Властивості повороту площини
Назвемо деякі властивості повороту площини навколо точки, які випливають безпосередньо з означення.
1. Образом точки при повороті площини є точка.
2. На площині існує єдина незмінна точка – центр повороту О,якщо кут повороту відмінний від 0°.
3. Незмінними прямими при повороті на кут 
=180° є всі прямі, що проходять через центр повороту.
Теорема 3.3.Поворот площини навколо точки є рухом площини.
Дано: А' = 
(А), В' = (В). Довести: А'В' = АВ.
Доведення. Використаємо мал. 3.2.
А' = (А) => (OA = OA', ÐAOA' = ),
B' = (B) => (OB = OB', ÐBOB' = ).
Звідси ÐAOA' = ÐBOB'. Крім того,
ÐAOB = ÐAOA' - ÐBOB',
ÐA'OB' = ÐBOB' - ÐBOA', томy ÐAOB = ÐA'OB'.
Отже, трикутники АОВ і А'ОВ' мають:
ОА = ОА', ОВ = ОВ' і ÐАОВ = ÐА'ОВ', тому DАОВ = DА'ОВ' і АВ =А'В'.
Таким чином, поворот площини навколо точки не змінює відстані між точками, тобто є рухом.
Наслідок 1. Поворотом площини навколо точки пряма відображається на пряму, промінь – на промінь, відрізок – на відрізок.
Наслідок 2. Відповідні фігури при повороті рівні і однаково орієнтовані.
Наслідок 3. Упорядкованість точок прямої не порушується поворотом площини, тобто якщо точка С лежить між точками А і В, то точка С' = (С) лежатиме між точками А' = (А), В' = (В).
Введемо поняття групи перетворень.
Означення.Сукупність перетворень називається групою,якщо в цій сукупності виконуються такі властивості:
1) композиція будь-яких двох перетворень даної сукупності є перетворенням цієї ж сукупності;
2) перетворення, обернене до будь-якого перетворення даної сукупності, є перетворенням цієї ж сукупності;
3) серед перетворень даної сукупності є тотожне перетворення;
4) композиція перетворень асоціативна.
Ці властивості називаються груповими властивостями.
Теорема 3.4. Множина всіх поворотів площини навколо однієї і тієї ж точки площини є групою.
Доведення. Правильність теореми випливає з того, що в множині всіх поворотів площини зі спільним центром виконуються всі групові властивості.
1. Композиція двох будь-яких поворотів зі спільним центром на кути 
і 
є теж поворотом з цим самим центром на кут 
. Справді, нехай маємо два Повороти 
і 
,в яких А1= (А) і А2 = (A1). Якщо і однаково орієнтовані (мал. 3.3), то ÐAOA2=ÐA1OA2+ +ÐA1OA2 = + і A2= (А). У випадку, коли і протилежно орієнтовані (мал. 3.4), аналогічно ÐАОА2 = ÐАОА1 + (-ÐА1ОА2)= + + 
= , тобто А2 = (А).
2. Композиція поворотів площини зі спільним центром повороту асоціативна.
Нехай маємо три повороти зі спільним центром на кути , , 
тобто , , 
. Оскільки композиція поворотів зводиться до операції додавання кутів повороту, а ця операція асоціативна для чисел, то 
= 
= = 
= 
= 
.
3. Серед поворотів площини існує тотожне перетворення. Роль тотожного перетворення площини відіграє поворот на кут =0° або = 
360°, де 
. При 
всі точки площини залишаються незмінними, самі собі відповідають.
4. Кожний поворот площини на кут має обернене собі перетворення, яке є поворотом на кут 
.
Справді, якщо поворот 
то поворот 
. Композиція 
.
Отже, усі групові властивості мають місце в множині всіх поворотів площини зі спільним центром, тому множина всіх таких поворотів утворює групу, причому комутативну, бо 
= 
= 
= 
.
Теорема 3.5. Множина всіх поворотів площини навколо різних центрів не утворює групи.
Паралельне перенесення
Означення 4.1. Нехай 
–деякий вектор площини. Перетворення площини, при якому кожна точка М площини відображається на таку точку М' цієї ж площини, що 
, називається паралельним перенесенням.
Паралельне перенесення на вектор позначають символом 
(від латинського слова translation – „перенесення”) або просто .
Точка М' називається образом точки М при паралельному перенесенні, символічно це записується так: М' = (М) або М' = (М).
Теорема 4.1.Паралельне перенесення площини однозначно визначається заданням однієї пари відповідних точок.
Доведення. Нехай паралельне перенесення відображає точку А на точку А' таку, що 
= (1)
Покажемо, що не існує іншого паралельного перенесення, у якому образом точки А була б та сама точка А'. Припустимо супротивне: нехай існує інше паралельне перенесення 
,при якому А' = (А), тоді 
. (2)
Образом довільної точки М площини у перетворенні буде точка М' така, що , (3)
а в перетворенні –точка М",для якої 
. (4)
З рівностей (1), (2), (3), (4) маємо, що 
,тобто точки М' і М" збігаються. Отже, перетворення і не різні, бо образом довільної точки М в обох цих перетвореннях є одна й та ж точка М'.
Наслідок 1. Оскільки упорядкована пара точок (М, М') однозначно визначає вектор 
,то можна сказати, що паралельне перенесення повністю визначається заданням вектора , який називають вектором переміщення.
Для побудови образа будь-якої точки В площини в паралельному перенесенні, заданому упорядкованою парою відповідних точок (А, А'),треба від точки В відкласти вектор 
.Операція відкладання даного вектора від даної точки виконується завжди і однозначно, тому образом даної точки В при паралельному перенесенні є єдина точка В'.
Маючи одну пару відповідних точок (А, А'),можна побудувати скільки завгодно інших пар точок. Усі такі пари утворюють множину співнапрямлених, однакових по довжині відрізків. Множину таких відрізків називають вектором. Саме в цьому розумінні ми говоримо, що вектор – це паралельне перенесення.
Виберемо прямокутну систему координат (О, 
, 
) на площині, в якій визначене паралельне перенесення вектором . Якщо А(x, y) і А'(x', y') є парою відповідних точок то 
. Нехай вектор в (О, , ) має координати x0 і y0. Знайдемо вираження координат x', y' точки-образу через координати x, y її прообразу. , тому 
, 
. Отже формули координат образу при паралельному перенесенні: 
. (5)