Расчет показателей вариации стажа работы продавцов

стаж работы, лет число продавцов, чел.( f) середина интервала (x ) отклонение варианты от средней ( )
0-3 1,5 -5,0 25,0 150,0
3-6 4,5 -2,0 4,0 28,0
6-9 7,5 +1,0 1,0 10,0
9-12 10,5 +4,0 16,0 80,0
12-15 13,5 +7,0 49,0 98,0
Итого: - - - 366,0

Вычисляем средний стаж работы:

 

= = = = 6,5 лет

Вычисляем дисперсию:

Следует иметь в виду, что дисперсия – безмерная величина и самостоятельного экономического значения не имеет. Дисперсия необходима для расчета среднего квадратического отклонения. В данном случае среднее квадратическое отклонение равно:

года.

Среднее квадратическое отклонение показывает, что в среднем варианты

отклоняются от средней арифметической ( = 6,5) на 3,5 года при колеблемости стажа работы отдельных работников от 0 до 15 лет.

Для характеристики степени колеблемости признака необходимо среднее квадратическое отклонение выразить в процентах к средней арифметической, т.е. вычислить коэффициент вариации (V):

.

Коэффициент вариации свидетельствует о том, что колеблемость стажа работы продавцов весьма значительна и неоднородна.

5.7.4.Определите первый и третий квартили интервального ряда по данным о содержании бракованных товаров в поступившей в магазин партии товара:

бракованные товары, % (х) число образцов (f) накопленная частота S середина интервала x x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого - -

Решение:

Первый и третий квартили имеющегося ряда определяем по формулам:

= 14+2 = 14,3%;

= 18+2 =18,0%.

Следовательно, в ряду распределения по данным о бракованных товарах в поступившей партии товара в магазин первый квартиль составляет 14,3%, а третий – 18,0%, т.е. 25% товаров содержат брак, не превышающий 14,3%, а у 75% товаров процент брака не превышает 18%.

 

5.7.5. Определите 1-й и 9-й децили интервального ряда по данным о содержании влаги в поступившей в магазин партии товара:

влажность, % (х) число образцов (f) накопленная частота S середина интервала x x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого - -

 

Решение:

Первый и девятый децили данных таблицы определяем по формулам:

= 12+2 = 13%;

= 20+2 =20%.

Таким образом, значения децилей указывают на то, что среди 10% партии товара с минимальным процентом влажности максимальный процент ее составляет 13%, а среди 10% партии товара с наибольшим процентом влажности минимальный процент ее составил 20%, т.е. в 1,54 раза больше.

 

5.7.6.Имеются данные о времени работы (лет) 24 рабочих в цехе завода:

Стаж рабочих в данном цехе (лет): 4; 3; 6; 4; 4; 2; 3; 5; 4; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 5; 2; 3; 6; 5; 4; 2; 4; 3.

Требуется:

1. построить дискретный ряд распределения,

2. дать графическое изображение ряда,

3. вычислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения.

Решение:

1. Дискретный ряд распределения стажа рабочих в цехе завода:

Время работы (лет), (х) число рабочих, (f) накопленная частота, (S)
итого -

 

2. Представим графическое изображение построенного дискретного вариационного ряда распределения рабочих по времени работы в цехе в виде полигона частот:

 

Годы,

 

 


Полигон частот замыкается, для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе ( в данном случае х=1 и х=7 ).

3. К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

 

Средняя арифметическая ( )определяется по следующей формуле:

лет.

 

Мода (М0) = 4 годам (4 года встречается 9 раз, т.е. это наибольшая частота f ).

Для определения медианы необходимо определить номер интервала, в котором она находится:

NМе = ;

Медиана (Ме) = 4 годам (так как номера 12 и 13 соответствуют 4 годам).

К показателям вариации относятся: размах вариации (R), среднее линейное отклонение ( ), дисперсия (σ2), среднее квадратическое отклонение (σ), коэффициент вариации (V).

- размах вариации определяем по формуле:

 

R = XmaxXmin = 6 – 2 = 4 года

 

- для определения среднего линейного отклонения и других показателей вариации построим дополнительную таблицу вычислений:

количество отработанных лет (х) число рабочих (f)
-1,8 -0,8 +0,2 +1,2 +2,2 7,2 4,0 1,8 4,8 4,4 12,96 3,20 0,36 5,76 9,68
итого   22,2 31,96

 

лет

 

 

лет

 

Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1,15 года, или на 30,3%.

Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение ( > ) в соответствии со свойствами мажорантности средних величин.

Значение коэффициента вариации (V = 30,3%) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.

Как видно из построенного ранее полигона вариационного ряда распределение рабочих цеха по времени их работы в цехе несимметрично, поэтому определяется показатель асимметрии:

Следовательно, асимметрия левосторонняя, незначительная.

5.7.7.Распределение работников производственного предприятия по размеру месячной заработной платы следующее:

месячная заработная плата, тыс.руб.   до 15,0   15,0-16,0   16,0-17,0   17,0-18,0   18,0-19,0     19,0 и более   итого
число работников

Определите коэффициент децильной дифференциации.

Сформулируйте вывод.

 

Решение:

Коэффициент децильной дифференциации определяется по формуле:

Для этого определяем место децилей:

;

Для расчета численных значений децилей определяем интервалы, в которых они находятся, для чего исчисляем накопленные частоты и результаты записываем в таблицу:

месячная заработ-ная плата,тыс.руб. до 15,0 15,0-16,0 16,0-17,0 17,0-18,0 18,0-19,0 19,0 и более
число работников (нарастающим итогом)

 

Из таблицы видно, что первая дециль находится в интервале 15,0 - 16,0, девятая дециль находится в интервале 18,0 – 19,0.

Вычислим числовые значения децилей:

тыс.руб. или 15292,1 руб.

тыс.руб. или 18461,5 руб.

=

Следовательно, наименьший размер месячной заработной платы 10% наиболее обеспеченных работников в 1,21 раза выше наивысшего размера месячной заработной платы 10% наименее обеспеченных работников.

 

5.7.8.Имеются следующие данные о возрастном составе работников предприятий потребительской кооперации N - района (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

Для анализа распределения работников предприятий потребительской кооперации по возрасту требуется:

1. построить интервальный ряд распределения;

2. исчислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения;

3. сформулировать выводы.

Решение:

1. Величина интервала группировки определяется по формуле:

года

n (количество интервалов)– мы принимаем равным 7.

 

Полученный интервальный ряд распределения представим в таблице:

группы работников по возрасту (лет), х число рабочих, f накопленная частота, S
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39
итого -

2. Рассчитываем показатели центра распределения ( , Мо, Ме):

 

года,

где: - среднее значение признака в интервале (центр каждого интервала).

Для определения численного значения моды (Мо) по нашему интервальному ряду определим, что она находится в интервале 27-30 лет, так как наибольшее число работников ( f = 10) находится в этом интервале.

Значение моды определяется по формуле:

 

Мо = х0 + i =

 

= года.

Для определения численного значения медианы (Ме) также сначала определяем интервал, в котором она находится:

 

Медианным является также интервал 27-30 лет, так как в этом интервале находятся номера 15 и 16 ряда.

 

= года.

 

Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу:

группы работников по возрас-ту, лет центр интервала, (лет), f
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 37,5 19,5 67,5 153,0 285,0 157,5 103,5 75,0 -9,2 -6,2 -3,2 -0,2 2,8 5,8 8,8 9,2 18,6 19,2 20,0 14,0 17,4 17,6 84,64 38,44 10,24 0,04 7,84 33,64 77,44 84,64 115,32 61,44 0,40 39,20 100,92 154,88
итого - 861,0 - 116,0 - 556,80

 

года

 

года

 

.

Следовательно, вариация возраста у работников предприятий потребительской кооперации не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.

Показатель асимметрии распределения работников по возрасту определяем по формуле:

.

Следовательно, асимметрия правосторонняя, незначительная.

При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:

Мо < Ме <

Для данного распределения это соотношение выполняется, т.е.

28,3 < 28,6 < 28,7.

Для имеющегося распределения, учитывая незначительную асимметрию, определяем показатель эксцесса (островершинности):

, где:

М4центральный момент четвертого порядка,

σ4 - среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

= =

.

Отрицательное значение эксцесса свидетельствует о плосковершинности данного распределения.