Дослідження наявнoстi автокореляції у масиві змінних

Приклад 1. Вивчається залежність між кредитами Y, наданими комерційними банками, та залученими депозитними коштами X (млн. грн.):

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Y	2997	3060	3331	4103	4126	4487	5095	5196
X	2762	2753	2891	3265	3734	4177	4433	4643
№	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	2997	3060	3331	4103	4126	4487	5095	5196
X	4608	4879	4563	5017	5260	6327	6352	6784
№	17	18	19	20	21	22	23	24
Y	7245	8332	9392	10222	11976	13694	14538	15436
X	7865	9172	9597	11380	12339	14004	15010	17202

Перевірити наявність автокореляції залишків першого порядку за тестом Дарбіна-Уотсона.

1) Спочатку визначимо оцінки параметрів для лінійної моделі виду за методом найменших квадратів. Дана модель запишеться у виді (в дужках відмічено стандартні похибки для оцінок параметрів):

, σ: (190,172) (0,023)

Коефіцієнт детермінації R²= 0,9848, вибіркова дисперсія залишків Du = 4792230,74.

2) Для визначення статистики Дарбіна-Уотсона та коефіцієнта автокореляції залишків першого порядку допоміжні розрахунки запишемо в таблицi:

i	Х_i	Y_i		u_i
1	2762	2997	3126,647	-129,647	16808,294	–	–
2	2753	3060	3118,717	-58,717	3447,665	5031,06	7612,45
3	2891	3331	3240,310	90,690	8224,694	22322,43	-5325,03
4	3265	4103	3569,845	533,155	284254,490	195775,39	48351,90
5	3734	4126	3983,085	142,915	20424,686	152287,46	76195,86
6	4177	4487	4373,416	113,584	12901,222	860,33	16232,79
7	4433	5095	4598,980	496,020	246035,409	146257,31	56339,66
8	4643	5196	4784,013	411,987	169732,970	7061,54	204353,42
9	4608	5001	4753,175	247,825	61417,448	26948,89	102100,76
10	4879	5104	4991,955	112,045	12554,042	18436,38	27767,56
11	4563	4985	4713,525	271,475	73698,869	25418,10	30417,41
12	5017	5102	5113,548	-11,548	133,362	80102,37	-3135,07
13	5260	5189	5327,658	-138,658	19225,991	16156,84	1601,26
14	6327	5243	6267,801	-1024,801	1050217,988	785250,51	142096,73
15	6352	5986	6289,829	-303,829	92312,165	519801,01	311364,57
16	6784	5715	6670,468	-955,468	912919,837	424633,67	290299,17
17	7865	7245	7622,948	-377,948	142844,338	333530,34	361116,92
18	9172	8332	8774,557	-442,557	195857,036	4174,43	167263,47
19	9597	9392	9149,029	242,971	59034,989	469949,39	-107528,68
20	11380	10222	10720,047	-498,047	248050,519	549107,49	-121010,99
21	12339	11976	11565,031	410,969	168895,916	826310,43	-204682,00
22	14004	13694	13032,077	661,923	438141,406	62977,42	272029,95
23	15010	14538	13918,473	619,527	383813,155	1797,42	410078,57
24	17202	15436	15849,865	-413,865	171284,252	1067898,14	-256400,37
Σ				0,000	4792230,74	5742088,33	1827140,30

3) Розрахуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

та коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку: .

Критичні значення DW при >0для кількості спостережень n = 24, числа пояснюючих змінних m=1 та рівня значущості α= 0,05 відповідно дорівнюють:

DW₁ =1,273; DW₂= 1,446; 0 < DW < 1,273, то для даної моделі можемо стверджувати про існування додатної автокореляції залишків.

Приклад 2. Спробуємо включити до моделі ще один пояснюючий фактор.

Вивчається залежність між кредитами Y, наданими комерційними банками, залученими депозитними коштами X₁ та резервною величиною капіталу банків X₂(млн. грн.):

№
Y	2997	3060	3331	4103	4126	4487	5095	5196
X₁	2762	2753	2891	3265	3734	4177	4433	4643
X₂	964	727	962	849	882	1000	805	926
№
Y	2997	3060	3331	4103	4126	4487	5095	5196
X₁	4608	4879	4563	5017	5260	6327	6352	6784
X₂	806	858	1169	1454	1942	2623	2415	2613
№
Y	7245	8332	9392	10222	11976	13694	14538	15436
X₁	7865	9172	9597	11380	12339	14004	15010	17202
X₂	3508	3436	3520	4750	4696	4903	4482	5479

Перевірити наявність автокореляції залишків першого порядку за тестом Дарбіна-Уотсона.

1) Визначимо оцінки параметрів лінійної моделі виду методом найменших квадратів. Дана модель має наступний вигляд (в дужках відмічено стандартні похибки для оцінок параметрів):

σ: (166,404) (0,067) (0,172)

Коефіцієнт детермінації R²= 0,9899, вибіркова дисперсія залишків складає D_u= 3176380,81.

2). Для визначення статистики Дарбіна-Уотсона та коефіцієнта автокореляції залишків першого порядку допоміжні розрахунки запишемо в таблицi:

i	Х_1і	Х_2і	Y_i		u_i
	2762	964	2997	2996,15	0,85	0,72	–	–
	2753	727	3060	3119,72	-59,72	3566,92	3668,85	-50,61
	2891	962	3331	3137,94	193,06	37273,38	63901,19	-11530,45
	3265	849	4103	3609,33	493,67	243705,61	90361,76	95308,61
	3734	882	4126	4102,15	23,85	568,89	220725,32	11774,59
	4177	1000	4487	4518,77	-31,77	1009,63	3094,26	-757,87
	4433	805	5095	4907,66	187,34	35097,10	48012,21	-5952,74
	4643	926	5196	5068,54	127,46	16246,64	3585,60	23879,07
	4608	806	5001	5097,91	-96,91	9391,73	50343,35	-12352,49
	4879	858	5104	5364,14	-260,14	67671,37	26642,82	25210,14
	4563	1169	4985	4844,55	140,45	19727,24	160473,08	-36537,24
	5017	1454	5102	5179,18	-77,18	5956,49	47363,69	-10839,98
	5260	1942	5189	5169,49	19,51	380,57	9348,30	-1505,62
	6327	2623	5243	5949,65	-706,65	499360,43	527312,26	-13785,63
	6352	2415	5986	6093,98	-107,98	11659,02	358414,69	76302,38
	6784	2613	5715	6453,58	-738,58	545507,16	397665,97	79750,10
	7865	3508	7245	7128,57	116,43	13555,34	731045,49	-85991,50
	9172	3436	8332	8594,22	-262,22	68757,61	143371,39	-30529,22
	9597	3520	9392	9010,35	381,65	145655,73	414562,67	-100074,67
	11380	4750	10222	10262,24	-40,24	1619,62	177993,91	-15359,28
	12339	4696	11976	11338,31	637,69	406652,16	459599,11	-25663,66
	14004	4903	13694	13037,28	656,72	431275,95	361,88	418783,11
	15010	4482	14538	14371,14	166,86	27841,20	239962,04	109577,56
	17202	5479	15436	16200,13	-764,13	583900,29	866743,35	-127500,93
Σ					0,000	3176380,81	5044553,21	362153,70

3). Розрахуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

та коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку: .

Критичні значення DW при >0для кількості спостережень n= 24, числа пояснюючих змінних m=2 та рівня значущості α= 0,05 відповідно дорівнюють:

DW₁=1,188; DW₂ = 1,546, 1,546 < DW < 2, то для даної моделі можемо відхилити гіпотезу про наявність додатної автокореляції залишків.

4). Отже, збільшення кількості пояснюючих змінних дозволило покращити якість моделі.

Приклад 3. Автокореляція залишків може виникати також внаслідок помилкової функціональної специфікації рівняння регресії: в якості рівняння регресії було використано лінійну функцію, а в дійсності процес описується нелінійною залежністю, і навпаки.

На основі вибіркових даних (табл.1), які характеризують залежність між кредитами Y, наданими комерційними банками, та залученими депозитними коштами X, побудувати модель та перевірити її на наявність автокореляції залишків.

1) Лінеаризуємо модель шляхом заміни : .

Для перетвореної лінійної моделі оцінки параметрів знайдемо методом найменших квадратів: aбо .

стандартні похибки для оцінок параметрів (914,15) (4363389,27)

Коефіцієнт детермінації для даної моделі складає R²=0.733, вибіркова дисперсія залишків складає Du = 83950697,22.

3). Обчислюємо критерій Дарбіна-Уотсона:

та коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку: .

Критичні значення DW при >0для кількості спостережень n= 24, числа пояснюючих змінних m=1 та рівня значущості α= 0,05 відповідно дорівнюють: DW₁ =1,273; DW₂ =1.446, 0 < DW < 1,273, то для даної моделі можемо стверджувати про існування додатної автокореляції залишків.

4). Якщо порівняти побудовану модель з моделлю, розглянутою в прикладі 1, то можна сказати, що зміна лінійної специфікації моделі на гіперболічну, призвела не тільки до погіршення характеристик моделі, а й посилила автокореляцію залишків, про що свідчить менше значення DW та близьке до одиниці .