Однокритериальная и многокритериальная

Оптимизация

В зависимости от количества выбранных критериев различают задачи однокритериальной и многокритериальной оптимизации. Задача однокритериальной оптимизации заключается в выборе варианта решения, наилучшим образом соответствующего единственной цели. Многокритериальная задача состоит в поиске среди конечного или бесконечного множества допустимых решений (определенных явно или через ограничения) «лучшего» решения с учетом совокупности критериев.

В большинстве методов математического программирования предполагается оценка по одному критерию. Однако в реальных технологических задачах всегда бывает несколько целей, поэтому задача многокритериальной оптимизации более жизненна.

Так как многокритериальная оптимизация связана с рядом серьёзных трудностей, её часто сводят к однокритериальной путём «огрубления». В одних случаях выбирают наиболее важный критерий, а остальные отбрасывают. В других используют «пороговую» оптимизацию, когда оптимизируется наиболее важный критерий, а для других устанавливается допустимый уровень.

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации следующего вида:

f_i(x) → max, f_i ׃ D → R, i = 1, … , m; D Í Rⁿ. (6.1) ^x^Î^D

Таким образом, задано m функций или функционалов f_i, отображающих множество D – допустимых решений n-мерных векторов x =(х₁, … , х_n) во множество вещественных чисел R. Предполагается, что выбор оптимальных значений x производится не во всем n-мерном пространстве Rⁿ, а лишь в пределах некоторого его подмножества D. Например, можно интерпретировать задачу (6.1) как задачу оптимального выбора параметров х₁, … , х_nнекоторой системы, качество функционирования которой оценивается показателями f₁, … , f_m. В этом случае ограничение x ÎD отражает технологические и иные возможности реализации тех или иных значений х_i. Кроме того, часть ограничений может формироваться на основе имеющейся априорной информации, позволяющей исключить из рассмотрения заведомо неудачные варианты x.

Важнейшее значение при исследовании задач (6.1) имеет принцип Парето и связанные с ним понятия эффективного (Парето-оптимального) и слабо эффективного решения. Для сведения задачи многокритериальной оптимизации (6.1) к некоторой ее однокритериальной версии можно использовать следующие традиционные «инженерные» методы [13].

Метод главного критерия

В методе главного критерия в качестве целевой функции выбирается один из функционалов f_i, наиболее полно с точки зрения исследователя отражающий цель. Остальные требования к результату, описываемые функционалами f₂, … , f_m, учитываются с помощью введения необходимых дополнительных ограничений.

Таким образом, вместо задачи (6.1) решается другая, уже однокритериальная задача следующего вида:

f_i(x) → max; D′ Í D Í Rⁿ; ^x ^Î^D′ D′ = {x ÎD | f_i(x) ≥ t_i, i = 2, … , m}. (6.2)

В результате получили более простую задачу поиска максимума функционала f₁на новом допустимом множестве D′ при ограничениях вида f_i(x) ≥ t_i, показывающих, что согласны не добиваться максимальных значений для функционалов f₂, … , f_m, сохраняя требование их ограниченности снизу на приемлемых уровнях. Однако, переход от задачи (6.1) к задаче (6.2) не есть переход от одной эквивалентной задачи к другой. Произошло существенное изменение исходной постановки задачи, которое в каждой конкретной ситуации требует отдельного обоснования. Применение этого метода на интуитивном уровне обычно наталкивается на трудности, связанные с возможным наличием нескольких «главных» критериев, находящихся в противоречии друг с другом. Кроме того, не всегда ясен алгоритм выбора нижних границ t_i. Их необоснованное задание может привести, в частности, к пустому множеству D′.

Метод линейной свертки

Это наиболее часто применяемый метод «скаляризации» (свертки) задачи (6.1), позволяющий заменить векторный критерий оптимальности f = (f₁, … , f_m) на скалярный J׃ D → R. Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов f₁, … , f_m в один:

_{m m} J(x) =åa_if_i(x) → max; a_i> 0, åa_i =1. (6.3) ⁱ⁼^{1 x}^Î^Dⁱ⁼¹

Весовые коэффициенты a_i могут при этом рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов f_i. Чем большее значение придается критерию f_j, тем больший вклад в сумму (6.3) он должен давать, и, следовательно, тем большее значение a_j должно быть выбрано. При наличии существенно разнохарактерных частных критериев обычно бывает достаточно сложно указать окончательный набор коэффициентов a_i, исходя из неформальных соображений, связанных, как правило, с результами экспертного анализа.

Метод максиминной свертки

Этот метод обычно применяется в форме:

J(x)= min f_i(x) → max. (6.4) ⁱ^x^Î^D

В отличие от метода линейной свертки на целевой функционал J(x)оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке x соответствует наименьшее значение соответствующей функции f_i(x). И если в случае (6.3) возможны «плохие» значения некоторых f_i за счет достаточно «хороших» значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет «на наихудший случай» и по значению J(x)можно определить гарантированную нижнюю оценку для всех функционаловf_i(x). Этот факт расценивается как преимущество максиминного критерия перед методом линейной свертки.

При необходимости нормировки отдельных частных целевых функционалов, т. е. приведения во взаимное соответствие масштабов измерения значений отдельных f_i(x), используется «взвешенная» формула максиминного критерия:

J(x)= min a_i f_i(x) → max, (6.5) ⁱ^x^Î^D

где весовые коэффициенты a_iудовлетворяют требованиям (6.3). Подбирая различные значения a_i, можно определенным образом воздействовать на процесс оптимизации, используя имеющуюся априорную информацию.

Критерии оптимизации ТПШИ

Критериями оптимизации технологических процессов наиболее целесообразно выбирать такие характеристики ТП, как время изготовления изделия (Т),технологическую себестоимость (С) и капитальные затраты (К). С целью создания эффективного метода оптимизации технологических процессов было введено понятие упрощенных характеристик ТП. Упрощенные характеристики технологических процессов аналитически связаны с его внутренними характеристиками и линейно переходят с элементов низших уровней структуры ТП на элементы более высоких уровней. Элементами низшего уровня (базовыми элементами) ТПШИ являются технологические операции.

Таким образом, упрощенные характеристики представляют собой арифметическую сумму характеристик технологических операций. Упрощенные характеристики элементов ТПШИ и самого ТПШИ определяют предельные возможности технологии, не учитывая ограничений организационного характера. Все ограничения учитываются фактическими характеристиками ТПШИ [10].