Коэффициент вариации определяется по формуле

*100

и выражается в процентах.

Коэффициенты вариации дают относительную оценку вариации и позволяют сравнивать степень вариации признаков в вариационных рядах с разным уровнем средней, для сравнения вариации разных явлений.

В статистике для характеристики типичных количественных значений явлений иногда применяются мода и медиана. Мода (М_О) – варианта, встречающаяся в ряду распределения чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Для дискретного ряда распределения мода определяется наиболее просто: варианта, против которой расположена наибольшая частота, и будет модой.

В интервальном ряду наибольшая частота указывается не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Вычисление моды производится по следующей формуле

где – начало (нижняя граница) модального интервала;

– величина интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (M_е) – варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда распределения. Для определения достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты. Серединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле

где – начало (нижняя граница) медианного интервала;

– величина интервала;

– сумма всех частот ряда;

– сумма накопленных частот вариантов до медианного;

– частота медианного интервала.

Задача № 1.Найти среднемесячную заработную плату группы работников, если известно, что за месяц первый работник получил 585 тыс. руб., второй – 600, третий – 570, четвертый – 605 и пятый – 675 тыс. руб.

Задача № 2.Определить среднюю месячную заработную плату одного работника по предприятию.

Исходные данные

Заработная плата за месяц, тыс. руб.	До 400	400-600	600-800	800-1000	1000-1200	Свыше 1200
Число работников, чел.

Задача № 3.Определить среднюю себестоимость 1 км пробега ведомственного автотранспорта для трех предприятий.

Исходные данные

Предприятие	Себестоимость 1 км пробега, руб.	Сумма расходов по автотранспорту, млн. руб.
№1 №2 №3		90,4
Итого	-	216,4

Задача № 4.По группе предприятий определить средний процент выполнения плана доходов на основании следующих данных:

Показатели	Предприятие А	Предприятие Б	Предприятие В	Всего
Выполнение плана, тыс. шт. Степень выполнения, %				…

Задача № 5.Исчислить среднюю заработную плату работников и коэффициент вариации.

Исходные данные

Заработная плата, тыс. руб.	400-500	500-600	600-700	700-800	800-900
Число работников

Задача № 6. Определить средний класс квалификации телеграфистов-аппаратчиков по двум предприятиям и сделать вывод об уровне их квалификации на первом и на втором предприятиях.

Указать модальное значение класса квалификации телеграфистов-аппаратчиков.

Исходные данные

Класс квалификации	Число телеграфистов, чел.
Предприятие № 1	Предприятие № 2

Итого

Задача № 7.По приведенным ниже данным определить среднюю заработную плату работников за месяц, моду и медиану.

Заработная плата 1 работника, тыс. руб.

Число работников, чел

Задача № 8.Определить средний возраст работников, моду и медиану по следующим данным:

Возраст работников, лет	До 18	От 18 до 25	От 25 до 35	От 35 до 50	50 и свыше
Численность работников, чел.

Задача № 9.На двух предприятиях работники по уровню производительности труда распределяются следующим образом:

Предприятие № 1	Уровень выработки, млн. руб./чел. Количество работников, чел
Предприятие № 2	Уровень выработки, млн. руб./чел. Количество работников, чел.

Определить средние уровни производительности труда по этим предприятиям и показатели вариации.

На каком из этих предприятий средняя является более типичной характеристикой?

Задача № 10.За смену выработки рабочих характеризуются такими данными:

Выработка, шт.
Число рабочих с данной выработкой, чел.

Исчислите среднюю выработку на одного рабочего за смену, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Определите моду и медиану.

Задача № 11.Два предприятия в отчетном периоде фактически произвели по 10 млрд. руб. каждое. При этом одно предприятие выполнило план производства на 112%, а второе – на 106%.

Исчислите, как в среднем выполнен план производства продукции на этих двух предприятиях вместе.

Задача № 12.Выполнение норм выработки рабочими характеризуется следующими данными:

Процент выполнения норм выработки	90-100	100-110	110-120	120-130	Свыше 130
Число рабочих, чел.

На основе этих данных исчислите обычным способом и способом моментов: а) средний процент выполнения норм выработки всеми работниками; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации; г) моду и медиану.

Задача № 13.Используя способ моментов, исчислите среднюю урожайность и среднее квадратическое отклонение по следующим данным:

Урожайность, ц/га
Площадь посева, % к итогу

Исчислите также моду и медиану.

Задача № 14.Имеются следующие данные о производстве одинаковой продукции тремя рабочими:

Рабочий	Затраты времени на производство единицы продукции, мин.	Время, в течение которого эта продукция производилась, ч.
Иванов П.И. Зубов К.К. Мишин В.Д.

Определите средние затраты времени этими рабочими на производство единицы продукции.

Задача № 15.Некоторая совокупность разбита на 4 типические группы численностью 60; 50; 45 и 40 единиц со средними по некоторому признаку, равными соответственно 18, 20, 25 и 30.

Определите общую среднюю.

Задача № 16.Выпуск продукции двумя цехами предприятияза отчетный год характеризуется следующими данными:

Номер цеха	По плану	Фактически
Удельный вес продукции I-го сорта, %	Стоимость продукции I-го сорта, млрд. руб.	Удельный вес продукции I-го сорта, %	Стоимость произведенной продукции, млрд. руб.

Определите: 1) средний удельный вес продукции I-го сорта по двум цехам вместе: а) по плану, б) фактически; 2) процент выполнения плана по выпуску: а) всей продукции, б) продукции I-го сорта.

Задача № 17.По нижеприведенной группировке магазинов по размеру месячного товарооборота определите: а) моду; б) медиану.

Товарооборот, млрд. руб.	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более
Число магазинов

Задача № 18.По данным задачи 10 определите: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации.

Задача № 19.Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что средняя величина признака 260, а коэффициент вариации составляет 30%.

Задача № 20.Средняя величина признака равна 20, а коэффициент вариации 25%. Определите дисперсию.

Задача № 21.Дисперсия признака равна 25, средний квадрат индивидуальных значений его равен 250.

Определите среднюю величину признака.

Задача № 22.Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 500, а разность между этой произвольной величиной и средней равна 14.

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача № 23.По данным статистической отчетности вузов города установлено, что доля лиц, имеющих ученые степени, составляет в них 60%.

Определите дисперсию доли лиц, имеющих ученые степени в этих вузах.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой средняя величина и в чем состоит ее определяющее свойство?

2. Какие формулы и когда применяются для вычисления средней арифметической?

3. Раскройте основные свойства средней арифметической.

4. Какая связь существует между средней арифметической и средней гармонической?

5. Как исчисляются структурные средние (мода и медиана) в дискретных рядах распределения?

6. Как исчисляются мода и медиана в интервальных рядах распределения?

7. Что собой представляет вариация признака и в чем состоит значение ее изучения?

8. Какие показатели вариации Вам известны и как они исчисляются?

9. Чем предопределяется наличие различных видов дисперсии? Дайте краткую характеристику им.

10. Раскройте основные свойства дисперсии.

11. В чем состоит правило сложения дисперсий?

12. Как можно определить межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий?

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Процесс развития общественно-экономического явления во времени принято называть динамикой, а числовые значения показателей, характеризующих изменение величины этого явления в последовательные моменты или периоды времени, - рядами динамики (или временными рядами).

Любой ряд динамики представить в табличной форме

t	t₁	t₂	…	t_n-1	t_n
y_t	y₁	y₂	…	y_n-1	y_n

Каждое отдельное значение показателя динамики y_t ряда называется уровнем ряда. Ряды динамики могут быть выражены абсолютными, относительными или средними величинами. Кроме того, уровни рядов динамики могут относиться к определенным моментам или интервалам времени.

В зависимости от показателя времени в статистике различают моментные и интервальные ряды динамики.

Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют величину явления по состоянию на определенные моменты времени (например, на первое число каждого месяца, на начало года, на конец года). Такой ряд динамики характеризует состояние явления.

Интервальным (периодическим) называется ряд, уровни которого характеризуют величину явления за определенный промежуток (период, интервал) времени (например, за каждый год пятилетки, за каждый месяц года). Абсолютные величины таких рядов можно складывать или дробить по более коротким промежуткам времени.

На основе рядов абсолютных величин могут быть построены ряды динамики относительных и средних величин.

Основным требованием, предъявляемым к анализируемым рядам, является сопоставимость их уровней. Сопоставимость уровней может обеспечиваться с использованием единой методологии их расчета, фиксированных (или сопоставимых) цен, равенства показателей времени, за которые приводятся уровни и т.д.

При анализе ряда динамики определяются следующие показатели:

средний уровень ряда, абсолютный прирост, темп роста (понижения), темп прироста, средний темп роста, средний темп прироста, абсолютное значение 1% прироста.

Средний уровень ряда ( ) моментных динамических рядах исчисляется по формуле средней хронологической:

где - значения первого, второго и т.д. уровней ряда;

n - количество членов ряда.

В интервальных динамических рядах средний уровень ряда вычисляется по формуле средней арифметической:

В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты (снижения) Δy, темпы роста (снижения) Т и темпы прироста (снижения) ΔТ могут быть рассчитаны с переменной базой сравнения (цепные) и постоянной базой сравнения (базисные).

Абсолютные приросты:

цепные ........................................ ;

базисные......................................

Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:

или

где – цепные абсолютные приросты;

m – число цепных абсолютных приростов.

Темпы роста:

цепные..................................................

базисные...............................................

Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической двумя способами:

или

где T_1,2,3,.._m – цепные коэффициенты роста;

m – число этих коэффициентов.

Темпы роста:

цепные....................................................

базисные..................................................

Или

Среднегодовой темп прироста равен:

Абсолютное значение одного процента прироста (снижения) – отношение абсолютного цепного прироста (снижения) к соответствующему цепному темпу прироста (снижения), выраженному в процентах. Оно определяется по формуле

Для выявления основной тенденции развития (тренда) используются способы: 1) укрупнения интервалов; 2) сглаживания скользящей средней; 3) аналитического выравнивания.

В способе укрупнения интервалов переходят к ряду с более крупными показателями времени и получением уровня показателя за этот показатель времени.

Метод сглаживания с помощью скользящей средней состоит в том, что уровни нового ряда определяются как средние арифметические из определенного числа уровней исходного ряда динамики. При этом каждый раз отбрасывается слева один уровень и добавляется один (соседний) уровень справа.

Для получения более четкой тенденции ряда следует исчислять скользящую среднюю из большего количества членов.

Метод аналитического выравнивания ряда динамики состоит в выборе форм тренда для функции вида

где - уровень ряда для периода t (t=1, …,n);

t - периоды времени.

Наиболее часто для аналитического выравнивания используются следующие типы уравнений тренда: линейная (уравнение прямой или прямая), параболическая, экспоненциальная, логарифмическая, гиперболическая, показательная формы тренда. Когда тип тренда установлен, необходимо вычислить параметры уравнения тренда исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов.¹⁾ Затем исходный ряд заменяется рядом расчетных («теоретических») уровней по выбранной трендовой модели с учетом показателей времени.

Для взаимосвязанного анализа нескольких рядов динамики сначала им придают одинаковое выражение путем пересчета абсолютных значений рядов в относительные величины с общей базой сравнения (например, по отношению к начальному члену каждого ряда, взятого за 100%). Этот прием принято называть методом приведения рядов динамики к одному основанию. Затем исследуется зависимость взаимосвязанных рядов динамики, Количественные характеристики таких зависимостей могут быть получены с помощью методов корреляции и регрессии.

При анализе временных рядов могут выявляться также циклически повторяющиеся закономерности (сезонные колебания динамики). Например, расход электроэнергии в быту в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние; потребление мясных продуктов больше в зимние месяцы.

Для измерения "сезонной волны" в статистике исчисляют индексы сезонности, которые могут быть определены с использованием различных методов (простых и более сложных). Один из методов основан на использовании формулы

где 1сез - индекс сезонности;

- фактические уровни одноименный внутригодовых периодов;

- средняя величина уровней за эти периоды.

Задача № 1. Вычислить темп роста, абсолютный прирост и темп прироста объема продукции за пятилетку по отношению к начальному и предыдущим уровням.

Исходные данные

Годы пятилетки Первый Второй Третий Четвертый Пятый

Объем продукции, млрд. руб.

______________________

¹⁾ О методе наименьших квадратов см. на стр.

Задача № 2. По данным о среднесписочной численности работников за месяцы года, найти среднесписочную численность работников за каждый квартал года и за год. К какому виду относится этот ряд динамики?

Исходные данные

Месяцы I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Среднесписочная численность работников, чел.

Задала № 3. Определить ежегодный абсолютный прирост, ежегодный и среднегодовые темпы роста и прироста числа радиоприемников. Найти абсолютное значение 1% прироста за каждый год и в целом за пятилетку.

Исходные данные

Годы пятилетки Первый Второй Третий Четвертый Пятый

Среднегодовое количество радиоприемников, тыс. шт. 61,8 72,8

Задача № 4. Определить среднегодовой темп роста технологического оборудования за пятилетку.

Годы пятилетки Первый Второй Третий Четвертый Пятый

Количество оборудования, ед.

Задача № 5. Используя метод укрупнения периодов, установить, какая закономерность наблюдается в следующем ряде динамики:

Годы Доходы предприятия, млн. руб.

I кв. II кв. III кв. IV кв.

Первый 6,1 4,9 5,1 5,5

Второй 6,3 5,1 5,3 5,6

Третий 6,6 5,3 5,6 6,0

Задача № 6. Показать наличие сезонности в выполнении плана ремонта производственного оборудования.

Исходные данные

Годы	Расходы, млн. руб.
I кв.	II кв.	III кв.	IV кв.	Всего
Первый
Второй
Третий

Задача № 7. Показать общую тенденцию в динамике объема продукции путем исчисления скользящей средней арифметической.

Исконные данные

Месяцы

III

VII

VIII

XII

Объем продукции, млн. руб.

Задача № 8. По данным задачи N 6 произвести выравнивание динамического ряда по уравнению прямой и сделать выводы о закономерности его изменения.

Задача № 9. Рост выпуска продукции на предприятии за пять лет характеризуется следующими данными:

Годы пятилетки	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый
Продукция, млрд. руб.	11,2	12,4	14,8	18,5	21,5

На основании этих данных исчислите: а) показатели ряда динамики (абсолютный прирост, темп роста и темп прироста, абсолютное значение 1% прироста); б) средний уровень ряда; в) среднегодовой темп динамики (по абсолютным уровням ряда и по коэффициентам роста).

Задача № 10. Остатки вкладов в отделениях сберегательного банка города на качало каждого месяца составляли:

Дата	1,01	1,02	1,03	1,04	1,05	1,06	1,07
Остатки вкладов, млрд. руб.	22,4	23,0	25,0	26,2	24,3	28,0	30,1

Исчислите средний остаток вкладов за I и II кварталы и за полугодие в целом:

Задача № 11. По предприятию имеются следующие показатели:

Показатели	I кв.	II кв.	III кв.	IV кв.
Производственный персонал на конец квартала, тыс. чел.	5,8	6,2	6,0	5,9
Фонд заработной платы за квартал, млрд. руб.	1,7	2,0	2,1	2,2

На основании этих данных: 1) определите вид каждого ряда динамики и их средний уровень (численность персонала на 1,01 составила 5,6 тыс.); 2) исчислите производный ряд динамики средней заработной платы (в тыс. руб.); 3) исчислите по каждому показателю темпы во II, III и IV кварталах и среднеквартальный темп.

Задача № 12. Каковы должны быть в среднем ежегодные темпы прироста, чтобы объем продукции за три года вырос с 50 до 80 млрд. руб.

Задача № 13. Ежегодные темпы прироста продукции составили в % к предыдущему году?

Годы	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый
Темпы прироста	5,8	6,2	5,6	6,0	5,5

Исчислите базисные темпы динамики и среднегодовой темп прироста по полученному ряду динамики.

Задача № 14. По данным нижеприведенной таблицы произвести выравнивание динамического ряда методом укрупнения периодов и методом скользящей средней.

Месяцы

III

VII

VIII

XII

Объем продукции цеха, млн. руб.

Задача № 15. На основе данных нижеприведенной таблицы произвести выравнивание динамического ряда по уравнению прямой. Сделайте выводы о закономерности изменения этого ряда.

Месяцы	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Объем продукции цеха, млн. руб.	15,2	14,7	15,0	13,0	13,4	15,8	17,8	18,1	14,7	14,9	15,3	18,0

Задача № 16. Использую взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице базисные показатели динамики по следующим данные о производстве продукции "А" в регионе "Ц" за 1987-1995гг.:

Год	Производство продукции «А», млн. шт.	Базисные показатели динамики
абсолютный прирост, млн. шт.	темп роста, %	темп прироста, %
	55,1	--	100,0	--
	….	2,8	…..	….
	….	…	110,3	….
	....	…	…..	14,9
	….	…	…..	17,1
	….	…	121,1	….
	....	13,5	…..	….
	….	…	…..	25,4
	….	14,9	…..	….

Задача № 17. Имеются следующие сведения по предприятию о производстве продукции за пятилетку (в сопоставимых данных):

Год
Производство продукции, млрд. руб.	67,7	73,2	75,7	77,9	81,9

Для анализа ряда динамики определите: а) средний уровень ряда динамики; б) цепные и базисные темпы роста и прироста; в) для каждого года абсолютные значения 1% прироста. Результаты расчетов изложите в табличной форме.

Задача № 18. Имеются следующие данные о реализации продукции промышленными предприятиями области (млрд. руб.):

Показатель
В старых границах	37,6	38,1	40,1	42,5	-	-	-	-	-	-
В новых границах	-	-	-	44,7	44,8	45,0	45,2	46,0	46,1	45,0

Установите причину несопоставимости уровней ряда динамики. Приведите уровни ряда к сопоставимому виду.

Задача № 19. Имеются следующее данные о среднем размере товарных запасов в универмаге по месяцам года:

Месяцы	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Размер запасов, млн. руб.	21,2	21,3	21,2	21,3	21,2	21,0	21,0	20,2	19,2	20,1	20,8	21,1

Произведите: а) сглаживание ряда товарных остатков универмага методом четырехуровневой скользящей средней; б) выравнивание ряда динамики по уравнению прямой.

Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

Задача № 20. Приведите уровни следующего ряда динамики, характеризующего численность рабочих предприятия, к сопоставимому виду (чел.):

Показатель
Численность рабочих на 1 января				-	-	-	-	-
Среднегодовая численность рабочих	-	-	-

Контрольные вопросы

1. Что характеризуют ряды динамики?

2. Дайте краткую характеристику основным видам рядов динамики.

3. Что такое несопоставимость в рядах динамики и как обеспечивается сопоставимость между уровнями ряда динамики?

4. Как рассчитать абсолютный прирост, темп роста и темп прироста уровней ряда динамики?

5. Как рассчитать средний темп прироста уровней ряда динамики?

6. Что характеризует основная тенденция (тренд) в изменениях уровней ряда динамики? Раскройте содержания методов укрупнения периодов и метода скользящей средней.

7. Назовите преимущества и роль аналитического выравнивания уровней ряда динамики.

8. В какой последовательности выполняется аналитическое выравнивание для определения формы тренда?

9. Что такое сезонные колебания в уровнях ряда динамики?

10. Как рассчитать индексы сезонности?

11. Какие особенности возникают при совместном анализе нескольких рядов динамики одноименных и разноименных признаков?

ИНДЕКСЫ

Индексом в статистике называется особая относительная величина, вычисляемая путем сопоставления уровня отчетного периода (числитель, сравниваемая величина) с уровнем базисного периода (знаменатель, основание сравнения) одного и того же явления, признака. Индексы позволяют соизмерить непосредственно несоизмеримые явления и признаки.

С помощью индексов изучаются динамика сложного явления, изменение явления в пространстве, связи между явлениями, влияние отдельных факторов на формирование уровня явления, изменения в структуре явления, контролируется выполнение плана (прогноза, задания).

Индексы исчисляются как для отдельных элементов сложного явления, так и для всего явления в целом. В первом случае индексы называются индивидуальными, во втором – общими.

В теории индексов тот показатель, изменение которого характеризует индекс, называют индексируемой величиной. Чтобы различить, к какому периоду относятся индексируемые показатели, принято возле символа внизу ставить знаки «1» - для сравниваемых (отчетных) периодов и «0» - для тех периодов, с которыми производится сравнение (базисных). Различают следующие формы общих индексов: агрегатный и средний (арифметический и гармонический).

Внешней отличительной особенностью любого агрегатного индекса является то, что и в знаменателе фигурирует сумма произведений двух показателей, один из которых меняется (выступает в роли индексируемой величины), а второй остается неизменным (выступает в роли соизмерителя, или веса, индекса). Веса позволяют суммировать несоизмеримые индексируемые величины.

В зависимости от объектов исследования различаются индексы объемных (количественных) показателей и индексы качественных показателей.

К первой группе принадлежат индексы физического объема продукции, национального дохода, физического объема розничного товарооборота, потребления и др.

Ко второй группе принадлежат индексы цен, себестоимости, производительности труда, урожайности и др.

Агрегатный индекс физического объема продукции определяется по формуле

где - объем продукции текущего периода в натуральном выражении;

- объем продукции базисного периода в натуральном выражении;

Р – неизменная цена (денежная оценка) единицы продукции (цена базисного периода, или неизменная цена за ряд лет).

Агрегатный индекс производительности труда определяется по формуле

где - соответственно затраты труда на единицу продукции в базисном и отчетном периоде;

- объем продукции отчетного периода в натуральном выражении.

При отсутствии данных, необходимых для расчета агрегатного индекса, исчисляют средние индексы из индивидуальных индексов как преобразованную форму агрегатного индекса.

Арифметический индекс представляет собой среднюю взвешенную арифметическую величину из индивидуальных индексов с весами как слагаемые знаменателя исходного индекса.

Общий арифметический индекс физического объема исчисляется по формуле

где i – индивидуальные индексы объема продукции .

Средний из индивидуальных индексов должен быть тождествен исходному агрегатному:

Гармонический индекс является средней гармонической из индивидуальных индексов с весами как слагаемые числителя исходного агрегатного индекса.

Общий гармонический индекс цен имеет вид

где

Цена базисного периода Отсюда

Как правило, расчет средних арифметических индексов применяется для количественных показателей, а средних гармонических – для качественных.

В тех случаях, когда возникает необходимость сравнивать изучаемые явления за несколько периодов (больше двух), исчисляются цепные и базисные индексы.

Индексы, имеющую переменную базу сравнения (уровни предыдущего периода), называются цепными индексами, а имеющие общую базу сравнения (например, уровень первого периода) – базисными.

Если цепные и базисные индексы рассчитаны с использованием постоянных весов (соизмерителей), то произведение цепных индексов дает соответствующий базисный индекс, а частное от деления двух базисных – цепной индекс.

Например, динамический ряд физического объема продукции составляется с использованием неизменных денежных оценок (по весам одного и того же периода). Поэтому для индексов физического объема указанное соотношение сохраняется. А индексы себестоимости исчисляются по весам (объемов продукции) текущего года, т.е. с переменными весами, и указанной взаимосвязи между цепными и базисными индексами не имеют.

Индексный метод широко применяется для анализа роли отдельных факторов в формировании уровня и изменении динамики развития сложного явления. Так, например, объем произведенной рабочим продукции за месяц (W) определяется его среднечасовой выработкой (А), средней продолжительностью рабочего дня (В) и средним числом отработанных за месяц дней (С). Изучаемую связь можно записать в виде W = ABC.

Взаимосвязанные индексы отражают взаимосвязи в самом явлении. Например, величина объема продукции (Q) зависит от среднесписочной численности работников (Т) и производительности их труда , т.е. . Подобное соотношение сохраняется и в том случае, если значения показателей заменить их индексами, т.е. .

К числу взаимосвязанных индексов относятся индексы переменного состава (отражающие изменения средних уровней качественных показателей), индексы фиксированного состава и индексы структурных сдвигов.

Себестоимость единицы продукции по отрасли зависит от уровней себестоимости по отдельным предприятиям и от соотношения объемов производства продукции (структуры). Средняя себестоимость продукции по отрасли есть средняя взвешенная себестоимостей по отдельным предприятиям по изменяющимся весам. Такие индексы называют индексами переменного состава.

Чтобы исчислить влияние изменения структуры явления на динамику средних величин, исчисляю индексы постоянного состава, т.е. по одной и той же структуре:

Таким образом, индекс фиксированного состава отражает изменение явления за счет изменения только одного фактора.

Влияние второго из двух факторов на изменение явления можно определить с использованием индекса структурных сдвигов (например, для себестоимости продукции):

При использовании индексов для территориальных (межгосударственных) сравнений необходимо в качестве весов брать сумму размеров территорий этих регионов. Тем самым, например, элиминируются различия в размерах и структуре посевных площадей при изучении средней урожайности по регионам.

Зависимость изучаемого явления от трех и более факторов осуществляется построением взаимосвязанных индексов, а влияние каждого отдельного фактора исчисляется методом цепных подстановок.

При построении многофакторных экономико-статистических моделей большое значение имеет последовательность рассмотрения факторов:

а) первыми факторами-сомножителями в модели должны быть количественные (объемные) показатели;

б) факторы-сомножители должны быть расположены так, чтобы произведение предыдущих давало экономически осмысленную величину.

С учетом этих требований изучаемую связь представим в следующем виде: W = CBA.

По методу цепных подстановок получим следующую систему многофакторных индексов:

Абсолютное изменение результативного показателя в целом определяется по формуле

Задача № 1. По предприятию имеются следующие данные об объемах производства и отпускных ценах на каждый вид продукции за два периода:

Наименование продукции	Единица измерения	Базисный период	Отчетный период
Изготовлено единиц	Цена за единицу, тыс. руб.	Изготовлено единиц	Цена за единицу, тыс. руб.
А	м
Б	шт.
В	кг

Исчислите по предприятию в целом:

1) агрегатный индекс физического объема продукции;

2) агрегатный индекс отпускных цен;

3) размер экономии от снижения цен.

Задача № 2. По следующим данным исчислите общий и индивидуальные индексы физического объема продукции:

Предприятие	Валовая продукция базисного периода, млрд. руб.	Рост производства в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
№ 1
№ 2
№ 3

Задача № 3.По следующим данным исчислите общий и индивидуальные индексы себестоимости и сумму экономии:

Изделия	Затраты на товарную продукцию, млрд. руб.	Объем производства продукции в отчетном году, ед.	Снижение себестоимости единицы продукции в отчетном году по сравнению с базисным, %
А		4,5	7,5
Б			4,5
В		2,8

Задача № 4. Имеются следующие данные о товарообороте комиссионной торговли:

Группа товаров	Товарооборот, млрд. руб.	Изменение цен во II квартале по сравнению с I кварталом, %
I квартал	II квартал
Овощи	15,4	40,2	- 12
Мясо	24,5	18,5	+ 10
Молоко	10,4	14,5	- 10

На основе этих данных исчислите: а) общий индекс цен; 2) общий индекс товарооборота в фактических ценах; 3) общий индекс товарооборота в неизмененных ценах; 4) изменение расходов населения в результате изменения цен.

Задача № 5.Товарооборот по молочным продуктам увеличился в апреле по сравнению с мартом на 4 %, а цены снижены за этот же месяц на 5 %.

Как изменилось количество проданных молочных продуктов в апреле по сравнению с мартом?

Задача № 6.Выручка от реализации продукции возросла на 35 % при увеличении объема проданного вида продукции на 12,5 %.

Как изменились цены на данный вид продукции?

Задача № 7.Численность работников снизилось на 10 %. Затраты на оплату работников увеличились на 20 %.

Как изменилась средняя заработная плата одного работника?

Задача № 8.По данным нижеприведенной таблицы определить изменение производительности труда работников.

Исходные данные

Группа оборудования	Количество работников в текущем году	Индекс производительности труда
№ 1		1,10
№ 2		1,05
№ 3		1,00

Задача № 9.определить цепные индексы динамики от реализации продукции и рост доходов в целом за пять лет (по сравнению с базисным периодом) по следующим исходным данным:

Показатель	Последний год предыдущей пятилетки	Текущая пятилетка, годы
первый	второй	третий	четвертый	пятый
Выручка от реализации, млрд. руб.

Задача № 10.Определить средний арифметический индекс физического объема продукции по республике.

Исходные данные

Отрасли	Отраслевые индексы объема продукции	Удельные веса в стоимости продукции базисного года
А	1,08	9,0
Б	1,06	6,0
В	0,95	35,0
Г	1,12	8,0
Д	0,80	20,0
Е	1,00	22,0
Всего	-	100,0

Задача № 11. По следующим исходным данным построить систему взаимосвязанных индексов:

Вид продукции	Единица измерения	Базисный период	Отчетный период
Объем производства,	Цена , тыс. руб.	Объем производства,	Цена , тыс. руб.
А	шт.
Б	ц
В	л

Задача № 12.Объясните с помощью индексов природу статистического парадокса, вытекающего из следующих исходных данных.

Зерновая культура	Посевные площади, тыс. га	Валовые сборы, тыс. ц	Урожайность, ц/га	Прирост средней урожайности, ц
Прошлый год	Текущий год	Прошлый год	Текущий год	Прошлый год	Текущий год
Пшеница
Рис
Итого

Задача № 13. Имеются следующие данные:

Товар	Отчетный период	Базисный период	Индивидуальные индексы, %
Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	Цена за 1 кг, тыс. руб.	Количество, ц	цен	физического объема реализации
	15,1	…	14,7	270,8	…	112,5
	7,2	…	8,3	131,6	…	105,7
	…	314,6	13,7	…	96,8	125,9

Определите: а) недостающие показатели в таблице; б) сводные индексы цен, физического объема реализации и стоимости товарооборота.

Задача № 14. Имеются следующие данные:

Вид изделия	Трудоемкость, чел.-ч.	Объем выпускаемой продукции, тыс. шт.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
Кофемолка	1,56	1,43	98,9	102,1
Электрофен	1,97	1,96	20,1	22,6
Электробритва	1,38	1,19	300,7	294,5

Вычислите индексы: а) производительности труда; б) трудовых затрат.

Задача № 15. Имеются следующие данные по предприятию за два года

Изделие	Первый год	Второй год	Сопоставимая цена за единицу, тыс. руб.
Выпуск изделия, тыс. шт.	Затраты времени на всю продукцию, тыс. чел.-ч	Выпуск изделия, тыс. шт.	Затраты времени на всю продукцию, тыс. чел.-ч
А	7,0	28,0	9,1	33,6
Б	15,0	22,5	16,5	23,6

Рассчитайте индексы производительности труда двумя способами. Дайте объяснение полученным результатам.

Задача № 16. Среднее снижение цен на группу товаров в июле по сравнению с июнем составило 8,5 %, а в августе по сравнению с июлем – 12 %. Определите, как изменился физический объем реализации товаров в августе по сравнению с июнем, если товарооборот за этот период вырос в 2,1 раза (среднее изменение цен определялось с помощью цепных индексов с весами августа).

Задача № 17. В отчетном году валовая продукция предприятия возросла по сравнению с базисным годом с 375 млрд. руб. до 420 млрд. руб. За этот же период численность рабочих на данном предприятии увеличилась на 3 %.

Определите процент прироста продукции, полученный вследствие роста производительности труда.

Задача № 18. Имеются следующие данные:

Зерновая культура	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га
Базисный год	Отчетный год	Базисный год	Отчетный год
Пшеница	16,6	17,1
Рожь	8,2	10,0
Овес	13,0	16,2
Гречиха	5,8	6,4

Определите индексы урожайности: а) фиксированного состава; б) переменного состава; в) индекс структурных сдвигов. Проверьте правильность вычислений через взаимосвязь индексов, сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи анализа массовых явлений могут решаться при помощи индексного метода?

2. Как исчисляются индивидуальные индексы основных экономических показателей производства и какие правила следует соблюдать при этом?

3. На каких принципах базируется расчет агрегатных индексов объемных и атрибутивных признаков?

4. Какие виды средних из индивидуальных индексов используются в статистической практике и как строятся эти индексы?

5. Что характеризуют индексы переменного и фиксированного (постоянного) состава, а также индекс структурных сдвигов?

6. Как строятся ряды цепных и базисных индивидуальных и общих индексов?

7. Какая взаимосвязь существует между индексами переменного состава, постоянного состава и индексом структурных сдвигов?

8. Какая взаимосвязь существует между цепными и базисными индексами?

9. Какое значение имеет построение факторных индексных моделей?

10. Назовите основные правила построения многофакторных индексных моделей.

11. Как определить в абсолютном и относительном выражении долю влияния факторов на изменение результативного признака?