Все доказанные свойства справедливы для определителей любого порядка

Примеры. Вычислить определители.

 

1. 1 7 0

2 -1 -3 = 2 - 21*5 + 0 – 0 - (-3)*41 - 14*2 = 2 -105+12-28 =14-133=-119

5 4 2

 

2. + + +

4 6 -2 1 (-4) (- 6) (2) 0 0 0 1

1 -1 3 5 = -19 -31 13 5 19 31 13

3 -10 2 1 -1 -16 4 1 = -1 1 16 4 =

6 0 12 2 -2 -12 16 2 2 12 16

 

19 31 13 19 31 13 19 31 13

= -2 1 16 4 = -2 1 16 4 = -2 1 26 0 =

1 6 8 0 -10 4 0 -10 4

= -2 * (12*26*4 + 130 – 31*4) = -4 * (12*26*2 + 65 – 31*2) = -4 * (12*26*2 + 3)

Замечание. Так как всякий определитель связан с квадратной матрицей, то все доказанные свойства можно «привязать» к матрице.

Например. Если элементы двух строк квадратной матрицы равны, то определитель этой матрицы ∆ = |A|=0.

 

Лекция 2. Обратная матрица.

 

Число b называют обратным по отношению к числу a, если ab=1 В этом случае b= = a-1 aa-1 ≡ 1

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А слева или справа получается единичная матрица: AB=BA=E
Аналогично числам можно ввести понятие обратной матрицы.

 

 

 

 

В этом случае для обратной матрицы В вводится обозначение В=А-1.

 

Из свойств определителей и условия A-1A=AA-1=Eследует

|А-1А|=| А-1||А|

| А-1|*|А|= 1, |А-1|= , |А|≠ 0

|А-1А|=| Е|= 1

Очевидно, говорить о существовании обратной матрицы для матрицы А можно лишь том случае, если │А│≠ 0. В этом случае матрица Аназывается невырожденной. Если |A|=0, то матрица А называется вырожденной(особенной).

Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы.

│А│≠ 0- необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Теорема. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А-1 и при этом единственная, для которой справедливо равенство:   А*А-1 = А-1 *А = Е
Справедлива следующая теорема.

 

 

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель |A|. Если │А│≠ 0,то обратная матрица существует.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений матрицы А.

А11 А12 А13

А = А21 А22 А23

А31 А32 А33

3. Полученную матрицу транспонируем

А11 А21 А31

А12 А22 А32 = Ã

А13 А23 А33

 

Назовём эту матрицу присоединённой.

4. Все элементы присоединённой матрицы делим на определитель |A|.

│А-1│= * Ã

Проверка. Если │А-1│= * Ã = Е, то обратная матрица найдена верна

Пример. Найдем обратную матрицу, если

4 -8 -5

А = -4 7 -1

-3 5 1

 

1. 4 -8 -5 24 -43 0

|А| = -4 7 -1 = -4 7 -1 = 24*12- 7*43 = 288 – 301 = -13 -3 5 1 -3 5 1-3 5 1 -7 12 0

-7 12

 

2. 7 -1 -4 -1

А11 = = 7 + 5 = 12, А12 = - = 7, А13 = 1,

5 1 -3 1

 

-8 -5 4 -5

А21 = - = -17, А22 = = -11, А23= 4,

5 1 -3 1

 

А31 = 43, А32= 24 А33= - 4

 

 

12 7 1

-17 -11 4 ;

43 24 -4

 

3.12 7 1

à = -17 -11 4 ;

43 24 -4

 

4.Обратная матрица

- -

А-1 = - -

- -

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы - одно из важнейших для решения многих прикладных задач.

Пусть дана матрица размерности m х n. Вычёркивая произвольно строки и столбцы матрицы, можно в ней вычленять квадратные матрицы различных порядков.

а11 а12 а13 а14 - ЧЕТЫРЕ МАТРИЦЫ 3-ГО ПОРЯДКА

а21 а22 а23 а24

а31 а32 а33 а34 - 18 МАТРИЦ 2-ГО ПОРЯДКА.

 

Например:

а11 а12 или а22 а23

а21 а22 а32 а33

Определители этих матриц назовём минорами соответствующих порядков. Например, минор 3-го порядка

а11 а12 а13 Среди этих миноров могут быть нулевые

а21 а22 а23 и ненулевые миноры.

а31 а32 а33 .

Определение. Наивысший из порядков минора, отличный от нуля, называется рангом матрицы и обозначается символом rang A=r.

 


 

 

Очевидно: а) rang A≤ min (m, n);

б) если А – невырожденная квадратная матрица, то rang A=n;

Пример. Найти ранг матрицы А

1 4 7 12

А = 3 -1 0 13 rang А≤ min (3;4)

4 16 28 48

Все миноры 3 порядка равны нулю (т.к. элементы 3-й строки в любом миноре пропорциональны элементам 1-й строки).

Рассмотрим минор 2-го порядка 1 4 = - 13 ≠ 0

 

3 -1

существует минор 2-го порядка не равный нулю. Значит, rang А=2.

Вычисление всех миноров в общем случае достаточно громоздкая операция. Для упрощения этой операции используются преобразования матрицы, сохраняющие её ранг. Такие преобразования называются эквивалентными или элементарными. Они основаны на свойствах определителей:

1. Если ряд матрицы состоит из нулей, его можно отбросить, ранг при этом сохраняется.

2. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

3. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки умножить (разделить) на одно и то же число.

4.Ранг не меняется от перестановки рядов матрицы.

5. Ранг матрицы не изменится, если элементы любой строки, умноженные на одно и то же число, прибавить к соответствующим элементам другой строки.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Пример.

1 3 7 2 5 + (3) (-2)

-1 0 4 8 3

3 6 10 -4 7

2 -3 10 4 4

 

1 3 7 2 5 1 3 7 2 5

0 3 11 10 8 => 0 3 11 10 8 (3)

0 -3 -11 -10 -8 0 -9 -4 0 -6

0 -9 -4 0 -6

 

 

1 3 7 2 5 1 3 7

0 3 11 10 8 М = 0 3 11 = 1*3*29 = 87≠ 0

0 0 29 30 18 , 0 0 29

rang A4х5 = 3.