Анализ и прогнозирование с помощью линейного уравнения множественной регрессии

Уравнение регрессии позволяет не только понять, как формируется значение результата Y под воздействием исследуемых факторов, но и дает возможность оценить степень влияния каждого из них на Y по отдельности. Как указывалось выше, коэффициент линейного уравнения регрессии b_j показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результат Y при изменении значения соответствующего фактора X_j на одну единицу и неизменных уровнях других факторов. Однако из-за различий единиц измерения факторов и степени их колеблимости сопоставить факторы по степени их влияния на результат Y только с помощью коэффициентов уравнения регрессии не всегда возможно. Для этой цели могут использоваться средние коэффициенты эластичности, бета–коэффициенты и дельта–коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E_j показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результат Y при изменении значения фактора X_j на один процент и фиксированных уровнях других факторов:

(3.51)

где , — средние значения фактора X_j и результата Y соответственно.

Бета–коэффициент B_j показывает, на какую часть величины своего стандартного отклонения S_y в среднем изменяется результат Y при изменении фактора X_j на величину своего стандартного отклонения и неизменных значения других факторов:

(3.52)

где ; .

С помощью бета-коэффициентов можно проранжировать факторы по степени их влияния на результат Y: большая абсолютная величина бета-коэффициента соответствует более сильному влиянию фактора на Y.

Квадрат бета–коэффициента является чистой мерой влияния вариации изолированного фактора на вариацию результата Y и показывает долю вариации результата Y, объясняемую только за счет вариации фактора X_j.

Дельта–коэффициентD_j оценивает долю вклада фактора X_j в суммарное влияние на результат Y всех факторов, включенных в модель:

(3.53)

где — коэффициент корреляции между фактором X_j и результатом Y; R² — множественный коэффициент детерминации.

Для правильно построенной модели все дельта-коэффициенты имеют положительные значения и их сумма равна 1. Это вытекает из равенства

(3.54)

При достаточно сильной межфакторной корреляции некоторые дельта-коэффициенты могут оказаться отрицательными вследствие того, что соответствующий коэффициент уравнения регрессии имеет знак, противоположный парному коэффициенту корреляции этого фактора с результатом Y. Интерпретация отрицательных дельта-коэффициентов лишена смысла, при этом искажаются выводы и по дельта-коэффициентам других факторов.

Помимо целей анализа модель множественной регрессии может использоваться и для прогнозирования значений зависимой переменной Y при заданных значениях факторов. Также как и в случае парной регрессии рассчитанное по уравнению регрессии значение Y является случайной величиной. Стандартная ошибка прогноза фактического значениярезультата y₀, в предположении того, что факторы X₁, X₂, …, X_p примут значения, задаваемые вектором (матрица транспонирована для более компактной записи), определяется по любой из формул:

	;	(3.55)
	,	(3.56)

где S_рег — стандартная ошибка регрессии (3.17); , , …, — средние значений факторов X₁, X₂, …, X_p соответственно; , , …, — стандартные отклонения факторов X₁, X₂, …, X_p.

Интервальный прогноз фактического значения результата y₀ с доверительной вероятностью g имеет вид:

(3.57)

где t_таб — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы (см. приложение 3).