Энергетические характеристики электромагнитной волны

ВОПРОС 2

В простейшем случае одномерное скалярное волновое уравнение, описывающее волновое движение вдоль оси х, имеет вид

. (1.2)

Здесь - волновая функция, определяющая отклонение некоторой физической характеристики от ее равновесного значения в отсутствие волнового движения, V –постоянная, имеющая размерность скорости и зависящая от параметров среды, и t- время. Уравнение (1.2) описывает свободное распространение волны в пассивной (отсутствует как поглощение, так и усиление волн) среде без источников.

Для нахождения единственного решения уравнения в частных производных (1.2), имеющего второй порядок по времени, в некотором интервале координаты х₁<x<x₂ при t>0 необходимо задать два начальных условия:

(1.3)

вместе с двумя граничными условиями в точках х=х₁ и х=х₂. В случае волны на натянутой струне с закрепленными концами граничные условия принимают вид

(1.4)

где l – длина струны, координаты х=0 и х=l определяют начало и конец струны соответственно- смещение элемента струны в поперечном направлении.

При граничных условиях (1.4) волновое уравнение (1.2), которое пригодно для описания волнового движения струны, имеет счетное множество решений в виде

(1.5)

которые определяют стоячие волны. Здесь –амплитуда стоячей волны, равная максимальному отклонению любого элемента струны в области 0<x<l от его равновесного положения,

(1.6)

Волновое число, с которым связаны длина волны

(1.7)

и частота

, (1.8)

где скорость V определяется линейной плотностью струны и натяжением струны Т согласно формуле

ВОПРОС 3

Скалярная волна, это - волна скалярного поля. По своим качествам, скалярное поле сопоставимо с торсионным полем.

Любое поле описывается заданием некоторой величины в каждой точке пространства. Если эта величина - скаляр, то поле называется скалярным, если вектор - векторным, если тензор - тензорным и т.д. Скалярные волны это не "волны электромагнитного характера" потому что э/м поле - векторное. Тем более это не гравитационные волны, потому что гравитационное поле - тензорное. Скалярные поля (например, знаменитое Хиггсовское) официально экспериментально якобы не обнаружены, хотя в военном и криминальном деле скалярное оружие используется в полную силу.

Свет и радиоволны являются поперечными, и подвержеы поляризации. Продольные волны поляризовать нельзя. Существуют и электромагнитые продольные волны. В рамках стандартной теории поля Ландау и Лифшица есть никем не запрещённая возможность ввести 4-тензорный потенциал электромагнитного поля по формуле ДАЛАМБЕРТИАН этого потенциала равен антисимметричному 4-тензору электромагнитного поля, составленному из пространственных векторов напряжённостей электрического и магнитного полей - ЭТО УРАВНЕНИЕ (или определение) УЖЕ АВТОМАТИЧЕСКИ ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНО!!! Это есть волновое уравнение с ИСТОЧНИКОМ типа даламбертиан потенциалов А и ф равен плотности тока и заряда соответственно.

Согласно классической теории поля Гельмгольца, безвихревое электрическое поле в свободном пространстве описывается волновым уравнение Даламбера для скалярного потенциала. Решением данного уравнения являются волны скалярного потенциала электрического поля, экспериментально полученные Теслой.

Гармоническая волна — процесс распространения гармонического колебания в пространстве. Мы будем рассматривать как упругие (акустические) волны так и волны электромагнитные.

Если распространяются колебания скалярной величины, то соответствующая волна — скалярная. Если же волна переносит колебания векторной величины, то такая волна называетсявекторной.

В звуковой волне, распространяющейся, например, в атмосфере, происходят колебания давления, плотности, температуры воздуха. Всё это скалярные параметры 313g69hd газа, поэтому и волна скалярная.

Электромагнитная волна относится к классу векторных волн, поскольку в этом процессе претерпевают изменения векторные характеристики волны — напряжённости электрического () и магнитного () полей.

ВОПРОС 4

В общем случае уравнение плоской скалярной волны можно записать в виде

S = f (t,x) (1.7)

Это уравнение означает, что скалярный параметр S в любой заданный момент времени имеет одно и то же значение во всех точках плоскости x = x₁ = const.

Наибольший интерес для нас будет представлять волна, в которой координата (х) и время (t) входят в уравнение (1.7) в виде линейной комбинации

S = f (at - bx). (1.8)

Здесь a и b — постоянные,

f — функция, определяющая форму передаваемого сигнала.

Мы будем рассматривать распространение гармонического колебания, когда параметр S меняется во времени и в пространстве по гармоническому закону.

a) Осциллограмма волны: S = f (t).

Рассмотрим зависимость S = f (t) для двух плоскостей x = 0 и x= x₁.

x = 0 S(t,0)= S(at) (1.9)

(1.10)

Сравнение уравнений (1.9) и (1.10) показывает, что изменение параметра S в плоскости x, в точности повторяет изменение этой величины в плоскости x = 0, но с запаздыванием на , где .

b) Фотография волны.

Рассмотрим фотографию волны в плоскости x в моменты времени t = 0 и t = t₁.

(1.11)

. (1.12)

Сопоставляя эти уравнения, приходим к выводу, что волна не меняет своей формы: за время t₁ сигнал перемещается со скоростью вдоль оси Х на расстояние vt₁. Волна при этом не деформируется.

Вывод:

— уравнение плоской скалярной, недеформируемой волны, распространяющейся со скоростью в положительном направлении оси x.

В случае синусоидальной волны f — гармоническая функция координаты и времени.

Путь в плоскости, проходящей через начало координат, происходят колебания с частотой (рис. 1.2).

начальная фаза колебаний.

В плоскости, отстоящей от исходной на расстоянии l, эти колебания повторяются с запаздыванием .Здесь v — скорость распространения волны.

Колебания в точке, определяемой радиус – вектором (рис.1.2):

Мы пришли к уравнению плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.

(1.14)

Рис. 1.2

Здесь: — волновой вектор,

— волновое число.

— единичный вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны.

Волновой вектор — тоже указывает направление движения волны.

В частном случае

(1.15)

Формула 1.15 — уравнение плоской волны, движущейся в положительном направлении оси Х.

Это монохроматическая (одноцветная) волна

Зафиксировав какое – либо значение фазы волны, получим уравнение движения выбранной фазовой поверхности (в нашем случае – плоскости)

(1.16)

Волновой (фазовой) поверхностью называется геометрическое место точек, в которых фаза волны имеет одинаковое значение.

Продифференцируем уравнение (1.16) по времени:

. (1.17)

Скорость движения фазовой поверхности v_ф равна скорости распространения волны. Если плоская волна движется в отрицательном направлении оси x, то v < 0 и уравнение волны принимает вид

Уравнение волны является решением дифференциального волнового уравнения:

ВОПРОС 5

Монохроматическая волна — модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте.

Когерентность

Две волны или несколько волн являются полностью когерентными, если частоты их одинаковы, амплитуды и разность фаз постоянны. Длина когерентности для таких волн равна бесконечности.

Плоскость поляризации — плоскость, задаваемая вектором напряжённости электрического поля E и вектором, указывающим направление распространения электромагнитной волны.

Описывается функцией координат и времени вида:

- амплитуда волны,

- фаза волны,

- начальная фаза

Из уравнения (1) видно, что в плоскости колебания происходят по одному и тому же закону с одной и той же частотой , амплитудой и одной и той же начальной фазой . Поверхности, на которых колебания возмущения происходят синфазно, называются волновыми поверхностями.

Волновая поверхность — геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе. Если источником волны является точка, то волновые поверхности в однородном и изотропном Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт всё время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

пространстве представляют собой концентрические сферы.

Фазовая скорость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлениемволнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение: .

Строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических или монохроматических (то есть синусоидальных или являющихся мнимыми экспонентами ) волн, а также — приближенно — для волн близкой формы (например, почти монохроматических волновых пакетов) или легко сводящихся к синусоидальным (например, сферических волн вида ), или, что менее корректно, при описании периодических волн другой формы. Тем не менее, волну (практически) любой формы с помощью преобразования Фурье можно представить как сумму монохроматических волн, и тогда к каждой из этих волн понятие фазы и фазовой скорости применимо вполне строго (впрочем, тогда у каждой монохроматической волны в разложении будет, вообще говоря, своя фазовая скорость, не совпадающая с другими; только в частных случаях они могут все точно совпадать или быть близки).

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

для одномерного случая

или для размерности, большей единицы.

Конкретное соотношение между и k — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну^[1]

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.

ВОПРОС 6

Если источник возмущения мал (точка) и скорость распространения возмущения во все стороны одинакова (изотропная среда), то фронт волны должен иметь вид сферической поверхности с центром в источнике.
В таком случае волна называется сферической. Уравнение такой монохроматической сферической волны имеет вид:

где – амплитуда волны, f₀ – амплитуда на единичном расстоянии r от источника. Выражение это показывает, что амплитуда сферической волны уменьшается пропорционально расстоянию от источника.

Уравнения сферической монохроматической электромагнитной волны можно записать в следующем виде:

В комплексной форме эти уравнения принимают вид:

Сферическая волна соответствует источнику точечного размера, т. е. представляет абстракцию. Однако даже при источнике конечного размера фронт волны на достаточно большом расстоянии r будет сферической поверхностью с достаточным приближением.

В практической оптике для многих задач можно считать фронт сферическим, если расстояние r превосходит линейные размеры источника в десять раз или более.

ВОПРОС 7

Электромагнитное излучение (электромагнитные волны) — распространяющееся в пространстве возмущение (изменение состояния) электромагнитного поля.

Среди электромагнитных полей вообще, порождённых электрическими зарядами и их движением, принято относить собственно к излучению ту часть переменных электромагнитных полей, которая способна распространяться наиболее далеко от своих источников — движущихся зарядов, затухая наиболее медленно с расстоянием.

Электромагнитное излучение подразделяется на:

· радиоволны (начиная со сверхдлинных),

· терагерцовое излучение,

· инфракрасное излучение,

· видимый свет,

· ультрафиолетовое излучение,

· рентгеновское излучение и жёсткое (гамма-излучение) (см. ниже, см. также рисунок).

Электромагнитное излучение способно распространяться практически во всех средах. В вакууме (пространстве, свободном от вещества и тел, поглощающих или испускающих электромагнитные волны) электромагнитное излучение распространяется без затуханий на сколь угодно большие расстояния^{[источник не указан 24 дня]}, но в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя при этом своё поведение).

Главное условие возникновения электромагнитной волны — ускоренное движение электрических зарядов. При скорости заряда, равной нулю, существует только электрическое поле. При постоянной скорости заряда возникает электромагнитное поле.
При ускоренном движении заряда происходит излучение электромагнитной волны, которая распространяется в пространстве с конечной скоростью.
Разработка идеи электромагнитных волн принадлежит Максвеллу, но уже Фарадей догадывался об их существовании

ВОПРОС 8

Описывается функцией координат и времени вида:

- амплитуда волны,

- фаза волны,

- начальная фаза

Поляризация волн — характеристика поперечных волн, описывающая поведение вектора колеблющейся величины в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

В продольной волне поляризация возникнуть не может, так как направление колебаний в этом типе волн всегда совпадают с направлением распространения.^[1]

Поперечная волна характеризуется двумя направлениями: волновым вектором и вектором амплитуды, всегда перпендикулярным к волновому вектору. Волновой вектор показывает направление распространения волны, а вектор поляризации представляет собой вектор напряженности электрического поля. Так что в трёхмерном пространстве имеется ещё одна степень свободы — вращение вокруг волнового вектора.

Причиной возникновения поляризации волн может быть:

· несимметричная генерация волн в источнике возмущения;

· анизотропность среды распространения волн;

· преломление и отражение на границе двух сред.

Зависимость мгновенных потенциалов при круговой поляризации

В общем случае для гармонических волн конец вектора колеблющейся величины описывает в плоскости, поперечной направлению распространения волны, эллипс, и такая поляризация называется эллиптической. Важными частными случаями являются линейная поляризация, при которой колебания возмущения происходят в какой-то одной плоскости, в таком случае говорят о «плоско-поляризованной волне», и круговая или циркулярная поляризация, при которой конец вектора амплитуды описывает окружность в плоскости колебаний, круговая поляризация в зависимости от направления вращения вектора может быть правой или левой.

Поляризация описывается Фигурами Лиссажу и соответствует сложению поперечных колебаний равной частоты.

В случае плоской монохроматической волны компоненты вектора напряженности электрического поля (также как и компоненты вектора напряженности магнитного поля) меняются совместно по гармоническому закону:

Здесь набег фазы .

Поляризационный эллипс

Преобразовав и сложив первые два уравнения, можно получить уравнение движения вектора :

, где разность фаз .

Эта квадратичная форма описывает эллипс. То есть конец вектора напряженности плоской монохроматической волны описывает эллипс. Для того, чтобы привести её к каноническому виду, нужно повернуть эллипс на угол :

Любой эллипс можно задать в параметрической форме:

Здесь и — амплитудные значения компонент вектора , соответствующие большой и малой полуосям эллипса. Из последних двух систем уравнений можно сделать следующий вывод:

где — вектор Пойнтинга. Таким образом, в плоской монохроматической волне величина вектора Пойнтинга равна сумме потоков в двух произвольных ортогональных направлениях. Вводя обозначения и , из тех же двух систем уравнений можно вывести соотношения:

.^[4]

С помощью последних трех уравнений можно вычислить все параметры эллиптически поляризованной волны. А именно, зная величины и в произвольной системе координат, можно вычислить величину вектора Пойнтинга. С помощью разности фаз можно определить угол поворота большой оси эллипса относительно нашей системы координат, а также величины большой и малой полуосей эллипса и .

Направление вращения волнового вектора определяется разностью фаз . Если , тогда поляризация называется правой, а если, напротив, , поляризация называется левой. Если наблюдатель смотрит навстречу световому лучу, то правой поляризации соответствует движение конца вектора по часовой стрелке, а левой поляризации — против часовой стрелки. Если разность фаз равна , где — целое число, то эллипс вырождается в отрезок. Такая поляризация называется линейной. Другой важный случай возникает, когда и . В этом случае эллипс превращается в окружность, параметрическое уравнение которой имеет вид:

Нетрудно убедиться, что произвольная эллиптическая поляризация может быть разложена на сумму правой и левой круговых поляризаций

ВОПРОС 9

Энергетические характеристики электромагнитной волны

Энергетические характеристики электромагнитных волн по своему смыслу совпадают с энергетическими характеристиками механических волн (раздел 2.4).

Среда, в которой распространяется волна, обладает электромагнитной энергией, складывающейся из энергий электрического и магнитного полей.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля (w) - суммарная энергия электрического и магнитного полей в единице объема среды:

Распространение электромагнитных волн, как и распространение механических волн, сопровождается переносом энергии.

Поток энергии (Ф) - величина, равная энергии, переносимой электромагнитной волной через данную поверхность за единицу времени:

На границе атмосферы Земли среднегодовое значение I солнечного света составляет 1,370 кВт/м² (солнечная постоянная). Эта интенсивность обеспечивает все процессы, которые протекают за счет солнечной энергии.

Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, одна из компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить черезвекторное произведение двух векторов:

(в системе СГС),

(в системе СИ),

где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.

ВОПРОС 10

Распространение электромагнитной волны сопровождается переносом энергии и импульса электромагнитного поля. Чтобы убедиться в этом, умножим скалярно первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (см. Лекцию 15) на , а третье – также скалярно на , и вычтем полученные результаты один из другого. В результате будем иметь:

Используя формулу векторного анализа , а также принимая во внимание материальные уравнения и , преобразуем написанное уравнение к виду:

или ,

где введены обозначения

;

Величина w – плотность энергии электромагнитного поля, переносимой волной: она слагается из плотности энергии электрического и магнитного полей. Вектор , имеющий смысл плотности потока энергии, носит название вектора Пойнтинга (Poynting J., 1852-1914).

Полученное уравнение выражает собой закон сохранения энергии для электромагнитного поля в дифференциальной форме.

. Оно показывает, что изменение энергии поля в выделенном объеме пространства за единицу времени происходит за счет потока вектора Пойнтинга через поверхность, охватывающую этот объем. Скорость переноса энергии называется групповой скоростью, она определяется как:

Отсюда следует размерность вектора Пойнтинга в СИ: .