Нелінійні регресії 2-го класу

Показникова моделі

Модель Y = а е ^βх (4) досить широко застосовується в економетричному аналізі. Найбільш важливим її застосуванням є ситуація, коли аналізується зміна фактора Y із постійним темпом приросту в часі: X символічно заміняється змінною t: Y = а е^βt.

Степенева модель

Нехай деяка економічна залежність моделюється формулою Y = а₀ Х ^а1, (5)

де а₀ і а₁ - параметри моделі, що підлягають визначенню. Ця функція може характеризувати:

· залежність попиту Y на благо від його ціни X (у цьому випадку (а₁ < 0) або від доходу X (у цьому випадку а₁ > 0); при такій інтерпретації змінних X і Y функція (1) називається функцією Енгеля;

· залежність обсягу випуску Y від використання ресурсу X (виробнича функція), 0 < а₁ < 1.

Модель (5) не є лінійною функцією відносно X (похідна залежної змінної Y по X, щовказує на зміну Y щодо зміни X, буде залежати від X: ),тобто не буде константою, що властиве лише нелінійним моделям.

Стандартним підходом до аналізу функцій даного роду в економетриці є логарифмування за експонентою е: 1п Y =1п а₀ + а₁ ln X. (6)

Після заміни lп а₀ = β_о, а₁= β рівняння (6) матиме вигляд 1п Y = β_о+ β· ln X. (7)

Одержимо так звану подвійну логарифмічну модель (і залежна, і пояснююча змінна задані в логарифмічному вигляді): 1п Y = β₀ + β ln Х + u. (8)

Дане рівняння є лінійним відносно 1пХ і 1п Y, а також щодо параметрів β₀ і β. Вводячи заміни Y* = 1п Y і Х* = 1пХ, модель (8) можна переписати у вигляді: Y* = β_о + β₁ Х* + u. (9)

Модель (9) є лінійною моделлю, то за МНК («ЛIНIЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів β_о і β₁. Але при цьому коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних зміннихYі Х, а для їх логарифмів, тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:

№ п/п	Х	Y	Y-	(Y- )²

Σ					→ 0

R²= 1- = , D_у = , = .

Коефіцієнт β₁ є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для даної процентної зміни X. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності. Дійсно, продиференціювавши ліву й праву частини (7) по X, отримаємо:

Дана модель легко узагальнюється на більшу кількість змінних. Наприклад,

1п Y = β₀ + β₁lnX₁ + β₂lnX₂ + u. (10)

Тут коефіцієнти β₁, β₂ є еластичностями змінної Y за змінними X₁ і Х₂ відповідно.

Напівлогарифмічні моделі

Моделі виду Ln Y = βо + βХ + u, (11) , Y = βо + β lnХ + u (12)

називаються напівлогарифмічними моделями.

Лог - лінійна модель

Напівлогарифмічна модель (11) легко зводиться до лінійної моделі заміною Y* = 1пY. Коефіцієнт β y моделі (11) характеризує темп приросту змінної Y по змінній X, тобто характеризує відношення відносної зміни Y до абсолютної зміни X. Дійсно, продиференціювавши (11) по X, маємо: ,

Помноживши β на 100, одержимо процентну зміну змінної Y (темп приросту змінної Y). Тому напівлогарифмічна модель (11) зазвичай використовується для вимірювання темпу приростуекономічних показників: наприклад, при аналізі банківського вкладу за первісним внеском й процентною ставкою, при дослідженні залежності приросту об'єму випуску від відносного (процентного) збільшення витрат ресурсу, бюджетного дефіциту від темпу росту ВНП, темпу росту інфляції від об'єму грошової маси тощо.

Приклад. До такої моделі зводиться залежність, відомa в банківському й фінансовому аналізі: Y_t = Y₀(1 + r ) ^t, (13)

де Y_о - початкова величина змінної Y (наприклад, первісний внесок у банку);

r - складний темп приросту величини Y (процентна ставка);

Y_t - значення величини Y нa момент часу t (внесок дo банкy нa момент часу t).

Прологарифмувавши (13), маємо: 1п Y_t = 1п Y₀ + t ·1п(1 + r).

Уведемо позначення: 1п Y₀ = β₀, 1п(1 + r) = β. Тоді (13) прийме вид:

1п Y_t = β₀ + β t + u_t. (14)

В (14) використали додатково випадковий доданок u_t ( вразі можливої мінливості процентної ставки). Крім того, співвідношення β = 1п(1 + r) визначає темп приросту r показника Y:

1 + r = e^β, r = 1 - e^β.

При цьому коефіцієнт β визначає миттєвий темп приросту, а коефіцієнт r – узагальнений (складний) темп приросту величини Y.