4,

а наибольшая разрешающая способность равна соответственно

(l/Dl)макс = 4N = 4×2000 = 8000.

б) Теперь найдем, чему равна угловая дисперсия этой дифракционной решетки в спектре второго порядка для длины волны 700 нм.

Запишем исходную формулу для угловой дисперсии (4.3.24) и формулу (4.3.8) для главных максимумов дифракции:

D = k/(dcosj), dsinj = kl.

Из (4.3.8) находим, чему равен угол дифракции j:

sinj = kl/d = 0,56 Þ j = arcsin(0,56) = 34°.

Подставим полученный угол в (4.3.24) и рассчитаем угловую дисперсию:

D = k/(dcosj) = 9,65×105 м-1.

Ответ: (l/Dl)макс = 8000, D = 9,65×105 м-1.