Однородные уравнения первого порядка
№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,
P(λx, λy)=λx+λy=λ(x+y)= λP(x,y), Q(λx, λy)= –λx=λ(–x)=λQ(x, y).
Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение уи dyв данное уравнение, получим
(х+uх)dх–х(хdu+udх)=0, откуда хdх+uхdх–х2du–хudх=0; хdх–х2du=0 или dх–хdu=0.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим
, 
.
Заменяя в полученном выражении u на 
, получим у=xln(Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):
. Иначе 
. Далее применять указанную выше подстановку и т.д.
№5. Найти общее решение уравнения: 
.
Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):
Полагая у=uх, находим 
Подставим значения 
в данное уравнение: 
. Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными 
. Разделяя переменные и интегрируя, находим:
.
Подставим теперь 
в полученное решение. Имеем 
где .
Итак, общее решение исходного уравнения 
№6. Найти частное решение уравнения 
если у=–1 при х=1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х2dy = (xy + y2)dx (*)
и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение уи dyв уравнение (*), имеем
х2(udх + хdu)=(х.uх+u2х2)dх;
x2(udx+xdu)=x2(u+u2)dx;
udx+xdu= udx+ u2dx; т.е.
xdu= u2dx.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим
.
Так как u= , то 
.
Используя начальные условия х=1, у= –1,имеем1=ln1+C, откуда С=1. Следовательно,
,
Отсюда получаемискомое частное решение данного уравнения 
.
№7. Привести дифференциальное уравнение
к однородному.
Решение. Иначе это уравнение можно записать так 
. Здесь 
, поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+2)du–(2u+2α+v+β+6)dv=0, т. е.
(u+(β+2))du–(2u+v+(2α+β+6))dv=0.
Подберем α и βтак, чтобы 
Решая систему, находим
α=–2, β=–2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): 
, т.е. является однородным.
Линейные уравнения первого порядка
№8. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь P(x)=–ctgx,Q(x)=sinx. Решим уравнение двумя методами.
I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ 
, т.е. 
. Предположим, что 
(у=0 – решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим
, 
,
Отсюда 
.
Общее решение ЛНДУ ищем в виде 
.
Найдем 
.
Подставим у и 
в исходное уравнение:
или 
.
Получили 
или 
. Тогда 
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения есть y=(x+C)sin x.
II. Метод Бернулли
Пусть 
. Тогда 
и уравнение принимает вид
,
или
.
Подберем функцию u(x)так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
,
.
Откуда u=С1×sinx.
Пусть С1=1, u=sinx.
, отсюда 
, т.е. 
.
Итак, y=(x+C)·sin x, 
есть общее решение данного ЛНДУ.
№9. Найти общее решение уравнения 
Решение. Данное уравнение не является линейным относительно хи 
. Так как 
, то приведем исходное уравнение к виду (10.6):
, т.е. 
или 
Далее это ДУ решим двумя методами: