В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета.

Нётер теорема

НЁТЕРТЕОРЕМА- утверждает, что для всякой физ. системы, уравнения движения к-рой могут быть получены из вариац. принципа, каждому однопараметрич. непрерывному преобразованию, оставляющему вариац. функционал инвариантным, отвечает один дифференц.сохранения закон, и, главное, позволяет явно выписать сохраняющуюся величину. Установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта (D. Hilbert), Ф. Клейна (F. Klein) и Э. Нётер (Е. Noether). H. т. - самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классич. механике, теории поля, квантовой теории и т. д.
В классич. механике для системы сдействием


(L -Лагранжа функция,зависящая от обобщённых координат и скоростей инвариантность S относительно образующих группу преобразовании с параметром

Где задающие преобразование ф-ции зависят от совокупности координат и времени] влечёт за собой, согласно Н. т., сохранение во времени величины

В частности, из инвариантности S относительно (1) с т. е. из однородности времени, следует закон сохранения энергии:

В этом случае L не зависит от времени явно. Подобным же образом из инвариантности S по отношению к пространств. сдвигам следует закон сохранения импульса, а из изотропии пространства - закон сохранения трёхмерного момента.
В гамильтоновом описании, т. е. когда Q выражены через канонические переменные - обобщённые координаты и импульсы (для простоты считаем, что явные зависимости от времени отсутствуют): 1)Пуассона скобкаQ с гамильтонианом и равна нулю, 2) изменение любой динамич. переменной F при преобразовании (1) определяется её скобкой Пуассона с Q. В этом контексте утверждение Н. т. становится как бы тривиальным, следующим из одной лишь антисимметрии скобок Пуассона:

Если преобразования симметрии образуют не однопараметрич. группу, то между QA должны выполняться соотношения в скобках Пуассона, воспроизводящиеЛи алгебругенераторов соответствующей группы. Так, напр., три компоненты момента должны удовлетворять соотношению в скобках Пуассона


(где -Леви - Чивиты символ), воспроизводящему алгебру Ли группы трёхмерных вращений 0(3).
Особо важное значение Н. т. приобретает вквантовой теории поля(КТП), где вытекающие из наличия группы симметрии законы сохранения часто оказываются единств. источником информации о свойствах системы. Для формального вывода Н. т. в (классич. или квантовой) теории поля рассматривают интеграл действия:

где -лагранжиан,зависящий от ф-ций поля , их первых производных по всем четырём координатам и, возможно, от координат - точка пространства-времени; индекс а нумерует компоненты поля; принята система отсчёта, в к-рой Тогда Н. т. утверждает, что из инвариантности действия (2) относительно преобразований с параметрами

для произвольной области интегрирования R вытекает дпфференц. закон сохранения:

где т. н. нётеров ток вычисляется из лагранжиана по правилу:


где

Символ Кронекера; по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Интегрируя (3) по произвольному 4-объёму и используяГаусса теорему, получаем, что полный 4-поток вектора через ограничивающую этот объём гиперповерхность равен нулю. Выбирая гиперповерхность в виде цилиндра с пространственноподобными основаниями, такого, что потоком через боковые стенки можно пренебречь, приходим к утверждению, что направленные в будущее потоки вектора через нижнее и верхнее основания равны. Отсюда следует, что нётеровы заряды

во-первых, сохраняются во времени (интегральная форма Н. т.), во-вторых, преобразуются приЛоренца преобразованияхконтравариантно соответствующим параметрам
Из физ. представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразованийПуанкаре группы, что в силу Н. т. приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трёх компонент импульса и 6 компонент 4-момента. Сохранение энергии и импульса следует из инвариантности относительно трансляций . При этом , , нётеровы токи исчерпываются выражением (5) и образуют тензор энергии-импульса. Сохраняющиеся "заряды" суть компоненты 4-импульса:

Из инвариантности относительно трёх пространств. поворотов и трёх преобразований Лоренца