Группа 1. Аксиомы соединения
Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.
Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.
Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.
Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.
Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.
Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).
Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.
Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.
Заметим, что аксиомы 3 и 4 содержат по два требования. Приведем примеры типичных утверждений, доказываемых в группе 1.
Теорема 1
Две различные точки определяют одну и только одну прямую им инцидентную.
Теорема 2
Три точки, не инцидентные одной прямой, определяют одну и только одну плоскость им инцидентную.
Теорема 3
Прямая и не инцидентная ей точка определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную.
И так далее.
Группа 2. Аксиомы порядка
Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.
Если А, В, С – три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А, В, С различны; б) точка В лежит между точками С, A.
Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.
Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.
Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1–11.
Определение
Две точки на прямой А и В определяют отрезок.
Следствие
Согласно аксиомам 9–11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.
Определение
Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.
Аксиома Паша
Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мере еще одну сторону.
Вот типичная теорема этой группы аксиом.
Теорема 4
Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).
Схема доказательства.
(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ (акс.3) (рис. 1);
(2) существует точка D на прямой АС и точка C лежит между А и D;
(3) существует прямая ВD, (акс.1–2) и существует точка Е и D лежит между В и Е;
(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).
(5) аналогично доказывается, что на АF1существует еще одна точка F2, и т.д.
Теорема доказана.
Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.