Наближена теорія низькочастотних індукційних методів
Рішення прямої задачі індукційних методів полягає в отриманні залежності вимірюваної е.р.с. електромагнітного поля від електропровідності середовища, її геометрії і параметрів зонда.
Наближена теорія низькочастотного індукційного методу вперше була розроблена X. Г. Доллем в 1949 р., потім вона одержала розвиток в роботах С. М. Аксельрода, А. А. Кауфмана і інших дослідників. В основі наближеної теорії Долля лежать два припущення:
1. всі індуковані в навколишньому середовищі вихрові струми мають одну і ту ж фазу, зсунуту щодо фази струму в генераторній катушці на 900; це означає, що взаємодія вихрових струмів відсутня, тобто при рішенні прямої задачі явище скін-ефекту не береться до уваги;
2. амплітуда густини струму в будь-якій точці середовища розраховується по спрощеній формулі і визначається тільки просторовим чинником і питомою електропровідністю ділянки середовища.
Ці припущення справедливі лише тоді, коли частота струму живлення і електропровідність середовища порівняно невеликі. При високій частоті струму або великої електропровідності порід явище скін-ефекту істотно змінює характер розповсюдження електромагнітного поля, і в цьому випадку при рішенні прямої задачі необхідно використовувати строгу теорію.
Наближена теорія низькочастотних індукційних методів дозволяє порівняно просто встановити залежність ефективної питомої електропровідності простору, що вивчається, від електропровідності окремих середовищ, їх розмірів і положення щодо індукційного зонда, а також наочно представити фізичну сутність цього методу. За допомогою наближеної теорії можна шляхом елементарних розрахунків вирішити пряму задачу описуваних методів у разі плоских і циліндричних поверхонь розділу між середовищами. Формули, які були виведені на основі цієї теорії, треба розглядати як асимптотичні, які справедливі до електромагних хвиль, більш довших по відношенню з радіусом свердловини, h шару та діаметром зони проникнення фільтрату промив очного рас твору.
Отже, маючи однорідний ізотропний простір позірної електропровідності 
, абсолютної електричної проникності Еа та магнітної проникності 
. На вісі свердловини знаходиться двокатушковий індукційний зонд. Діаметр свердловини dc→0.Центри генераторної та вимірювальної катушок знаходяться на єдиній вісі на відстані Lа одна від одної.Вісь генераторної катушки співпадає с віссю свердловини (мал.. 1). Генераторна та вимірювальна катушки мають висоти lг та lв, число витків nг та nв, радіуси яких ru та rв, площі кожного витка 
, 
; спільні площи витків sгnг=Sг та sвnв=Sв.
Генераторна катушка живиться змінним струмом з амплітудою lа, миттєве значення якого
l=laexp(-iωī)
де ī- час, ω=2πf- кутова частота, f- циклічна частота.
 |
Мал. 1. Схема індукційного зонда з елементарним витком.
ПК- генераторна та приймальні катушки;
Т- елементарне кільце (тороїд);
Г- генератор;
У- підсилювач:
Згаданий вище магнітний диполь, вісь якого співпадає з віссю генераторної катушки создає в навколишньому середловищі електромагнітне поле. Необхідно визначити величину е.д.с., котра наводиться віхровими струмами в зазначеному просторі , та встановти зв’язки між наведеною.д.с. та позірним опором однорідног середовища, частотою поля та параметрами зонда.
Для вирішення задачі введемо циліндричну систему координат rzΨ, початок якої віднесемо до точки О, яка є серединою відстані між центрами генераторної та вимірювальної катушок. Розіб’ємо вивчає мий простір на елементарні тороїди- участки породи з горизонтальними поверхнями.. Одиничний тороїд- це горизонтальне кільце радіуса rк з центром на вісі свердловини (мал.. 2).
Магнітний момент магнітного диполя
M=nгsгl=nгsгlаexp(-iωī)
Магнітний диполь создає в навколишньому просторі магнітне поле напруженістю
H=M/2πLг3
Цю формулу можна переписати як
Н= nгsгlаexp(-iωī)/ 2πLг3
де Lг- відстань від центра генераторної катушки до токи середовища яке вивчається.
Як відомо, величина магнітного потоку, яка пронізує замкнуту поверхню
Ф= 
ВcosΨds,
де В=μ0μН=μаН- вектор магнітної індукції; Ψ- кут між нормаллю до елементарної площадки та силовими лініями магнітного поля; ds- площа перетину елементарної площадки.
Для елементарног кільця з радіусом rк, площа якого магнітні силові лінії перетинають під кутом 900 (Ψ=0) величина магнітного потоку, яка пронізує замкнуту поверхню має вигляд
Ф= 
μаНz2πrdr
(Нz- вертикальна компонента напруженостімагнітног диполя, оскільки силові лінії вгору вздовж вісі свердловини).
Зміна магнітног потоку Ф в часі создає е.д.с. електромагнітної індукції е в елементарному кільці. Згідно з закону електромагнітної індукції Фарадея величина
е= -dФ/dr
Під дією цієї е.д.с. в одиничному елементарному кільці виникає вихровий струм силою
Lk=iωμаδrкnгsгexp(-iωr)/4πLг3
де Rк=2πrк/ds*δ- опір одиничного елементарног кільця; ds- площа його перетину, яка дорівнює одиниці.
Величина вторинного магнітного потоку, яка пронизує витки вимірювальної катушки
Фвт=Вsпnп=μпHsпnп
Виміри вторинного магнітног потоку в часі відтворює в вимірювальній катушці е.д.с.
е»=-πf2μa2δnгsгnвsвlаnгsгlаexp(-iωī)/2Lг3Lв3
Одночасно з е.д.с. вивчаємого середовища в вимірювальній катушці генерується е.д.с. прямого поля генераторної катушки. Оскільки величина е.д.с. прямого поля не пов’язана параметрами середовища, то вона вилучається за допомогою спеціальних пристроїв.
Коефіцієнт індуктивног зонда
Кк=-πf2μa2nгsгnвsвlаnгsгl/Lв
Просторовий (геометричний) фактор елементарног кільця
Вк=Lпrк3 /2Lг3 Lв3
Введення множника Lп/2 дозволяє звести інтегральне значення просторового фактора всього однорідного середовища до безрозмірної величини, яка дорівнює одиниці.
Коефіцієнт зонда Ка вичислюється його конструкцієй- довжиною, числом та площею витків генераторної та вимірювальною катушок; силою та частотою струму, яка живить генераторну катушку.Знак мінус свідчить про те, Що активна частина е.д.с. , індуцируєма вторинним магнітним полем в вимірювальній катушці, знаходиться в протифазі з струмом, який живить генераторну катушку.
Просторовий чинник елементарного кільця
В теорії Долля введення поняття просторового чинника елементарного кільця займає одне з центральних місць. Розглянемо його фізичне і геометричне значення.
Виразимо відстані від центрів генераторної і приймальні катушок до осі елементарного кільця через циліндрові координати r і z.
Таким чином, коефіцієнт індукційного зонда, можна, з урахуванням (1), можна виразити:
З (2) витікає, що величина просторового чинника елементарного кільця визначається тим, що його вертикальним розташовує щодо катушок і горизонтальною відстанню від осі зонда при фіксованій довжині зонда.
Мал. 2. Геометричні місця перетинів елементарних кілець з рівними просторовими чинниками при |sin У| = |sin (ћ - У)| (а) і sin ћ/2 = 1 (б).
1, 2, 3 - перетини кілець, з яких видний зонд під кутом ћ - У і ћ/2 відповідно.
Геометричний зміст просторового чинника Вк:
З (3) витікає, що просторовий чинник повністю визначається величиною кута у між сторонами Lr і Ln, під якими видно зонд з точок елементарного кільця. В цьому полягає геометричне значення просторового чинника. Отже, всі елементарні кільця, з точок яких видний зонд під одним і тим же кутом, мають однакові просторові чинники.
Геометричним місцем перетинів елементарних кілець з рівними просторовими чинниками є кола, що проходять через центри генераторної і приймальнею катушок. Значення просторового чинника змінюються від 0 до 1. Максимальну величину він має у разі, коли sin у = 1, тобто кут у = 90°. Перетини цих кілець лежать на колі з діаметром, рівним довжині зонда (мал. 2).
Представлення просторового чинника елементарним кільцем дозволяє одержати сигнал від різних ділянок середовища. У разі однорідного середовища величини е.р.с., створювані її ділянками, залежать тільки від їх просторових чинників. Фізичне значення просторового чинника елементарного кільця полягає в тому, що він визначає ту частку сигналу на виході вимірювальної катушки зонда, яку вносять різні ділянки середовища, що вивчається.