Группа 3. Аксиомы конгруэнтности
Группы аксиом 1–3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая– три.
13. Пусть даны отрезок АВ а также прямая а/ и точка 
. 
точка 
с заданной стороны относительно точки 
такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку 
(обозначим это 
), требуется также, чтобы 
.
14. 
15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой 
, АВ 
ВС=В, тогда
и 
лежит между и 
.
16. Пусть Ð 
есть угол с вершиной О. Для любой точки 
и любого выходящего из нее луча 
можно построить в заданной плоскости, инцидентной 
, по любую сторону от один и только один, второй луч 
такой, что Ð 
.
Требуется также, чтобы Ð (угол конгруэнтен самому себе) и Ð 
17. Пусть даны два треугольника АВС и 
таких, что 
, 
, тогда 
.
На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между
А и С.
В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения
Взаимно однозначное соответствие точек плоскости 
называется движением, если соответствующим парам точек , 
соответствуют конгруэнтные отрезки 
Замечание 1
В этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13–17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Вывод 1
Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1) Ì B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), kÎN, где Рк– любая точка пространства. Определим последовательность точек МкÎВ(О,ОРк), kÎN условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)ÉВ(О,ОР2)É…É В(О,ОРк) É…;
b) МкÏВк+1 "кÎN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.
Вывод 2
Используя лишь аксиомы I–III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, … , а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.