Приклади розв’язання задач. Приклад 1. У вершинах квадрата перебувають однакові точкові заряди 30 нКл

 

Приклад 1. У вершинах квадрата перебувають однакові точкові заряди 30 нКл. Який негативний заряд треба помістити в центрі квадрата, щоб зазначена система зарядів перебувала в рівновазі?

Дано:

q1 = q2 = q3 = q4 = 30 нКл = 30.10-9 Кл.

_______________________________

q5 = ?

Розв’язання. Всі заряди, розташовані у вершинах квадрата, перебувають в однакових умовах. Тому досить з'ясувати, який заряд слід помістити в центр квадрата, щоб який-небудь із чотирьох зарядів, наприклад q1, перебував у рівновазі. Заряд q1 буде перебувати в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює Рисунок 6

нулю (рис.6)

0, ( 1)

 

де , , , – сили, з якими відповідно діють на заряд q1 заряди q2 , q3 , q4, q5;

= + – рівнодійна сил та .

 

За законом Кулона, маючи на увазі, що q1 = q2 = q3 = q4 = q, одержимо

 

F2 = F4 = , ( 2)

 

F3 = , ( 3)

 

F5 = , ( 4)

 

де a – сторона квадрата;

r = a – діагональ квадрата.

Як видно з рис. 6, рівнодійна сил й за напрямком збігається із силою F3 і за модулем дорівнює F = . З урахуванням цього твердження векторну рівність (1) можна замінити скалярною

F + F3 - F5 = F2 +F3 -F5 . ( 5)

 

Рівність (5) з урахуванням (2) – (4) матиме вигляд

= 0 .

Звідки

q .

Здійснивши обчислення, одержимо

 

3.10-8 Кл = 2,87 . 10-8 Кл.

Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 2. Два точкових заряди 2 нКл і -1 нКл перебувають у повітрі на відстані 5 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал електричного поля в точці, віддаленої від першого заряду на відстань 6 см і від другого заряду на відстань 4 см.

Дано:

q1 = 2 нКл

q2 = - 1 нКл

d = 5 см

r1 = 6 см

r2 = 4 см

____________

Е – ?

j – ?

Рисунок 7

Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів кожен заряд створює поле незалежно від наявності в просторі інших зарядів. Напруженість результуючого поля . Напруженості полів, створюваних у повітрі (e = 1) зарядами q1 й q2 визначають за формулами:

 

E1 = , ( 1)

 

E2 = . (2)

Напрямки векторів і зазначені на рис.7. Модуль вектора E знайдемо за теоремою косинусів

, (3)

де a – кут між векторами і .

З рис.7 видно, що .

Отже,

. (4)

 

Із трикутника зі сторонами r1, r2, d за теоремою косинусів знаходимо

 

cos b = ( r12 + r22 - d2) / (2r1r2).

 

Обчислимо cos окремо

 

cosb = .

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: q1 = 2.10-9 Кл, q2 = -10-9 Кл, r1 = 6.10-2 м, r2 = 4.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1.

Зробивши обчислення за формулами (1), (2), (4), (5), одержимо:

 

E1 = B/м,

 

E2 = B/м.

 

При обчисленні Е2 знак заряду q2 опущений, тому що знак мінус визначає напрямок вектора , а напрямок був врахований при його графічному зображенні (рис.7).

 

.

 

За принципом суперпозиції потенціал результуючого поля, створюваного зарядами q1 й q2, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів j1 та j2, тобто j = j1 + j2 або

. (5)

 

Зробивши обчислення, одержимо

 

.

Приклад 3. На тонкій нитці, вигнутій по дузі кола радіусом 6 см, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 20нКл/м. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного розподіленим зарядом у точці, яка збігається із центром кривизни дуги, якщо довжина нитки становить 1/3 довжини кола.

Дано:

R = 6 см

= 20 нКл/м

l = 2/3 R

___________

Е - ? - ?

Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався із центром кривизни дуги, а вісь ОY була б розташована симетрично до кінців дуги (рис.8). Рисунок 8

 

Розіб'ємо нитку на елементарні ділянки й виділимо елемент довжиною dl із зарядом dq = dl. Цей заряд можна розглядати як точковий.

Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цієї точки напруженість поля, створюваного зарядом dq, дорівнює

 

 

де – радіус-вектор, спрямований від елемента dl у точку О.

Розіб'ємо вектор d на складові й . Із умови симетрії випливає, що сума складових від всіх елементарних ділянок нитки дорівнює нулю й результуючий вектор буде спрямований уздовж осі OY. В цьому випадку напруженість поля визначиться так

, (1)

де dEY = dЕ sin a.

Оскільки r = R й dl = Rd , то

dEy= sin = sin d . (2)

 

Після підстановки (2) в (1), проведемо інтегрування в межах зміни кута від 0 до , попередньо помноживши цей інтеграл на 2

E= = . (3)

 

Знайдемо потенціал електричного поля у точці О. У цій точці потенціал поля, створеного точковим зарядом dq, дорівнює

 

. (4)

 

Потенціал результуючого поля одержимо шляхом інтегрування виразу (4) по довжині нитки

.

Оскільки l = 2 R / 3, то

. (5)

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 2.10-8 Кл/м, R = 6.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1, e0 = 8,85.10-12 Ф/м.

Здійснивши обчислення за формулами (3) і (5), одержимо:

 

E = В/м,

В.

 

Приклад 4. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною заряду 20 нКл/м. Визначити роботу сил поля з переміщення точкового заряду 25 нКл із точки, що перебуває на відстані 1 см, у точку, що перебуває на відстані 3 см від поверхні циліндра в середній його частині.

Дано:

R = 1 см = 1.10-2 м

t = 20 нКл/м = 2.10-8 Кл/м

q = 25 нКл = 2,5. 10-8 Кл

a1 = 1 см = 1.10-2 м

a2 = 3 см = 3.10-2 м

_____________________

А - ?

Розв’язування. Робота сил поля з переміщення заряду дорівнює

 

А = q(j1 - j2).

 

Для знаходження різниці потенціалів скористаємося співвідношенням j. Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, можна записати

Е = або .

 

Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів між двома точками, які відстоять від осі циліндра на відстанях r1 й r2

, (1)

де r1 = a1 + R, r2 = a2 + R.

 

Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої частини, то можна скористатися формулою напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром

 

(2)

Підставивши (2) в (1), одержимо

 

ln

або

ln (3)

Таким чином,

ln

 

Перевіримо чи дає розрахункова формула одиницю роботи. Для цього в праву частину замість символів величин підставимо їх одиниці

.

Виразимо всі величини в одиницях СІ: e = 1; t = 2.10-8 Кл/м; q = 2,5.10-8 Кл; 1/2peо = 2,9 109 м/Ф. Оскільки величини r2 й r1 входять у формулу (3) у вигляді відношення, то їх можна виразити в сантиметрах.

Виконавши необхідні розрахунки, одержимо

 

 

А = 2,5.10-8.2,9.109 .2. 10-8 = 6,2.10-6 Дж.

 

Приклад 5. Електричне поле створене тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду 30 нКл/м. На відстані 20 см від нитки перебуває плоска кругла площадка радіусом 1 см. Визначити потік вектора напруженості електричного поля через площадку, якщо її площина складає кут 30о з лінією напруженості, яка проходить через середину площадки.

Дано:

= 30 нКл/м

a = 20 см

R = 1 см

b = 30о

_____________

DNЕ - ?

 

Розв’язання. Поле, створюване ниткою (дуже тонким циліндром), є неоднорідним, тому воно змінюється в просторі

 

(1)

 

Потік вектора дорівнює

 

cos ,

де – кут між векторами й (рис.9). Оскільки лінійні розміри площадки малі в порівнянні з відстанню до нитки (а>>R), то Е в межах площадки змінюється незначно. Тому значення Е и cos під знаком інтеграла можна замінити їх середніми значеннями <E> й <cos > і винести за знак інтеграла

 

<E> <cos > <E> <cos > S,

де S = R2 .

Замінюючи <E>й <cos > їх наближеними значеннями ЕА й cos A, розрахованими для середньої точки А площадки, одержимо

S cos A =EA R2 cos A . (2)

З рис.10 видно, що

cos A = cos(90о - ) =sin .

З урахуванням цього формула (2) матиме

вигляд

sin sin .

Рисунок 9

Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 3.10-8 Кл/м; e = 1; a = 0,2 м; R = 10-2 м; 1/2peо = 2,9.109 м/Ф.

Зробивши обчислення, одержимо

B.м.

Приклад 6. Електрон рухається в однорідному електричному полі вздовж силової лінії. У деякій точці поля з потенціалом 100 В електрон мав швидкість 4 Мм/с. Визначити потенціал точки поля, дійшовши до якої, електрон втратить половину своєї швидкості.

Дано:

j1 = 100 В

1 = 4 Мм/с = 4.106 м/c

2 = 2 Мм/с = 2.106 м/c

___________________

j2 – ?

Розв’язання. Через відсутність сил тертя повна механічна енергія електрона не змінюється, тобто W = = const,

де – кінетична й (- еj) – потенціальна енергія електрона.

Повна енергія на початку руху

, (1)

 

наприкінці руху з урахуванням того, що 2 = 1/2,

. (2)

Прирівнявши вирази (1) і (2), одержимо для потенціалу

 

.

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: 1 = 4.106 м/с; m = 9,1.10-31 кг; е = 1,6.10-19 Кл.

Виконавши обчислення, одержимо

 

= 66 В .

Можливий й інший підхід до розв’язання. Зміна кінетичної енергії частинки дорівнює роботі результуючої сили, тобто

 

.

 

Оскільки електрон гальмується силами поля, то А = - е(j1 - j2).

 

Приклад 7. Сила взаємного притягання пластин плоского повітряного конденсатора 50 мН. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити об'ємну густину енергії поля конденсатора.

Дано:

F = 50 мН = 5.10-2 Н

S = 200 см2 = 2.10-2 м2

__________________

w - ?

Розв’язання. Об'ємна густина енергії поля конденсатора

 

(1)

 

де Е =s/ee0 – напруженість електричного поля між пластинами конденсатора;

s – поверхнева густина заряду на пластинах.

Підставивши вираз для Е в (1), одержимо

 

(2)

Знайдемо силу взаємного притягання пластин. Заряд q = sS однієї пластини перебуває в полі напруженістю Е1 = s / 2ee0, створеному зарядом іншої пластини конденсатора. Отже, на заряд першої пластини діє сила

 

(3)

 

Виразивши s2 з формули (3) і підставивши її в (2), одержимо

 

w = F / S

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: F = 5.102 Н, S = 2.10-2 м2.

Виконавши необхідні обчислення, одержимо

 

Дж/м3.

 

Приклад 8. Між пластинами плоского конденсатора, зарядженого до різниці потенціалів 600 В, перебувають два шари діелектриків – скло товщиною 5 мм та ебоніт товщиною 3 мм. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити: а) напруженість електричного поля, індукцію й спад напруги в кожному шарі; б) електричну ємність конденсатора.

 

Дано:

U = 600 В

скло,

d1 = 5 мм = 5.10-3 м

ебоніт

d2 = 3 мм = 3.10‑ 3 м

S = 200 см2 = 2.10-2 м2

________________

Е – ? D – ?

U 1– ? U2 – ?

С – ?

Розв’язання. При переході через межу поділу діелектриків нормальна складова вектора в обох шарах діелектриків має однакові значення D1n = D2n.

У конденсаторі силові лінії вектора перпендикулярні до межі поділу діелектриків, отже, D1n = D1 й D2n = D2. Тому

 

D1 = D2 = D. (1)

 

Врахувавши, що D = ee0Е, і скорочуючи на e0, з рівності (1) одержимо

 

e1E1 = e2Е2 , (2)

де Е1 й E2 – напруженості електричного поля в першому й у другому шарах діелектриків;

e1 й e2 – діелектричні проникності діелектриків.

Різниця потенціалів між пластинами конденсатора очевидно дорівнює сумі напруг на шарах діелектриків

 

U = U1 + U2 . (3)

 

У межах кожного шару поле однорідне, тому U1 = E1d1 й U2 = Е2d2. З урахуванням цього рівність (3) набуде вигляду

 

U = Е1d1 + E2d2. (4)

 

Розв’язавши спільно рівняння (2) і (4), одержимо

 

 

Виразимо всі величини в одиницях СІ: d1 = 5.10-3 м; d2 = 3.10-3 м; e1= 7; e2 = 3; e 0 = 8,85.10-12 Ф/м.

Виконавши необхідні обчислення, одержимо

 

B/м;

 

B/м;

 

B;

 

B;

 

Кл/м2.

 

Визначимо ємність конденсатора

 

С = , (5)

 

де q = S – заряд кожної пластини конденсатора. Враховуючи ту обставину, що поверхнева густина зарядів (на пластинах конденсатора чисельно дорівнює модулю електричного зміщення, тобто ( = D), одержимо

 

 

 

Виконавши необхідні обчислення, одержимо

 

пФ.

 

Електричний струм

Основні формули

 

1. Сила постійного струму

,

 

де q – заряд, що пройшов через поперечний переріз провідника за час t.

 

2.Густина електричного струму є векторна величина, яка дорівнює відношенню сили струму до площі S поперечного перерізу провідника:

,

де k – одиничний вектор, який за напрямком збігається з напрямком руху позитивних носіїв заряду.

3. Опір однорідного провідника

 

де – питомий опір речовини провідника;

l – його довжина.

4. Провідність G провідника і питома провідність речовини:

 

, .

 

5. Залежність питомого опору від температури

 

,

де і 0питомі опори відповідно при t і 0°С;

t – температура (за шкалою Цельсія);

– температурний коефіцієнт опору.

4. Опір послідовно з'єднаних провідників:

 

.

 

Опір паралельно з'єднаних провідників

 

,

де Rіопір і-го провідника;

п – кількість провідників.

 

7. Закон Ома в інтегральній формі:

- для неоднорідної ділянки кола

 

;

 

- для однорідної ділянки кола ( = 0)

 

;

 

- для замкнутого кола ( = )

,

 

де ( - ) – різниця потенціалів на кінцях ділянки кола;

– е.р.с. джерел струму, що входять у цю ділянку;

U – напруга на ділянці кола;

R – опір кола (ділянки кола);

е.р.с.усіх джерел струму замкнутого кола.

 

8. Правила Кірхгофа.

Перше правило: алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю, тобто

,

 

де п – кількість струмів, що сходяться у вузлі.

Друге правило: у замкненому контурі алгебраїчна сума спадів напруги на всіх ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, тобто

 

,

 

де І – сила струму на і-й ділянці;

Rіактивний опір на і-й ділянці;

– е.р.с. джерел струму на і-й ділянці;

п – кількість ділянок, що містять активний опір;

k – кількість джерел струму на всіх ділянках замкнутого контуру.

 

9. Робота, яка виконується електростатичним полем і сторонніми силами на ділянці кола постійного струму за час t

 

.

 

10. Потужність струму

 

.

 

11. Закон Джоуля-Ленца

 

,

 

де Q – кількість теплоти, що виділяється на ділянках кола за час t.

Закон Джоуля - Ленца має місце за умови, що ділянка кола нерухома і в ній не здійснюються хімічні перетворення.

12. Густина струму j, середня швидкість впорядкованого руху носіїв заряду та їх концентрація п пов'язані співвідношенням

 

,

 

де q – елементарний заряд.

13. Закон Ома у диференціальній формі

 

де – питома провідність провідника ( ;

Е – напруженість електричного поля;

τ – середній час вільного руху носіїв струму;

m – масса електрона.

14. Закон Джоуля - Ленца у диференціальній формі

 

,

 

де об'ємна густина теплової потужності.

15. Закони електролізу Фарадея. Перший закон

 

,

 

де т – маса речовини, що виділилась на електроді під час проходження через електроліт електричного заряду Q;

k – електрохімічний еквівалент речовини.

Другий закон

,

де F – стала Фарадея (F = 96,5 кКл/моль);

– молярна маса іонів даної речовини;

n – валентність іонів.

Об'єднаний закон

 

де І – сила струму, що проходить через електроліт;

t – час, протягом якого протікав струм.

16. Рухливість іонів

,

де <υ> – середня швидкість впорядкованого руху іонів;

Е – напруженість електричного поля.

17. Закон Ома у диференціальній формі для електролітів і газів при самостійному розряді в області, яка далека від насичення,

 

,

де Q – заряд іона;

п – концентрація іонів;

b+ і b-рухливість відповідних іонів;

18. Густина струму насичення

,

де покількістьпар іонів, які створює іонізатор в одиниці об'єму за одиницю часу;

d – відстань між електродами (п0 =N/(Vt), де N – кількість пар іонів, що створює іонізатор за час t у просторі між електродами;

V – об'єм цього простору.