Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору.

При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

1. Общую дисперсию ( )

2. Межгрупповую дисперсию (δ2)

3. Среднюю из внутригрупповых дисперсий ( )

Правило сложения дисперсий позволяет находить общую дисперсию по её компонентам, когда индивидуальные значения признака неизвестны, а в распоряжении имеются только групповые показатели.

 

 

Пример.

В крае средний урожай зерновых в совхозе составил 20ц/га при среднем квадратическом отклонении 2ц/га. S под зерновыми 300 тыс. га, в колхозах 15 ц/га, σ=2,5ц/га, S2=100тыс.га.

Найти общую среднюю урожайность зерновых по краю и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Среднее квадратическое отклонение

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Согласно правила сложения дисперсии

Таким образом средняя урожайность 18,75 ц/га по краю, среднее квадратическое отклонение 3,04 ц/га.

При этом общая дисперсия = 9,25,

Причем 4,6875 определена различиями в типах хозяйств, а 4,5625 падает на долю остальных.

Т.е. правило сложения дисперсий позволяет определить в общей дисперсии доли ее составных частей.

Показатель, получаемый как отношение межгрупповой дисперсии δ2 к называется коэффициентом детерминации.

 

А корень квадратный из - называют корреляционным отношением и используют в статистике для измерения зависимости между группировочным и результативным признаками.

 

 

Пример.

Производительность труда двух бригад.

Бригада 1   ∑ Бригада 2
№ Изготовлено деталей за час, шт. xi ( )2 Изготовлено деталей за час, шт. xi ( )2
-2 -3
-1 -2
-1
∑ 90 126 28

 

 

 

Группировочный признак существенно влияет на результативный 0,86.

 

 

Общая дисперсия

Характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности.

, где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

 

Межгрупповая дисперсия

Отражает вариацию изучаемого признака, который возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних около общей средней

, где - средняя по отдельным группам; - средняя общая; fi – численность отдельных групп.