Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы

Раздел Математический анализ

Вопросы для самоконтроля раздела

1.Что такое переменная величина?

2.Сформулируйте определение функции. Что называется областью определения функции?

3.Какие функции называются элементарными?

4.Дайте определение предела функции.

5.В каком случае функция называется бесконечно малой?

6. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

7. Дайте определение функции непрерывной в точке.

8. Укажите основные свойства непрерывных функций.

9. Сформулируйте определение производной функции.

10. В чем заключается геометрический смысл производной? Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x).

11.Сформулируйте правила нахождения производных от суммы, произведения, частного двух функций.

12. Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

13. Что называется дифференциалом функции?

14. Чем отличается дифференциал функции от её приращения?

15. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.

16. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции.

17. Как найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции?

18. Как найти асимптоты кривой y=f(x)?

19. По какой схеме проводят исследование функции и построение её графика?

20. Сформулируйте определение первообразной.

21. Перечислите основные свойства неопределённого интеграла.

22.Дайте определение определённого интеграла.

23. Перечислите основные свойства определённого интеграла.

24. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

25. Геометрическое приложение определенного интеграла.

Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы

1. Пределы.

1.1. Определение. Пусть функция у = ¦(х) определена в окрестности точки х₀. Число А называется пределом функции у = ¦(х) в точке х₀, если для любого e>0 (сколь угодно малого), найдется d>0(d =d(e)) такое, что для всех х¹х₀ удовлетворяющих неравенству |х-х₀|<d выполняется неравенство |¦(х) - А|<e.

Если число А является пределом функции у = ¦(х) при х стремящемуся к х₀, то пишут: .

1.2. Основные свойства пределов.

Покажем наиболее важные для практики пределы:

1. Если функция у = ¦(х) определена в точке х=х₀, то ;

2.Функция a(х) называется бесконечно малой при х®х₀, если ;

3.Функция ¦ (х) называется бесконечно большой при х®х₀, если

4.Если a(х) бесконечно малая величина, т с/a(х) бесконечно большая величина, если ¦ (х) бесконечно большая величина, то с/¦ (х) бесконечно малая величина (с – любое действительное число);

5. - первый замечательный предел;

6. - второй замечательный предел.

При нахождении предела функции могут получаться неопределенности вида( ), [ ], ( ), (0 ) ,( ).Чтобы устранить неопределённость 1-ого вида разделите числитель и знаменатель дроби на степень с наивысшим показателем, найти полученный предел.

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
	Подставить предельное значение n в выражение
	Определить вид неопределённости
	Находим степень с наивысшим показателем	Х³
	Делим числитель и знаменатель дроби на n³

Чтобы устранить неопределённость 2-ого вида надо умножить и разделить разность на сопряжённое выражение, выполнить преобразования и найти предел.

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
	Подставить предельное значение n в выражение
	Определить вид неопределённости
	Умножаем и делим на сопряжённое выражение
	Найти предел полученного выражения

Чтобы устранить неопределённость 3-его вида можно разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

Найти предел:

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
	Подставить предельное значение х в выражение	=
	Определить вид неопределённости
	Разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители	= =
	Сократить дробь	=
	Подставить предельное значение х в сокращенную дробь

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
	Подставить предельное значение х в выражение	= =
	Определить вид неопределённости
	Умножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженные выражения	=
	Выполнить преобразования
	Подставить предельное значение х в сокращенную дробь

Применение первого замечательного предела:

1-ый замечательный предел:

Найти пределы:1) ; 2) ; 3) ;

Решение: 1) Сделаем замену y=ax; тогда y®0 при х®0 и =

2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х и воспользуемся предыдущим пределом:

= .

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференциал функции двух переменных.

2.1. Производная функции и ее геометрический смысл.

Рассмотрим функцию у = ¦(х) непрерывную в точке х₀. Дадим х приращение Dх, тогда у получит приращение Dу.

Предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх в точке х при стремлении Dх к нулю, называется производной функции у = ¦(х) в этой точке, если этот предел существует.

Если указанный предел существует, то функцию у = ¦(х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной – дифференцированием.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции у = ¦(х) в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х₀;у₀) к графику функции у = ¦(х): , то есть угловому коэффициенту касательной.

Уравнение касательной к графику функции у = ¦(х) в точке М(х₀;у₀) имеет вид .

Уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) к графику функции у = ¦(х) в точке М(х₀;у₀) имеет вид .

2.2.Правила дифференцирования. Дифференциал функции.

Пусть с – const, u=u(x), v=v(x) некоторые дифференцируемые функции. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

5. Если у=¦(j(х)) – сложная функция, тогда её производная равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции, то есть .

2.3. Таблица производных основных элементарных функций:

(С)¢=0

(х)¢=1

(u^a)¢=au^a^-1u¢

(a^u)¢= a^u lna u¢ , (e^u)¢= e^u u¢

(log_a u)¢= ,

(sin u)¢=cosu u¢

(cos u)¢=-sinu u¢

(tgu)¢= ; (ctgu)¢=

(arcsinu)¢= ; (arccosu)¢=

(arctgu)¢= ; (arcctgu)¢=

Примеры:

1. Найти производные заданных функций

а)

Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:

- производная частного 2-х функций

- производная сложной функции

-формулами

б)

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции

- производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулами

в)

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции

-производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулами ; ; ;

;

г)

Имеем показательно- степенную функцию. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е.Затем найдём производную от обеих частей равенства.

д)

Функция задана в неявном виде. Для нахождения производной функции нужно продифференцировать обе части уравнения F(x,y)=0 по х, считая, что

у есть функция от х. При дифференцировании воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции

-производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулой

2. Найти приближенное значение функции:

Вычислить приближенное значение 1,03⁵

Для нахождения приближенного значения 1,03⁵ воспользуемся формулой

Рассмотрим функцию f(x)=x⁵ , x=1 , Dx=0.03.

f(1)=1⁵=1

1,03⁵»1+5*0.03=1.15

2.4. Дифференциал функции двух переменных:

Найти полный дифференциал функции Z=3ln(2x+ )

Дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение независимых переменных т.е.

Найдём

;

Получим

2.5. Исследование функции и построение графиков.

Провести полное исследование функции и построить её график.

1) Находим область определения функции Þ

D(f)=(-¥;-2)È(-2;2)È(2;+¥)

2)Исследуем функцию на четность, нечетность:

Þ функция нечетная, график её симметричен относительно начала координат.

3)Исследуем функцию на непрерывность, рассмотрим поведение функции в т. х=2 и х=-2. Найдем предел функции в них:

х=2 и х=-2 точки разрыва второго рода.

4) Найдем асимптоты графика функции:

-прямые х=2 и х=-2 вертикальные асимптоты;

-выясним наличие наклонных асимптот

Þ у=-х наклонная асимптота

-горизонтальных асимптот график не имеет.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

5.1 Найдем производную функции

5.2 Найдем критические точки функции

5.3Отметим критические точки на числовой прямой с учетом области определения и найдём знак производной на каждом из полученных промежутков

5.4 Найдем промежутки возрастания и убывания, определим точки экстремума

хÎ(-¥;-2Ö3]È[2Ö3;+¥) функция убывает

хÎ[-2Ö3;-2)È(-2;2)È(2;+¥) функция возрастает

х=-2Ö3-точка минимума f(-2Ö3 )=3Ö3

x=2Ö3- точка максимума f(2Ö3 )=-3Ö3

6)Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:

6.1 Найдем вторую производную функции

6.2 Найдем точки в которых вторая производная функции равна 0 и

найдём знак 2-ой производной на каждом из полученных промежутков

6.3 хÎ(-¥;2)È[0;2) график функции выпуклый вниз

хÎ(-2;0]È(2;+¥) график функции выпуклый вверх

х=0- точка перегиба

7) Построим график функции

3. Интегральное исчисление.

3.1 Неопределенный интеграл.

Пусть на некотором множестве Х определена функция ¦(х).

Функция F(x) называется первообразной для функции ¦(х) на множестве Х, если на этом множестве выполняется условие F¢(х)= ¦(х).

Если функция F(x) является первообразной для функции ¦(х),то и функция

F(x) + С также является первообразной для функции ¦(х).

Множество F(x) + С всех первообразных для функции ¦(х) называется неопределенным интегралом для функции ¦(х) и обозначается ò¦(х)×dx.

¦(х) – подынтегральная функция;

¦(х)×dx – подынтегральное выражение.

По определению

Свойства неопределенного интеграла:

Табличные интегралы:

Метод непосредственного интегрирования.

Пример.

При нахождении интеграла проинтегрировали каждое слагаемое, вынеся постоянный множитель за знак интеграла, и воспользовались табличным интегралом

При вычислении данного интеграла были использованы табличные интегралы и свойства неопределенного интеграла. Однако при вычислении интеграла можно воспользоваться следующими методами интегрирования:

Метод подстановки.

Пусть требуется вычислить интеграл ,где выражение , стоящее под интегралом является непрерывной функцией. Обозначим и интеграл преобразуется к виду . Вычислив этот интеграл, а затем, вернувшись к переменной х, мы получим значение исходного интеграла. Таким образом, справедливо равенство: , где после интегрирования правой части в полученное выражение, вместо и нужно подставить g(x).

Пример:

Подынтегральное выражение содержит сложную функцию , поэтому можно сделать подстановку Таким образом,

Метод интегрирования по частям.

Пусть и(х) и n(х) две дифференцируемые в некоторой области функции. Тогда справедлива следующая формула: , которая называется формулой интегрирования по частям, и которая позволяет вычислить один из двух симметричных по форме интегралов, через другой.

Пример:

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

В данном интеграле обозначим , тогда

Получим:

3.2.Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [а;b] задана функция у=¦(х). Разобьем отрезок [а;b] произвольным образом на п произвольных частей х₀ =а, х₁, х₂…х_п= b. Обозначим х_i₊₁ - х_i=Dх_i (i=1,2 …п). Произвольным образом возьмем точки с_iÎDх_i, Вычислим функцию ¦( с_i) и составим сумму .

Если функция у=¦(х) непрерывна на отрезке [а;b], то существует предел данной суммы при Dх ® 0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [а;b] на части Dх_i ,ни от выбора точек с_i внутри Dх_i. Этот предел называется определенным интегралом для функции ¦(х) и обозначается . Таким образом, .

Вычисляются определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница:

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он определяет (при¦(х) ³ 0 ) площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=¦(х), отрезком [а;b] оси ОХ и двумя прямыми х=а и х= b. .

Если некоторая область в плоскости ХОУ ограничена двумя кривыми у=¦₁(х) и у=¦₂(х), причем для всех хÎ[а;b] выполняется условие ¦₂(х)³¦₁(х) и двумя прямыми х=а и х= b, то её площадь находится по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у=х²-5х+3, у= - х + 3.

1. Построим схематический рисунок:

Графиком первого уравнения является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины параболы х₀= - b/2 а = 5/2=2,5,

у₀=(2,5)²- 5×2,5+3 = - 3,25. Вершины параболы имеет координаты (2,5; - 3,25). Графиком второго уравнения является прямая, проходящая через точки с координатами (0; 3) и (3;0).

2. Найдем точки пересечения параболы и прямой: х²-5х+3=- х + 3 Þ

х² – 4х =0Þ х₁=0 и х₂=4.

3. Найдем площадь полученной фигуры:

3.3 Варианты контрольной работы раздела Математический анализ

Вариант 1

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4.

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение 2,03⁴

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=ln(x²+Öx²+y²)

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³-9х²+24х-13 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3

6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²-4х+3, у=х-1.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 2

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;

1.4. ;

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение 8.05^1/3

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=3^sin⁽²^x⁺³^y⁾

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³-3х+4 и построить её график.

Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание 6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3

6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²+2х, у=х+2.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 3

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.2. ;1.2. ;

1.3 ;1.4.

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение 4,002^1/2

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=(2x-y)cos(3x+2y)

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³+3х²+3 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание 6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3

6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²+4х+3, у=х+3.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 4

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2 ;

1.3. ;1.4. ;

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение tg46°

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=-х³+3х²-5 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание 6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3 6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у= х²-6х+10, у=х.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 5

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;

1.3. ;1.4. ;

Задание 2

Найти производные заданных функций:

21 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=-х³-3х²-2 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3 6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²-2х-1, у=х-1.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 6

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;1.3. ;

1.4.

Задание 2

Найти производные заданных функций:

21 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение sin29°

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³+6х²+9х+2 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3

6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²+6х+8,у=х+4.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 7

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;

1.3. ;1.4.

Задание 2

Найти производные заданных функций:

21 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение 1,05⁷

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=3arcsin(2+xy)

Задание 5

5.1Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=-х³-6х²-9х-3 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3

6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²-6х+13, у=х+3.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 8

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;

1.3. ;1.4. ;

Задание 2

Найти производные заданных функций:

21 2.2 2.3

Задание 3

Вычислить приближенное значение tg46°

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=x³ycos(x²y³)

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=-х³+3х-5 и построить её график.

Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3 6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²+8х+15, у=х+5.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 9

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;1.3. ;

1.4

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 у = 2.2 у = 2.3 у =

Задание 3

Вычислить приближенное значение 2,01⁴

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=xln(3x²+2xy³)

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³-3х²+6 и построить её график.

Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание 6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3 6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х², у=х+2.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .

Вариант 10

Задание 1

Найти пределы следующих функций:

1.1. ;1.2. ;1.3. ;1.4. .

Задание 2

Найти производные заданных функций:

2.1 у = 2.2 у = 2.3 у =

Задание 3

Вычислить приближенное значение tg46°

Задание 4

Найти полный дифференциал функции z=

Задание 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х³-6х²+9х+1 и построить её график. Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х₀=1.

Задание6

Найти заданные интегралы:

6.1 6.2 6.3 6.4

Задание 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

у=х²-1, у=х+1.

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а) ; б) ; в) .

Задание 9

Исследовать числовой ряд на сходимость .