Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Содержание заданий СРС модуля 1

по курсу «Механика радиотехнических систем

(Прикладная механика)»

Модуль 1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

 

Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Пример 1. Определить равнодействующую двух сил P1 = 10 H и P2 = 25 H, приложенных в одной точке под углом друг к другу α = 60˚.Найти также углы и , образуемые равнодействующей с соответствующими силами (рис.1).

 

 

Решение. По теореме косинусов находим равнодействующую силу:

R2 = P + P – 2P1P2 cos(180˚ – α);

R = Н.

По теореме синусов запишем

.

Отсюда

sin = sin α = = 0,694;

sin = sin α = = 0,277;

44˚; 16˚.

 

Пример 2. Найти величину равнодействующей системы пяти сходящихся сил: P1 = 3 H, P2 = 5 H, P3 = 6 H, P4 = 7 H, P5 = 2 H (рис. 2), если α = 45˚.

Решение. Определяем проекцию равнодействующей на оси x и y:

Px = –P5 + P2cos α + P3 = –2 + + 6 = 7,54 Н;

Py = P1 P4 + P2sin α = 3 – 7 + 3,54 = –0,46 Н.

Затем находим величину равнодействующей силы:

R = 7,54 Н.

 

Пример 3. К шарниру B кронштейна ABC (рис. 3) приложены силы P1 = 20 H и P2 = 15 H.Определить усилия в стержнях AB и BC , пренебрегая весом стержней, если α = 30˚.

Решение. Рассмотрим равновесие шарнира В. Действие связей-стержней на шарнир В заменяем реактивными силами RA и RC.

Составляем уравнения равновесия в системе координат xBy:

; – RA P2cos α RC cos α = 0;

; P2sin α RC sin α P1 = 0.

Из второго уравнения находим RC = –25 Н, из первого уравнения RA = 8,7 Н. Таким образом, стержень АВ сжат, стержень ВС растянут.

 

Пример 4. К балке, лежащей на стойках 1 и 2 (рис.4), подвешен груз G =100 H. Расстояние между стойками l = 1 м. На каком расстоянии a от стойки 1 нужно подвесить груз, чтобы нагрузка на нее не превышала 20 Н?

Решение. Силы давления на стойки 1 и 2 обозначим R1 и R2 соответственно. Сила давления R1 по условию равна 20 Н. Равнодействующая G раскладывается на две параллельные составляющие: G = R1 + R2.

Откуда R2 = GR1 = 80 Н.

 

 

Составляем пропорцию

,

откуда находим

a = = = 0,8 м.

 

Пример 5. Балка шарнирно закреплена в опоре А и положена на каток В (рис. 5). Определить реакции в опорах, если Р = 2 Н.

 

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем балку от связей. Реакция неподвижного шарнира А будет направлено по оси у, поскольку в горизонтальном направлении по оси х активные силы не действуют. Реакция подвижной опоры (катка) RB перпендикулярна к опорной поверхности катка.

Сила Р является сосредоточенной, а нагрузка интенсивности q распределена равномерно на участке балки длинной а. Интенсивность нагрузки имеет размерность силы, деленной на длину, например Н/м. Интенсивность находят из соотношения q = dQ/dx. Равнодействующую нагрузки получаем интегрированием этого выражения по длине участка: Q =

Точка приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки находится в середине участка, на котором она действует. Графически распределенную нагрузку изображают над или под брусом (рис. 5).

Составим уравнение равновесия балки:

, M Pa + RB 2a – (qa) 2,5a = 0,

откуда

PA PA + RB 2a a a = 0, RB =5Р = 10 Н.

Из уравнения равновесия ;

получим

RA + RB Р qa = 0;

RA +Р = 0;

RA = 0.

 

Пример 6. К вертикальному брусу, заделанному нижним концом в основание, приложены силы Р1, Р2; Р3 ­– вес бруса (рис. 6). Определить реакции в заделке, если Р1 = 2 кН, Р2 = 2 кН, Р3 = 4 кН, α = 45˚.

 

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем брус от связи ­– жесткой заделки, заменяя ее неизвестной реактивной силой RA с составляющими по координатным осям ХА, YА и парой с неизвестным моментом mА. Составляем уравнение равновесия бруса в виде

; ХА + P1 Р2sin α = 0; ХА 0,41 кН;

; YА P3 Р2cos α = 0; YА 5,41 кН;

; – P14 + Р2sin α3 + mA = 0; mA = –3,76 кН.

Знак «минус» в решении третьего уравнения показывает, что истинное направление реактивного момента mA будет противоположно показанному на рис. 6.

 

Пример 7. Квадратная прямоугольная плита размер l = 4 м ( = 45˚), весом Р = 20 кН удерживается в горизонтальном положении тросом КС, цилиндрическим подпятником В и шарниром А (рис. 7). Определить реакции связей, если угол между тросом и плоскостью плиты α = 45˚.

 

 

Решение. Освободим плиту от связей. Реактивную силу в шарнире А заменим тремя составляющими RAX, RAY, RAZреакцию подшипника RB заменим двумя составляющими RBX, RBZ. Реакция троса RK направлена по тросу, ее проекция на ось z

RКZ = RK sin α = RK ,

а проекции на оси x, y равны:

RКX = RКY = RK sin α cos = RK /2.

Составляем уравнение равновесия плиты:

; RAХ + RBХ RКX = 0;

; RA Y RКY = 0;

; RAZ P + RKZ + RBZ = 0;

; – + RBZ + RKZ = 0;

; RKZ = 0;

; RBX = 0.

Из уравнений находим

RAХ = RAY = P ; RAZ = ;

RBХ = RBZ = 0;

RKХ = RKY = P ; RKZ = .

 

Пример 8. Горизонтальный вал (рис. 8) длинной 2l = 100 мм установлен в подшипнике А и подпятнике В. На валу закреплено колесо, на которое действуют силы: окружная Ft = 100 Н, радиальная FR = 37 Н, осевая Fa = 18 Н. Диаметр колеса d = 200 мм. Определить в положении равновесия момент m и реакции опор А и В.

 

 

Решение. Освободим вал от связей. Подшипник А воспринимает только радиальную силу, которую представим двумя составляющими RAХ , RAY . Подпятник В воспринимает радиальную и осевую силы: RBХ , RBY , RBZ.

Составляем уравнение равновесия вала:

; FR RАXRВX = 0;

; RA Y + RBYFt = 0;

; RBZ Fa = 0;

; RAY 2 Ft = 0;

; RAX 2 Fa FR = 0;

; m – Ft = 0.

Из уравнений находим

m = 10 Нм; RAХ = 0,5 H; RAY = 50 H;

RBХ = 36,5 H; RBY = 50 H; RBZ = 18 H.

 

Пример 9.Определить координаты центра тяжести пластины, показанной на (рис. 9).

 

 

Решение. Разбиваем пластину на три фигуры: прямоугольник один без учета отверстия, треугольник 2 и круг 3, площадь которого как отверстия считаем отрицательной. Вычисляем площади фигур:

F1 = 300 600 = 18 104 мм2 ;

F2 = = 4,5 104 мм2 ;

F3 = = 3,14 104 мм2 .

Определяем координаты центров тяжести фигур в выбранной системе координат. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан на расстоянии одной трети длины каждой медианы от соответствующей стороны треугольника: у1= 300 мм, х1 = 150 мм, у2 = 100 мм, х2= 400мм, у3 = 150 мм, х3 = 150 мм.

Определяем координаты центра тяжести пластины:

yc = мм;

 

хc = мм.

 

 

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ РГР № 1.