Позиционные системы счисления

 

Перевод чисел является важным процессом функционирования вычислительных машин, так как с помощью его осуществляются арифметические действия, адресация файлов и т.п. операции.

В вычислительных машинах применяются позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждое число представляется последовательностью цифр, причем позиции каждой цифры xi присвоен определенный вес bi, где b – основание системы. Представление целого числа в виде степенного ряда описывается формулой:

Любое число в позиционной системе счисления представляется в виде разрядов. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда.

Смешанное число в позиционной системе счисления представляется степенным рядом:

,

где xk–любое число из алфавита системы (набор символов) с основанием b; m и n–число разрядов соответственно для целой и дробной части числа.

В современных компьютерах используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16, которые соответственно называются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Представление чисел в этих системах показано в табл.1.

Таблица 1.

Десятичные числа D10 Двоичные числа D2 Восьмеричные числа D8 Шестнадцатеричные числа D16
А
B
C
D
E
F

 

Для представления чисел в различных системах счисления необходимо вычислять степени двойки, восьмерки и шестнадцати (табл.2).

Таблица 2.

Степени двойки Степени восьмерки Степени шестнадцати
20=1 80=1 160=1
21=2 81=8 161=16
22=4 82=64 162=256
23=8 83=512 163=4096
24=16 84=4096 164=65536
25=32 85=32768  
26=64    
27=128    
28=256    
29=512    
210=1024    

 

Задача.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной системе)

1997 = 1х103 + 9×102 +9×101 +7×100.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 2 (двоичной системе)

1997 = 1×210 +1×29 +1×28 +1×27 +1×26 +0×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 = 11111001101.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 8 (восьмеричной системе)

1997 = 3×83 +7×82 +1×81 +5×80 = 3715.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 16 (шестнадцатеричной системе)

1997 = 7×162 +12×161 +13×160 = 7CD.

 

Задача.

Представить в двоичной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду двойки:

Решение:

48 = 32+16=1х25 + 1х24 + 0х23 + 0х22 + 0х21 + 0х20=1100002

57 = 32+ 16+8+1 =1х25 + 1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = 1110012

511=256+128+32+16+8+4+2+1 = 1х28+1х27 +1х26+1х25+1х24 +1х23+ +1х22 +1х21 +1х20 = 1111111112

121 = 64+32+16+8+4+2+1 = 1х26+1х2 +1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = =1111012

 

Задача.

Представить в восьмеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду восьмерки:

48 = 6х81 + 0х20 = 608

57 = 56 + 1 = 7х81 + 1х20 = 718

511 = 448 + 56 + 7 = 7х81 + 7х81 + 7х80 = 7778

121 = 64 + 56 + 1 = 1х81 + 7х81 + 1х80 = 1718

 

Задача.

Представить в шестнадцатеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду шестнадцати:

48 = 3х161 + 0х160 = 3016

57 = 48 + 9 = 3х161 + 9х160 = 39 16

511 = 256 + 240 + 15 = 1х162 + 15х161 + 15х160 = 1FF 16

121 = 112 + 9 = 7х161 + 9х160 = 19 16