I .Основные математические понятия и факты
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Санкт – Петербург
Составитель: ст. преподаватель кафедры информатики и математики
Антипова Т. Б.
Под общей редакцией зав. кафедрой информатики и математики
к.п.н., доцента Пискуновой Т.Г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Вступительные испытания на экономический факультет Санкт-Петербургского Гуманитарного Университета Профсоюзов проводится в письменном виде.
Вступительный экзамен ориентируется на структуру и оценочную шкалу Единого Государственного Экзамена (ЕГЭ) и составлен на базе кодификатора элементов содержания математического образования (Приложение 2).
Письменный экзамен по математике в СПбГУП состоит из десяти заданий, составленных из разделов № 1 и № 2Основных математических понятий и фактов.
Часть 1 содержит 7 заданий с кратким ответом (№1-7) базового уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Часть 2 содержит 3 более сложные задания (№8-10) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Абитуриенты, поступающие в СПбГУП должны:
- знатьматематические определения и теоремы, предусмотренные программой;
- уметь точно и сжато выражать математическую мысль в письменном изложении, используя соответствующую символику;
- уверено владеть математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой, уметь применять их при решении задач.
Программа по математике для поступающих в СПбГУП состоит из двух разделов. Первый представляет собой перечень основных математических понятий и фактов, которыми должен владеть поступающий (уметь правильно их использовать при решении задач.) Во втором разделе перечислены основные умения и навыки, которыми должен владеть экзаменуемый.
Вступительное испытание по математике длится 4 часа.
Для решения заданий абитуриенты не могут пользоваться калькуляторами.
При оформлении работ следует подробно излагать ход решения, комментируя каждый этап и приводя обоснования выбранным приемам; рекомендуется также сохранять последовательность задач в полученном задании, писать аккуратно и разборчиво.
Правильно выполненным считается задание, решение которого приведено со всеми необходимыми промежуточными вычислениями, логическими выводами, доведено до правильного числового ответа.
Вступительные испытания оцениваются по 100 – балльной системе. Каждое задание оценивается определенным количеством баллов, которое указывается в экзаменационном билете. Общая оценка получается в результате суммирования баллов по заданиям с правильными ответами.
Примерный вариант экзаменационного задания приводится в Приложении № 1.
I .Основные математические понятия и факты
Раздел №1.Арифметика, алгебра и начала анализа
1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
2. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
3. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q). Действия с рациональными числами. Сравнение рациональных чисел.
4. Иррациональные числа (I). Действительные числа (R), представление их в виде десятичных дробей.
5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
6. Числовые выражения. Равенства, тождества. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
7. Степень с натуральными и рациональными показателями. Арифметический корень.
8. Модуль действительного числа и его свойства. Основные математические термины и их символическое обозначение.
9. Одночлен и многочлен.
10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного
11. трехчлена (формула). Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Разложение многочлена на множители (вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, использование формул сокращенного умножения). Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу.
12. Определение функции и способы ее задания. Свойства функции. Область определения, множество значений функции. Возрастание , убывание функций; четность , нечетность; периодичность функций. Функция, обратная данной.
13. Общая схема исследования функции. Элементарные функции (у = с, 
, 
, 
, 
, 
, 
) и их свойства. Исследование функций. Построение графиков элементарных функций.
14. Прямая и обратная пропорциональности.
15. Уравнение. Корни уравнений. Понятие о равносильных уравнениях.
16. Линейные уравнения. Квадратные, биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Способы решения уравнений 3-й и 4-й степени и уравнений сводимых к квадратным. Виды иррациональных уравнений, их отличия и варианты решений. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Уравнения с параметрами.
17.Неравенства и методы их решений. Равносильность неравенств. Свойства неравенств, общий вид метода интервалов. Метод интервалов для рациональных функций. Алгебраические, иррациональные неравенства и неравенства с модулем.
18.Системы уравнений и методы их решения (графический метод, метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных). Системы и совокупности неравенств. Отличия при решении систем уравнений и неравенств. Метод интервалов.
19. Числовые последовательности. Определение и свойства прогрессий. Основные формулы для арифметической и геометрической прогрессий. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
20. Основные проблемы математической формации. Текстовые задачи экономического содержания ( задачи на %, сложные % и др.)
21. Показательная функция, ее свойства и график. Методы упрощения показательных выражений. Решение показательных уравнений и неравенств.
22. Логарифмы: определение и свойства. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Методы упрощения логарифмических выражений. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
23. Градусное и радианное измерение углов. Основные тригонометрические функции( 
, 
) и их свойства. Преобразование графиков тригонометрических функций.
24. Зависимости между тригонометрическими функциями одного аргумента. Основные формулы тригонометрии(формулы приведения; формулы сложения; формулы двойных и половинных углов )
25.Тригонометрические тождества и преобразования. Методы упрощения тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Виды тригонометрических уравнений и методы их решений.
26. Непрерывность, монотонность и экстремумы функций. Определение предела и производной функции. Свойства предела, примеры вычисления простейших пределов. Таблица производных. Правила и техника дифференцирования. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Вычисление типовых производных.
Раздел № 2 .Геометрия.
1. Понятие прямой, луча, отрезка, угла, плоской фигуры, ее площади. Типы плоских фигур, их свойства.
2. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали, сумма углов.
3. Треугольник. Виды и свойства треугольников. Подобие и признаки подобия треугольников. Медиана, биссектриса, высота. Свойства равнобедренного треугольника.
4. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Их свойства.
5. Теорема Пифагора. Решение треугольников.
6. Окружность и круг. Основные понятия и термины. Уравнение окружности. Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружности.
7. Центральный и вписанный углы.
8. Площади многоугольников. Свойства площадей. Формулы площади треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции.
9. Длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
10. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
11. Понятие вектора, его координат. Деление отрезка в данном соотношении.
12. Действия с векторами. Скалярное произведение векторов.
13. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Параллельность прямой и плоскости. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
14. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
15. Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная
16. призмы; пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.17. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.18. Формулы площадей поверхностей и объемов тел вращения.