Работа при изменении объема газа

⇐ Назад

Газ оказывает давление на любую стенку сосуда. Если стенка подвижна (например, поршень на рис. 1), то сила давления F совершит работу A, переместив поршень на расстояние DL. Если DL невелико, то давление газа останется примерно постоянным. Тогда работа будет равна: A = F·DL·cosa = P·S·DL, где S - площадь поршня, a - угол между направлением силы и перемещением поршня (a = 0). Произведение S·DL равно изменению объема газа DV от начального V₁ до конечного V₂значения, т.е. S·DL =DV = V₁- V₂. Тогда A = P·(V₂ - V₁) = P·DV. В изобарном процессе расширения газа P = const. Следовательно, при любом сколь угодно большом увеличении объема сила давления газа на поршень будет постоянной, и формула работы сохранит свой вид A = P·(V₂ - V₁).

Как видно из рисунка 2, работа газа при изобарном расширении равна площади под графиком процесса в координатах P, V.

Если в процессе расширения давление газа изменяется, то для вычисления работы можно воспользоваться графическим методом (см. рис. 3). Пусть процесс расширения имеет вид, изображенный на рисунке. При любом малом изменении объема DV работа равна площади малого прямоугольника (на рис. 3 он заштрихован). Полная работа равна сумме площадей всех малых прямоугольников и равна площади фигуры, ограниченной линией, представляющей собой график процесса.

При сжатии газа внешними силами перемещение поршня DL противоположно силе давления газа F, тогда работа газа будет отрицательной величиной (DV < 0). Работа внешней силы A' в данном случае будет положительной, а величина A' = - A. Работа газа в циклических процессах Совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние называется циклом. Все тепловые машины (двигатели внутреннего сгорания, холодильные и паровые машины, и др.) работают циклически. Любой замкнутый цикл состоит из процессов расширения и сжатия (см. рис. 4). На участках BC и CDгаз расширяется и совершает положительную работу A₁, которая равна площади фигуры под линиейABCDE. В процессах DF и FB газ сжимается и совершает отрицательную работу A₂, величина которой равна площади под линией ABFDE. Таким образом, полная работа газа равна площади цикла. В прямом цикле A > 0; в обратном цикле A < 0.

рис.4

Тепловые машиныАнализируя работу тепловых двигателей, французский инженер Карно в 1824 г пришел к выводу, что более выгодным круговым процессом является цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов, т.к. он характеризуется наибольшим к.п.д. В цикле Карно рабочее тело изотермически, а затем адиабатно расширяется, после чего снова изотермически (при более низкой температуре) и потом адиабатно сжимается. Цикл, который совершает идеальный газ некоторой массы, складывается из четырех процессов:

	Рабочее тело приводят в контакт с нагревателем-источником тепла постоянной температуры Т_н. При изотермическом расширении на участке 1-2 от нагревателя отбирается тепло Q_н . Вследствие этого температура газа остается неизменной.
	Отсоединяем нагреватель от рабочего тела и при тепловой изоляции даем газу адиабатно расширяться. Внутренняя энергия газа уменьшается и его температура падает до Т_х.
	Приводим газ в контакт с холодильником, имеющим постоянную температуру Т_х, причем Т_х< Т_н. После этого газ сжимаем изотермически, и выделяющееся при этом тепло Q_х отбирается холодильником.
	Рабочее тело отсоединяем от холодильника и в условиях тепловой изоляции газ адиабатно сжимается до исходного состояния. Таким образом, нагреватель отдал газу теплоту Q_н , а холодильник отобрал теплоту Q_х . Разность (Q_н-Q_х) определяет полезную работу за один цикл, т.е. A=(Q_н-Q_х) , а работа на адиабатных участках взаимно компенсируется. Отношение полезной работы А газа, совершенной за один цикл, к затраченной энергии нагревателя определяет к.п.д. тепловой машины:

h_макс=(Q_н-Q_х)/Q_н

Либо к.п.д. численно равен отношению разности температур нагревателя Т_н и холодильника Т к абсолютной температуре нагревателя.

h_макс =(T_н-T_х)/T_н

Работа, совершаемая газом в результате изменений его состояний по любому замкнутому циклу, пропорциональна площади цикла на диаграмме pV.

Второе начало термодинамики
Карно впервые показал, что полезную работу можно получить лишь в случае, когда тепло передается от нагретого тела более холодному. Развивая идеи Карно, английский физик Томсон сформулировал второе начало термодинамики: "В природе невозможен процесс, единственным результатом которого была бы механическая работа, полученная за счет охлаждения теплового резервуара". Второй закон устанавливает направление течения и характер процессов, происходящих в природе. Согласно Клаузиусу, давшему одну из первых формулировок второго закона: "теплота не может сама собой переходить от менее нагретого тела к более нагретому". Физический смысл второго закона наиболее ясно раскрывается в формулировке Планка:" Невозможен такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение тепла в работу"

Согласно второму началу термодинамики: в циклически действующем тепловом двигателе невозможно преобразовать все количество теплоты, полученное от нагревателя, в механическую работу. Это утверждение связано с необратимостью тепловых процессов: количество теплоты самопроизвольно передается от тела с большей температурой телу с меньшей температурой. Теплопередача от холодного тела к более нагретому самопроизвольно не возникает, а достигается лишь за счет дополнительной работы холодильной установки.

Среди равновесных процессов, которые происходят с термодинамическими системами, отдельно рассматриваются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния остается постоянным.

Изохорный процесс (V=const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1), где процесс 1—2 есть изохорное нагревание, а 1—3 — изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

Из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) для изохорного процесса следует, что вся теплота, которая сообщается газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

т.к. C_V=dU_m/dt,

Тогда для произвольной массы газа получим

(1)

Изобарный процесс (p=const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, которая параллельна оси V. При изобарном процессе работа газа при увеличения объема от V₁ до V₂ равна

(2)

и равна площади заштрихованного прямоугольника (рис. 2). Если использовать уравнение Менделеева-Клапейрона для выбранных нами двух состояний, то

откуда

Тогда выражение (2) для работы изобарного расширения примет вид

(3)

Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T₂ —T₁ = 1К, то для 1 моль газа R=A, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К.

Рис.1

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты

его внутренняя энергия возрастает на величину (т.к. C_V=dU_m/dt)

При этом газ совершит работу, определяемую выражением (3).

Изотермический процесс (T=const). Изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:

Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу, которая расположена на диаграмме тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс.

Исходя из формул для работы газа и уравнения Менделеева-Клайперона найдем работу изотермического расширения газа:

Так как при Т=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:

то из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) следует, что для изотермического процесса

т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

(4)

Значит, для того чтобы при расширении газа температура не становилась меньше, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, равное внешней работе расширения.

Адиабатический процесс

В параграфе 1.4 было введено понятие адиабатически изолированной системы, то есть системы, которая не обменивается теплотой с окружающими телами. Процессы, происходящие в такой системе, называются адиабатическими. Так как при адиабатических процессах , то первое начало термодинамики для них можно записать в форме:

(2.74)

Совместное применение этого выражения и уравнения Клапейрона-Менделеева позволяет получить уравнение, описывающее адиабатический процесс в идеальном газе. Для этого представим выражение (2.74) в виде:

(2.75)

Нахождение полных дифференциалов от правой и левой частей уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10) дает:

(2.76)

Вычитание из этой формулы выражения (2.75) приводит его к виду

(2.77)

С учетом соотношения Майера (2.70) имеем:

(2.78)

Умножим выражение (2.75) на отношение теплоемкостей и сложим его с формулой (2.78). Тогда получим

(2.79)

где введено обозначение

(2.80)

Величина называется показателем адиабаты. Формулы (2.65) и (2.71) позволяют определить показатель адиабаты через количество степеней свободы :

(2.81)

Из этого выражения следует, что показатель адиабаты для идеального газа всегда больше единицы. Для одноатомных газов этот показатель равен 1,67, а для двухатомных и многоатомных соответственно 1,4 и 1,33.

Поделив уравнение (2.79) на произведение преобразуем его к виду

(2.82)

или

(2.83)

Отсюда следует:

(2.84)

Интегрирование этого уравнения позволяет получить формулу

(2.85)

которая называется уравнением Пуассона в честь французского механика, математика и физика Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840). Это уравнение адиабатического процесса для идеального газа, или адиабаты - кривой, описываемой этим уравнением в переменных и .

С помощью уравнения Клапейрона-Менделеева уравнение (2.85) можно переписать, используя другие параметры состояния идеального газа:

(2.86)

(2.87)

Сравнивая уравнение Пуассона (2.85) с уравнением Бойля-Мариотта (2.11): , можно убедиться, что адиабата идеального газа, построенная в координатах и , всегда идёт круче изотермы (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7. Графики адиабатических процессов (1) и изотермического процесса (2)

Это связано с тем, что, как указывалось выше, показатель адиабаты для газов всегда больше единицы и принимает наибольшее значение для одноатомных газов. Поэтому самую крутую адиабату имеют инертные газы, молекулы которых состоят из одного атома.

Поскольку адиабата пересекает все изотермы данной термодинамической системы, возможен адиабатический переход с одной изотермы на другую, путём сжатия или разрежения газа. А посредством изотермического изменения объёма возможен переход с одной адиабаты на другую.

Работу идеального газа в адиабатическом процессе можно определить с помощью выражения (2.74). Интегрирование (см. комментарий к формулам (1.6) - (1.8)) этого выражения дает:

(2.88)

где: и - температуры газа в начале и в конце процесса соответственно. В данном случае работа при переходе из одного состояния системы в другое определяется только функцией состояния системы , так как путь перехода однозначно задан уравнением Пуассона.

Молярная теплоемкость газа может быть выражена через показатель адиабаты . Подстановка в формулу (2.80) соотношения Майера (2.70) приводит её к виду

(2.89)

из которого следует искомое выражение:

(2.90)

С учетом этой формулы выражение (2.88) может быть представлено в форме

(2.91)

На основании уравнения адиабаты (2.86) запишем соотношение между температурами и объемами газа в начальном и конечном состояниях:

(2.92)

или

(2.93)

Подстановка этой формулы в выражение (2.91) дает

(2.94)

или с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10)

(2.95)

Формула (2.95) может быть получена и непосредственно с помощью интеграла (1.13), при подстановке в него уравнения Пуассона (2.85), записанного для произвольной точки адиабаты

(2.96)

Тогда имеем

(2.97)

Адиабатический процесс может быть реализован в газе либо путём его термоизоляции, либо за счёт быстрого протекания процесса, когда процесс теплопередачи не успевает произойти. Первый способ применялся в опытах Джоуля, описанных выше, где было принципиально необходимо достижение газом состояния, близкого к равновесному. Поэтому каждый из опытов требовал продолжительного времени (около часа) и возникала необходимость введения поправок на тепловые потери.

Примером быстропротекающего процесса является распространение звука в воздухе. Несмотря на то, что такой процесс нельзя считать равновесным, опыт показывает, что для его описания возможно применение уравнения Пуассона, полученного в рамках равновесной термодинамики.

В 1816 году, за семь лет до вывода Пуассоном уравнения адиабатического процесса, Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) была получена формула для скорости распространения звука в газе

(2.98)

где: и - давление и плотность газа. Измерения значений , и позволяют по этой формуле рассчитать значение показателя адиабаты . Для воздуха это значение близко к 1,4, что указывает на возможность с хорошей точностью считать его состоящим из двухатомных молекул.

Экспериментальное определение молярных теплоёмкостей и для реальных газов представляет собой довольно сложную задачу. Большой вклад в её решение внёс Анри Виктор Реньо (1810 - 1878), под руководством которого были измерены молярные теплоёмкости многих веществ, в том числе газов. Исследования проводились в лаборатории при Сервской фарфоровой мануфактуре и носили прикладной характер, связанный с совершенствованием тепловых машин. Некоторыми из методик, разработанных Ренье, впоследствии воспользовался Джоуль при проведении своих опытов.

В заключение рассмотрим вопрос о том, как соотносится уравнение Пуассона, записанное в переменных и (2.86), с результатами опытов Гей-Люссака, описанными в предыдущем параграфе. Действительно, в соответствии с результатами этих опытов температура идеального газа не изменяется при его расширении в жестком, адиабатически изолированном сосуде, а согласно уравнению (2.86) температура такого газа при адиабатическом процессе должна понижаться. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что в соответствии со схемой опыта Гей-Люссака, показанной на рис. 2.5, идеальный газ при расширении не совершает механической работы над внешними телами: . Поэтому соотношение (2.74) сводится к тождеству: , и получение из него выражений (2.75) - (2.79) и далее формул (2.82) - (2.85) становится невозможным.

Таким образом, уравнение Пуассона неприменимо для описания опытов Гей-Люссака. Это связано с тем, что процесс адиабатического расширения идеального газа без совершения механической работы является необратимым, в отличие от обратимого адиабатического расширения, описываемого уравнением Пуассона. Подробнее описание необратимого адиабатического расширения рассмотрено в параграфе 4.3.

Задача 2.2. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндрического сосуда находится теплонепроводящий поршень, который может двигаться без трения. В начальный момент поршень находится в середине сосуда и делит его на равные части объемом . В каждой из этих половин сосуда находится идеальный газ с показателем адиабаты при давлении . Какую работу надо совершить, чтобы уменьшить объём одной из половин в два раза?

Решение: В обеих частях цилиндрического сосуда будет происходить адиабатический процесс

где объёмы V₁ и V₂ двух частей сосуда связаны соотношением

Пусть происходит уменьшение в два раза половины сосуда, описываемой объемом , то есть объем изменяется от до . Соответственно объем увеличивается от до . Тогда элементарная работа, совершаемая над газом, будет определяться разностью давлений в двух частях сосуда:

где учтено, что .

Подстановка в последнюю формулу первых двух соотношений и её интегрирование дает

При это выражение равно нулю, в чем можно убедиться устремив к единице и раскрыв неопределенность. При это выражение становится положительным, так как при увеличении параметра второе слагаемое в этой формуле растёт быстрее, чем убывает первое.

Задача 2.3. Адиабатически изолированный сосуд разделен перегородкой на две равные части, каждая объемом . В левой части находится двухатомный идеальный газ при давлении и температуре . Торцевая стенка правой части сосуда является поршнем. Перегородку вынули, а затем газ медленно сжали поршнем так, что он снова стал занимать левую половину сосуда. Найти давления , и температуры , газа после изъятия перегородки и в конце процесса.

Решение: При адиабатическом расширении идеального газа без совершения работы над внешними телами, его внутренняя энергия и температура не изменяются. Поэтому после изъятия перегородки имеем:

При адиабатическом сжатии газа поршнем увеличение его внутренней энергии равно работе, совершенной поршнем. Температура и давление газа в конце процесса могут быть найдены с помощью соотношений (2.86) и (2.85), из которых имеем:

Отметим, что хотя протекающие процессы при расширении газа и его сжатии различные, уравнение состояния идеального газа применимо для описания конечного состояния газа для обоих этих случаев. Расширение газа после удаления перегородки будет необратимым, а его медленное сжатие поршнем - можно описывать как обратимый процесс. Возможность использования уравнения состояния идеального газа для описания конечного состояния необратимого процесса связано с предположением о том, что при достижении этого конечного состояния газ становится термодинамически равновесной системой.

http://www.ngpedia.ru/cgi-bin/findimg.exe?reg=1&text=032200231238242229240236251032232032224228232224225224242224046