МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Понятие матрицы. Действия над матрицами

Специалистам, работающим в области экономики, при решении прикладных задач часто приходится оперировать множеством числовых данных, оформленных в виде таблицы. Для проведения количественного анализа таких массивов данных в математике используется понятие матрицы.

Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. В этом случае матрица называется прямоугольной или размера m×n. Если число строк равно числу столбцов m = n, то матрица называется квадратной, порядкаm. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. В частном случае матрица может состоять из одной строки или одного столбца. Элемент матрицы обозначается а_ij, здесь первый индексi обозначает номер строки, второй индекс j обозначает номер столбца.

В общем случае матрица записывается в виде:

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получится матрица, называемая транспонированной. Она записывается в виде:

Матрицу можно умножать на произвольное число , при этом каждый элемент умножается на это число:

Матрицы одного размера можно складывать (вычитать). При этом получается матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц:

Одну матрицу Аможно умножать на другую матрицу В только в том случае, когда число столбцов первой матрицы Аравно числу строк второй матрицы В. Произведение матриц обозначается как . Каждый элемент новой матрицы находится как сумма произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

При выполнении действий над матрицами следует учитывать следующие свойства:

1. Произведение матриц некоммутативно, то есть .

2. Произведение матриц ассоциативно, то есть .

3. Произведение матриц подчиняется дистрибутивному закону, то есть

4. Произведение матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице.

Понятие обратной матрицы

При решении системы линейных уравнений используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица обозначается символом .

Матрица называется обратной для матрицы А, если произведение , где Е - единичная матрица, то есть матрица, у которой элементы по диагонали равны 1, а остальные нули.

Обратная матрица находится по формуле

здесь D - определитель матрицы А, - матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, где строки и столбцы меняются местами:

Заметим, если определитель матрицы D равен нулю D=0, то обратная матрица не существует.