Коэффициенты проницаемости и фильтрации

Закон фильтрации Дарси устанавливает линейную зависимость между объемным расходом несжимаемой жидкости и потерей напора, приходящейся на единицу длины, и имеет вид

(I.9)

где и - полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды (скоростные напоры отброшены вследствие их малости); l — длина образца; ω — площадь поперечного сечения (рис. 3); с — коэффициент фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости.

Учитывая, что (H1-H2)/l = i — гидравлический уклон, (1.9) можно записать так:

Q = ciω (I.10)

деля обе части последнего равенства на ω, получим

w = ci. (I.11)

Способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы называется проницаемостью. Это свойство характеризуется коэффициентом проницаемости k. В отличие от коэффициента фильтрации с коэффициент проницаемости k зависит только от свойств пористой среды.

При решении задач нефтяной подземной гидравлики удобнее записывать закон Дарси, пользуясь коэффициентом проницаемости:

(I.12)

или

где p₁* = ρgz₁+ p₁ p₂* = ρgz₂+ p₂ — давления, приведенные к плоскости отсчета геометрических высот.

Закон Дарси в дифференциальной форме имеет вид

(I.13)

где s — координата вдоль линии тока.

Коэффициенты проницаемости и фильтрации связаны соотношением

(1.14)

Коэффициент проницаемости имеет размерность площади, а коэффициент фильтрации — размерность скорости.

На практике проницаемость нефтяных и газовых пластов измеряется единицами, называемыми дарси (Д). За единицу проницаемости 1 Д принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 см² , длиной 1 см при перепаде давления в 1 кгс/см² (98 000 Па) расход жидкости вязкостью 1 сП (1 мПа∙с) составляет 1 см³/с. Величина, равная 0,001 Д, называется миллидарси (мД), 1 Д= 1,02∙10^-8 см²= 1,02.10^{-12 м2}.

Проницаемость реальных пластов изменяется от нескольких миллидарси до нескольких дарси.

Задача 1

Определить пористость ячейки фиктивного грунта (по Слихтеру) в случае, когда угол грани ромбоэдра θ=90° (рис. 4)

Ответ:m= 47,6%.

Задача 2

Показать, что пористость ти просветность п фиктивного грунта не зависят от диаметра частиц, слагающих грунт. Рассмотреть случай, когда угол грани ромбоэдра θ =90°(рис.4).

Решение.Рассмотрим основную ячейку фиктивного грунта по Слихтеру. Пористость этого элемента

откуда следует, что пористость m не зависит от диаметра.

Аналогично для просветности

Задача 3

Определить удельную поверхность песка (поверхности песчинок, заключенных в 1 м³ песчаного пласта), пористость которого m = 25% и эффективный диаметр песчинок d_э=0,2 мм. Найти также число частиц в единице объема пласта, принимая их форму сферической.

Ответ:

Задача 4

Определить пористость фиктивного грунта (по Слихтеру) при наиболее плотной укладке шаровых частиц, соответствующей значению острого угла грани ромбоэдра θ = 60° (рис. 5).

Решение. Объем основной ячейки фиктивного грунта

Значение sin α найдем следующим образом:

из

Подставляя h и ω, получим

Объем скелета ячейки равен объему одной шаровой частицы

Пористость фиктивного грунта при θ = 60° будет

Задача 5

Определить эффективный диаметр песчинок d_э по способу Крюгера — Цункера для песка следующего механического состава:

Диаметр частиц 0 – 0,05 0,05 – 0,1 0,1 – 0,2 0,2 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 1,0

мм

Δg_i,,вес. % 6,9 38,6 44,2 6,3 3,3 0,7

Ответ: d_э = 0,09 мм.

Задача 6

Сопоставить число частиц диаметром d, заключенных в 1 м³ фиктивного грунта, при наиболее свободном расположении частиц (θ = 90°) и при их наиболее тесном расположении (θ = 60°).

Решение. Обозначим число частиц в 1 м³ грунта при θ = 90° через N, а при θ = 60° —через N₁. Тогда

Задача 7

Построить кривую механического состава грунта и определить эффективный диаметр грунта по способу Газена, используя следующие данные.

Диаметр частиц 0 – 0,05 0,05 – 0,1 0,1 – 0,2 0,2 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 1,0

мм

Δg_i,,вес. % 1,5 5,3 7,2 40,1 35,7 10,2

Ответ: d_э = 0,11 мм.

Задача 8

Определить коэффициент проницаемости пористой среды (в дарси), если известно, что коэффициент фильтрации с = = 0,3∙10^-4 см/с, а кинематический коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости v = 10^-6 м²/с. Фильтрация жидкости происходит но закону Дарси.

Ответ: k = 30 мД.

Задача 9

Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь поперечного сечения образца песчаника ω = 30 см², длина образца l = 15 см, разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе Δp = 19,6кПа (0,2 кгс/см²), плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³ и расход равен 5 л/ч.

Ответ: с = 3,47∙10^-3 см/с.

Задача 10

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии r = 75 м, если известно, что мощность пласта h = 10 м, коэффициент пористости m = 12%, радиус скважины r_с = 0,1 м, массовый дебит скважины Q_m = 50 т/сут и плотность нефти ρ = 850 кг/м³.

Ответ: w_с= 1,09∙10^-4 м/с; υ_с = 0,91∙10^-3 м/с; w = 1,45∙10^-7 м/с; υ = 1,21∙10^-6 м/с.

Задача 11

Определить объемный дебит Q_c и скорость фильтрации газа w_c у стенки гидродинамически совершенной скважины, если известно, что приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре объемный дебит газа Q_at = 10⁶ м³/сут, радиус скважины r_с = 0,1 м, мощность пласта h = 20 м, абсолютное давление газа на забое р_с = 4,9 МПа (50 кгс/см²).

Ответ: Q_c = 0,239 м³/с; w= 0,019 м/с.

Задача 12

Определить коэффициент пористости, зная, что скорость движения через образец, определяемая при помощи индикатора, равна υ = 3∙10^-2 см/с, коэффициент проницаемости k = 0,2 Д, вязкость жидкости μ = 4 мПа∙с и разность давлений Δр = 2 кгс/см² при длине образца l = 15 см.

Ответ: m= 22%.

Задача 13

Определить среднее значение скорости фильтрации у входа жидкости в гидродинамически несовершенную по степени вскрытия скважину, если мощность пласта h = 25 м, относительное вскрытие пласта = 0,6, радиус скважины r_с = 0,1 м_гдебит жидкости Q = 250 м³/сут.

Ответ:w = 0,0308 см/с.

Задача 14

Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации для цилиндрического образца пористой среды диаметром d = 5 см, длиной l = 20 см, если разность давлений на концах образца составляет 300 мм рт. ст., расход жидкости Q = 1,70 л/ч, динамический коэффициент вязкости жидкости μ = 5 мПа∙с, плотность ее ρ = 0,85 г/см³. Найти также скорость фильтрации.

Ответ: k = 5,9 Д; с=10^-3см/с; w = 0,024 см/с.

Задача 15

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения при плоскорадиалыюй фильтрации газа к скважине в точке на расстоянии r = 150м от центра скважины, если давление в этой точке равно р = 7,84 МПа (80 кгс/см²), мощность пласта h = 12 м, пористость его m= 20%, а приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре дебит Q_ат=2∙10⁶ м³/сут, р_ат = 0,1 МПа.

Ответ:w = 0,262∙10^-4 м/с; υ = l,31∙10^-4 м/с.