Перпендикуляр к стороне угла
Для любого угла, образованного пересечением прямых ОА¥ и ОВ¥ (рис. 12), на любой из его сторон (например, на стороне ОА¥) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА¥ из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB¥ (рис. 12): MB¥^OA¥, и MB¥||OB¥. При этом всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ÎОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ¥, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"ÎMA¥, не имеет общих точек со стороной OB¥.
Четвертый признак конгруэнтности треугольников
В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны [7].
Вывод 2
Рассмотренные выше неевклидовы отношения 1–4 между прямыми на плоскости Лобачевского являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского и реализуются в модели Пуанкаре L2.
О роли открытия неевклидовой геометрии
Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания. Вначале подверглись анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивного формализма в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи математического формализма подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания.
В современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании вообще и в математическом моделировании в частности.
Вывод 3
Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современного математического формализма. Роль математического формализма в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического формализма, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.
Формирование математических текстов на основе дедуктивного метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам – свойствам аксиоматических систем. К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.
Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук
Анри Пуанкаре
ГЛАВА II