Тема IV.5. Методы принятия решений. 4.5.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива
4.5.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке конкурирующего концерна “Топаз”. Эксперты выделили следующие основные стратегии на рынке:
А1- продолжать выпуск “Родео”;
А2 - перейти к выпуску малолитражного автомобиля;
А3 - внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;
Конкурирующий концерн “Топаз” располагает 3 возможными стратегиями:
В1 - внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;
В2 - разработать автомобиль среднего класса;
В3 - продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и большим расходом топлива.
Варианты возможных матриц выигрыша концерна “Кайзер” даны ниже. (При этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу другого).
Вариант 1
| В1 | В2 | В3 | |
| А1 | -2 | ||
| А2 | |||
| А3 |
Вариант 2
| В1 | В2 | В3 | |
| А1 | -1 | ||
| А2 | |||
| А3 |
Вариант 3
| В1 | В2 | В3 | |
| А1 | -2 | ||
| А2 | |||
| А3 |
Вариант 4
| В1 | В2 | В3 | |
| А1 | |||
| А2 | -1 | ||
| А3 |
Найдите оптимальные стратегии для обоих конкурентов и цену игры. Укажите, если она есть, седловую точку.
4.5.2. Для следующих матриц выигрышей определите доминирующие стратегии, произведите редукцию, найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Вариант 1
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 | ||||
| А4 |
Вариант 2
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | 2,2 | 3,6 | 2,4 | 2,8 |
| А2 | 3,2 | 3,0 | 2,8 | 3,4 |
| А3 | 2,2 | 2,4 | 2,6 | 3,8 |
| А4 | 2,8 | 3,0 | 2,6 | 3,0 |
Вариант 3
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | 40,2 | 10,2 | -9,8 | 30,2 |
| А2 | -9,8 | 30,2 | 50,2 | -19,8 |
| А3 | 20,2 | 10,2 | 30,2 | 20,2 |
| А4 | 60,2 | 20,2 | 0,2 | 50,2 |
Вариант 4
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | 112,3 | -16,1 | 75,9 | 121,9 |
| А2 | 89,6 | -20,3 | 65,7 | 100,4 |
| А3 | 49,5 | 75,9 | 29,9 | 52,9 |
| А4 | -40,2 | 144,9 | 52,9 | -39,1 |
4.5.3. АО “Злаки” имеет 3 стратегии закупки крупной партии зерна: на внутреннем рынке России ( А1), в Казахстане (А2), в Канаде (А3). Эксперты фирмы определили, что возможны 4 складывающиеся на рынке зерна рыночные конъюнктуры. В1, В2, В3 и В4, отвечающие сочетаниям факторов: курсов валют, курса рубля, урожаев зерновых, индексов деловой активности крупнейших мировых бирж и т.д.
Возможная прибыль АО при той или иной конъюнктуре приведены в таблицах.
Вариант 1
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Вариант 2
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Вариант 3
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Вариант 4
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Определите оптимальную стратегию закупки зерна.
1) по критерию Вальда,
2) по критерию Сэвиджа,
3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма
4) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей конъюнктуры рынка составляют р1, р2, р3, р4
| № варианта | р1 | р2 | р3 | р4 |
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | |
| 1/8 | 1/4 | 3/8 | 1/4 |
4.5.4.Выбор проекта электростанции.
Энергетическая компания должна выбрать проект строительства электростанции одного из следующих типов: 
— тепловая электростанция, 
— приплотинная ГЭС, 
— бесшлюзовая ГЭС, 
— шлюзовая ГЭС, 
— АЭС. Экономическая эффективность электростанции определяется как средний доход в течение одного года эксплуатации электростанции в сопоставлении с капитальными затратами. Экономическая эффективность 
зависит от типа электростанции и от ряда неопределенных факторов (возможность наводнения, цены на каменный уголь, расходов по транспортировке топлива, цен на электротехническое оборудование, цены на электроэнергию). Путем анализа удалось выделить четыре варианта сочетаний данных факторов (они выступают в качестве состояний среды 
, 
, 
, 
и вычислить экономическую эффективность различных проектов при различных состояния среды (см. таблицы по вариантам).
Какой проект является оптимальным по критерию наибольшего математического ожидания, если известны вероятности состояний среды?
Какой проект является оптимальным по критерию Лапласа? Сравните и прокомментируйте результаты применения этих критериев.
Вариант 1.
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | –3,2 | –0,1 | 6,1 | |
| A2 | ||||
| A3 | –2 | –2 | ||
| A4 | ||||
| A5 | ||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Вариант 2.
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | –1 | –4 | ||
| A2 | –2 | –2 | ||
| A3 | ||||
| A4 | –2 | –3 | ||
| A5 | ||||
| pi | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
4.5.5.ЗАО «Нива» планирует расширить производство по одному из следующих проектов: 
— выращивать картофель на дополнительных площадях, — засеять дополнительные площади овсом, 
— засеять дополнительные площади льном, — засеять дополнительные площади пшеницей,
— взять кредит, увеличить поголовье крупного рогатого скота и использовать дополнительные площади под клевер и другие кормовые культуры.
Доходность этих проектов в зависимости от состояний среды приведена в таблицах по вариантам.
Вариант 1
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | |
| A1 | –4 | –2 | |||
| A2 | |||||
| A3 | |||||
| A4 | –1 | ||||
| A5 | –3 | –1 | |||
| pi | 0,1 | 0,05 | 0,1 | 0,25 | 0,5 |
Вариант 2
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | |
| A1 | –1 | –2 | |||
| A2 | 1,5 | 1,5 | 2,5 | ||
| A3 | |||||
| A4 | –1 | ||||
| A5 | –5 | –2 | |||
| pi | 0,1 | 0,05 | 0,1 | 0,25 | 0,5 |
Какой проект является оптимальным по критерию наибольшего математического ожидания, если известны вероятности состояний среды?
Какой проект является оптимальным по критерию Сэвиджа? Сравните и прокомментируйте результаты применения этих критериев.
4.5.6. Для доставки свежих фруктов из Кишинева в Москву можно использовать три вида транспорта: Т1 – воздушный, Т2 – автомобильный, Т3 – железнодорожный. Ожидаемые величины дохода аij, с учетом затрат на транспортировку, погрузочно-разгрузочные работы и сроков доставки фруктов и потерь и вместе с условными вероятностями (Pij) их получения представлены в виде матрицы. Каким видом транспорта наиболее выгодно доставлять свежие фрукты?
4.5.7. В Северном округе Москвы планируется строительство овощехранилища. Имеется три возможных проекта создания такого хранилища площадью S1=200, S2=300, S3=400 квадратных метров. В зависимости от эффективности использования выделенных площадей рассчитаны варианты ежегодного дохода ( тыс. руб.). Определить наиболее целесообразный вариант строительства овощехранилища. ( По критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица с коэффициентом пессимизма, равным 0,8.)
 Используемые
Выде- площа-
ленные ди
площади
| 100 м2 | 200 м2 | 300 м2 | 400 м2 |
| S1=200 м2 | ||||
| S2=300 м2 | ||||
| S3=400 м2 | -140 |  670
|
4.5.8. Магазин имеет некоторый запас товаров ассортиментного минимума. Если запасов недостаточно, то необходимо завести его от поставщика, если запас превышает спрос, то магазин несет расходы по хранению нереализованного товара. Пусть спрос на товары лежит в пределах от 5 до 8 единиц, расходы по хранению одной единицы товара составляют с=0,1 руб., а расходы по завозу единицы товара k=0,2 руб. Надо определить оптимальную стратегию магазина по завозу товара. (По критериям Вальда и Сэвиджа.)
7. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ.
1. Отличие логического высказывания от логического значения.
2. Основные логические операции и их таблицы истинности.
3. Основные законы логики высказываний.
4. Определение понятия «нормальные формулы логики высказываний».
5. Определение функции алгебры логики.
6. Отличие существенных переменных от несущественных.
7. Определение равных функций.
8. Основные функции алгебры логики и их таблицы истинности.
9. Отличие совершенной дизъюнктивной нормальной формы булевой функции от её совершенной дизъюнктивной нормальной формы.
10. Определите опыта (эксперимента) и события в теории вероятности. Дать определение и привести примеры достоверного, невозможного и случайного событий.
11. Определите равновозможных и противоположных событий.
12. определение суммы двух (нескольких) событий.
13. Определение произведений двух (нескольких) событий.
14. Совместные и несовместные события.
15. Полная группа событий.
16. Вероятность события (классическое и статистическое определение вероятности).
17. Вероятности невозможного, достоверного, противоположного, случайного событий.
18. Теоремы сложения вероятностей для двух (нескольких) совместных и несовместных событий.
19. Условная вероятность событий. (Определение)
20. Зависимые и независимые события.
21. Условная вероятность независимых событий.
22. Теоремы умножения вероятностей для двух зависимых и независимых событий.
23. Формула полной вероятности (объяснить смысл входящих в неё вероятностей).
24. Формула Байеса. (объяснить, когда она применяется).
25. Формула Бернулли для вычисления вероятности наступления события k и раз при n повторных независимых испытаниях.
26. Локальная теорема Муавра-Лаиласа. Формулировка к объяснение как с её помощью можно приближенно найти 
при больших значениях n.
27. Формула Пуассона и объяснение её применения.
28. Случайная величина. Определение. Примеры.
29. Дискретные и непрерывные случайные величины.
30. Ряд распределения ДСВ и полигон распределения.
31. Функция распределения дискретной случайной величины и её график.
32. Основные свойства функции распределения.
33. Функция распределения НСВ и её график.
34. Плотность распределения и её график.
35. Кривая распределения. Её основные свойства.
36. Определение математического ожидания случайной величины. Формулы для вычисления математического ожидания ДСВ и НСВ. Его свойства.
37. Дисперсия случайной величины. Определение. Объяснение, что она показывает. Основные свойства дисперсии. Основной недостаток дисперсии в качестве характеристики разброса (рассеяния) значений случайной величины.
38. Определение среднего квадратического отклонения случайной величины.
39. Равномерное распределение СВ. Плотность, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение для СВ, распределенной по равномерному закону.
40. Показательное распределение СВ. Плотность и функция распределения СВ. Характеристики СВ, распределенной по показательному закону.
41. Нормально распределение СВ. Плотность и функция распределения СВ. Как изменится вид кривой при изменении параметров a, r нормального распределения.
42. Биноминальный закон распределения. Формулы математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения для СВ, распределенной по биноминальному закону.
43. Формулировка интегральной теоремы Лаиласа. Функция Лаиласа 
и её свойства.
44. Неравенства Моркова и Чебышева. В каких случаях они применяются?
45. Теорема Чебышева и центральная предельная теорема.
46. Показатели мнений. Смысл параметров в этих показателях.
47. Показатели степени согласованности мнений и смысл входящих в них параметров (перечислить).
48. Основные понятия теории игр: игра, игроки, правила игры, парная игра, игра с нулевой суммой, ход, стратегия, решение игры.
49. Платежная матрица. Пример.
50. Нижняя и верхняя цены игры. Определение. Как их найти?
51. Принцип минимакса.
52. Игра с седловой точкой.
53. Смешанная стратегия игры.
54. Теорема Неймона.
55. Определение функции потерь.
56. Нахождение оптимальных смешанных стратегий в парной игре 
.
57. Статистические игры. Определение. (Правило Вальда, правило Сэвиджа, правило Гурвица).
58. Критерий Байеса для нахождения наилучшей чистой стратегии в статистической игры.
59. Граф. Основные понятия. Изображения графа на плоскости.
60. Маршрут, цепь, цикл, дерево, путь, контур.
61. Степени вершины. Полустепени захода и исхода.
62. Матрицы смежности и инциндентности.
63. Эйлеровы, гамильтоновы графы. Взвешенный граф.
64. Алгоритм нахождения кратчайшего пути на графе.
65. Сетевая модель планирования и сетевой график.
66. Критический путь сетевого графика. Что он показывает?