Задачи и возможности моделирования

Одной из важных проблем современной науки является разработка и внедрение в практику методов ис­следования динамики функционирования сложных систем, к которым относятся крупные производственные комплексы с автоматизированным управлением, вычис­лительные комплексы, предназначенные для обработки информации и т.д.

При проектировании, создании и эксплуатации сложных систем возникают задами, требующие опреде­ления количественных и качественных закономернос­тей, свойственных рассматриваемым системам.

Имеющиеся в арсенале прикладной математики классические методы не всегда пригодны для иссле­дования сложных систем. Поэтому в последние годы интенсивно развиваются новые методы, связанные о теорией специальных видов случайных процессов, те­орией массового обслуживания, распознаванием образов (автоматической классификацией), динамикой средних, алгоритмическим описанием процессов функционирова­ния сложных систем и т.д.

Использование математических методов и моделей во многих случаях при достаточно общих предположе­ниях о характере рассматриваемых процессов позволя­ет получить уравнения относительно характеристик процесса и провести весьма общее его исследование.

Наряду с этими методами, которые мы в дальней­шем будем условно называть аналитическими, широ­кое распространение получают разнообразные виды мо­делирования, в том числе метод статистического ими­тационного моделирования, реализуемый на ЭВМ.

Сущность статистического моделирования состо­ит в построении для исследуемого процесса соот­ветствующего моделирующего алгоритма, имитирующего при помойки операций машины поведение элементов сложной системы и взаимодействие междуними с учё­том случайных возмущающих факторов.

Метод статистического моделирования позволяет решать весьма сложные задачи и обладает существенны­ми преимуществами перед аналитическими методами и другими видами моделирования.

Основным его преимуществом является возможность решения задач исключительный сложности: исследуемая система может одновременно содержать элементы непре­рывного и дискретного действия, быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы, описываться весьма громоздкими нелинейными соотношениями и так далее.

[ограничения быстродействие ЭВМ, размерность задачи]

Под процессом (процессом функционирования не­которой системы) в дальнейшем будем понимать после­довательную смену состояний системы во времени.

Любое количественное изучение процесса (а тем более повторение математической модели для него) возможно лишь в том случае, если определены те величины, которые характеризуют процесс с коли­чественной точки зрения.

Характеристики процесса можно также интерпре­тировать как координаты точки в n - мерном прост­ранстве. Каждому мгновенному состоянию процесса соответствует определенная точка.

Величины, характеризующие свойства системы и ее элементов, будем называть параметрами системы, а величины, определяющие начальное состояние систе­мы, - начальными условиями.

На практике широкое распространение получили систем, процессы функционирования которых сопро­вождаются переработкой информации, поступающей извне или возникающей внутри системы. Для описания такого рода систем (точнее, процессов их функционирования) необходимо также указывать исходную ин­формацию, определяющую собой течение процесса.

Математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному реальному процессу.

Под математической моделью реального процесса мы будем понимать совокупность отношений (например, фор­мул, уравнений, неравенств, логических условий, опе­раторов и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, ис­ходной информацией и начальнымиусловиями.

Здесь отнюдь не предполагается, что математическая модель состоит только из соотношений, выражающих характеристики процесса в виде явных функ­ций от параметров системы, времени, исходной информации и начальных условий. В общем случае этого может и не быть. Существенные свойством математической модели является то, что при совместном рас­смотрении составлявших её соотношений характеристи­ки процесса однозначно (для детерминированных моде­лей) определяются через параметры системы, исход­ную информацию и соответствующие начальные условия.

Па практике нередко приходится рассматривать так называемые случайные процессы, характеристики которых являются случайными функциями времени.

Как известно, случайные процессы могут быть описаны соответствующими распределениями вероят­ностей, заданными на множестве реализаций. Реализациями являются неслучайные, вполне детерминиро­ванные процессы, в виде которых проявляется случайный процесс при каждом отдельном эксперименте, проводимом над случайным процессом.

Характеристики процесса могут быть случайными функциями времени в силу различных причин. Имеют место ситуации, когда сам изучаемый процесс, по существу, является неслучайным, вполне детерминированным, в то время как начальные условия оказыва­ются случайными величинами. Другие распространённые ситуации характеры тем, что случайными величинами оказываются параметры соответствующей системы.

Случайный характер протекания процесса чаще всего объясняется действием на элементы системы случайных возмущений, возникающих внутри системы или вне ее, или случайным характером исходнойинформации, перерабатываемой системой в процессе функционирования.

При помощи математической модели однозначно оп­ределяются распределения вероятностей для характеристик процесса, если заданы распределения вероятнос­тей для начальных условий, параметров системыи возмущений, действующих наеё элементы, а также для исходной информации.

Для построения математической модели процесса можно пользоваться несколькими различными (в общем случае неравноценными) наборами параметров системы. Выбор удачного набора параметров, как правило, за­висит от опыта исследователя.

Учет большого количества второстепенных деталей оказывается практически нецелесообразным. В большинстве случаев при решении прикладных задач достаточно учитывать лишь основные стороны исследуемого процесса.

Математическая модель может появиться только как следствие четкого формального описания рассмат­риваемого процесса с требуемой степенью приближения к действительности, только в результате формализации процесса. Однако на этом исследование не заканчива­ется. Дальнейшим важным шагом является использование математической модели для получения общих закономер­ностей, связанных с исследуемым процессом, или конк­ретных числовых зависимостей между фигурирующими ве­личинами.

2. О способах использования математической модели для исследования процессов

При любом способе использования математической модели для исследования некоторого реального процесса в первую очередь необходимо наметить совокупность искомых величин, т.е. тех характеристик процесса, параметров системы и начальных условий или функций от них, определение которых является целью исследования.

Кратко остановимся только на основныхспособах использования математической модели, а именно:

1) на аналитическом исследовании процессов;

2) исследовании процессов при помощи численных мето­дов (втомчисле и с применением всех видов вы­числительной техники);

3) физическом моделировании процессов;

4) моделировании процессов на вычислительных маши­нах непрерывного действия (аналоговыхустановках или моделирующих машинах) и

5) моделировании процессов на цифровых вычислитель­ных машинах (машинах дискретного действия)*.

 

Каждый из перечисленных способов имеет специ­фические свойства, определяющие сферу его эффектив­ного применения при решении различных теоретических и прикладных задач.

Рассмотрим вкратце мероприятия, проводимые при аналитическом исследовании процессов.

Как правило, математическая модель в своём первоначальном виде не может быть использована для аналитического исследования процесса. В частности, математическая модель вообще может не содержать в явном виде искомых величин. Необходимо преобразо­вать математическую модель в такую систему соотношений (например, уравнений) относительно искомых величин, которая допускает получение нужного ре­зультата аналитическими методами. Это преобразова­ние является наиболее существенным и в то же время часто наиболее трудным шагом при аналитическом ис­следовании процессов. Под получением результата здесь будем понимать либо построение явных фор­мул для искомых величин, либо приведение уравне­ний к виду, для которого решения известны, либо, наконец, проведение исследования уравнений качест­венными методами (например, оценка асимптотических значений искомых величин, оценка устойчивости реше­ний) и т.д.

Однако воспользоваться аналитическим исследова­нием удается сравнительно редко, так как преобразо­вание математической модели в систему уравнений, до­пускающую эффективное получение результатов, является трудной задачей, а для сложных процессов часто эти трудности оказываются непреодолимыми.

При решении многих прикладных (а иногда и теоретических задач) идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и огрубление её ради возможности получить хотя бы приближённое ре­шение задачи.

В случаях, когда не удаётся преобразовать ма­тематическую модель в подходящую систему уравнений, а упрощения задачи приводят к недопустимо грубым результатам, от аналитического исследования отка­зываются к переходят к другим способам использова­ния математической модели.

Более широкую сферу применения имеет исследова­ние процессов при помощи численных методов. Содержание работы при численном исследовании про­цессов остаётся в основном таким же, как и при использовании аналитических методов. Разница заклю­чается в том, что после выполнения наиболее трудной части работы - преобразования математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение численными методами, - необходимо вручную или с использованием вычислительной техники произвести вы­числения - реализовать соответствующий численный метод, В качестве результатов при исследовании про­цессов численными методами обычно получают таблицы значений искомых величин для конечного набора зна­чений параметров системы, начальных условий или времени.

Необходимо отметить, что класс уравнений для искомых величин, которые могут быть решены прибли­женно численными методами, значительно шире,чем класс уравнений, доступных аналитическому исследова­нию. Вместе с тем решение задач при использовании численных методов бывает обычно менее полным по сравнению с аналитическим исследованием, а в неко­торых весьма распространенных случаях ограничивается обследованием небольшого количества частных реализа­ции процесса.

Чрезвычайно неприятным является то обстоятельство, что математические модели сложных про­цессов в своём первоначальном виде далеко не всегда оказываются пригодными для применения численных ме­тодов, а преобразования математических моделей в соответствующую систему уравнений, как правило, ос­таются столь же сложными, как и в случае аналити­ческого исследования.

При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин. Для моделирования характерно воспроизведение явлений, описываемых математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, а иногда и физического содержания, выполняемое при помощи специальных моделирующих установок или средств вычислительной техники,

Для моделирования процесса на ЭВМ необходимо преобразовывать математическую модель его в специ­альный моделирующий алгоритм.

При моделировании процессов на цифровых вычис­лительных машинах реализация моделирующего алгорит­ма является в некотором смысле имитацией элементар­ных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последователь­ности протекания во времени и особенно характера и состава информации о состояниях процесса.

Структура моделирующего алгоритма слабо зависит от совокупности искомых величин, а определяется главным образом строением математической модели.

Метод моделирования процессов на цифровых вычислительных машинах имеет весьма обширную сферу применения. Он дает возможность проводить достаточ­но полное исследование разнообразных процессов независимо от физической природы явлений, составляющих данный процесс, выбора совокупности искомых вели­чин и формулировки прикладных задач.