Задачи и возможности моделирования
Одной из важных проблем современной науки является разработка и внедрение в практику методов исследования динамики функционирования сложных систем, к которым относятся крупные производственные комплексы с автоматизированным управлением, вычислительные комплексы, предназначенные для обработки информации и т.д.
При проектировании, создании и эксплуатации сложных систем возникают задами, требующие определения количественных и качественных закономерностей, свойственных рассматриваемым системам.
Имеющиеся в арсенале прикладной математики классические методы не всегда пригодны для исследования сложных систем. Поэтому в последние годы интенсивно развиваются новые методы, связанные о теорией специальных видов случайных процессов, теорией массового обслуживания, распознаванием образов (автоматической классификацией), динамикой средних, алгоритмическим описанием процессов функционирования сложных систем и т.д.
Использование математических методов и моделей во многих случаях при достаточно общих предположениях о характере рассматриваемых процессов позволяет получить уравнения относительно характеристик процесса и провести весьма общее его исследование.
Наряду с этими методами, которые мы в дальнейшем будем условно называть аналитическими, широкое распространение получают разнообразные виды моделирования, в том числе метод статистического имитационного моделирования, реализуемый на ЭВМ.
Сущность статистического моделирования состоит в построении для исследуемого процесса соответствующего моделирующего алгоритма, имитирующего при помойки операций машины поведение элементов сложной системы и взаимодействие междуними с учётом случайных возмущающих факторов.
Метод статистического моделирования позволяет решать весьма сложные задачи и обладает существенными преимуществами перед аналитическими методами и другими видами моделирования.
Основным его преимуществом является возможность решения задач исключительный сложности: исследуемая система может одновременно содержать элементы непрерывного и дискретного действия, быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы, описываться весьма громоздкими нелинейными соотношениями и так далее.
[ограничения быстродействие ЭВМ, размерность задачи]
Под процессом (процессом функционирования некоторой системы) в дальнейшем будем понимать последовательную смену состояний системы во времени.
Любое количественное изучение процесса (а тем более повторение математической модели для него) возможно лишь в том случае, если определены те величины, которые характеризуют процесс с количественной точки зрения.
Характеристики процесса можно также интерпретировать как координаты точки в n - мерном пространстве. Каждому мгновенному состоянию процесса соответствует определенная точка.
Величины, характеризующие свойства системы и ее элементов, будем называть параметрами системы, а величины, определяющие начальное состояние системы, - начальными условиями.
На практике широкое распространение получили систем, процессы функционирования которых сопровождаются переработкой информации, поступающей извне или возникающей внутри системы. Для описания такого рода систем (точнее, процессов их функционирования) необходимо также указывать исходную информацию, определяющую собой течение процесса.
Математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному реальному процессу.
Под математической моделью реального процесса мы будем понимать совокупность отношений (например, формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, исходной информацией и начальнымиусловиями.
Здесь отнюдь не предполагается, что математическая модель состоит только из соотношений, выражающих характеристики процесса в виде явных функций от параметров системы, времени, исходной информации и начальных условий. В общем случае этого может и не быть. Существенные свойством математической модели является то, что при совместном рассмотрении составлявших её соотношений характеристики процесса однозначно (для детерминированных моделей) определяются через параметры системы, исходную информацию и соответствующие начальные условия.
Па практике нередко приходится рассматривать так называемые случайные процессы, характеристики которых являются случайными функциями времени.
Как известно, случайные процессы могут быть описаны соответствующими распределениями вероятностей, заданными на множестве реализаций. Реализациями являются неслучайные, вполне детерминированные процессы, в виде которых проявляется случайный процесс при каждом отдельном эксперименте, проводимом над случайным процессом.
Характеристики процесса могут быть случайными функциями времени в силу различных причин. Имеют место ситуации, когда сам изучаемый процесс, по существу, является неслучайным, вполне детерминированным, в то время как начальные условия оказываются случайными величинами. Другие распространённые ситуации характеры тем, что случайными величинами оказываются параметры соответствующей системы.
Случайный характер протекания процесса чаще всего объясняется действием на элементы системы случайных возмущений, возникающих внутри системы или вне ее, или случайным характером исходнойинформации, перерабатываемой системой в процессе функционирования.
При помощи математической модели однозначно определяются распределения вероятностей для характеристик процесса, если заданы распределения вероятностей для начальных условий, параметров системыи возмущений, действующих наеё элементы, а также для исходной информации.
Для построения математической модели процесса можно пользоваться несколькими различными (в общем случае неравноценными) наборами параметров системы. Выбор удачного набора параметров, как правило, зависит от опыта исследователя.
Учет большого количества второстепенных деталей оказывается практически нецелесообразным. В большинстве случаев при решении прикладных задач достаточно учитывать лишь основные стороны исследуемого процесса.
Математическая модель может появиться только как следствие четкого формального описания рассматриваемого процесса с требуемой степенью приближения к действительности, только в результате формализации процесса. Однако на этом исследование не заканчивается. Дальнейшим важным шагом является использование математической модели для получения общих закономерностей, связанных с исследуемым процессом, или конкретных числовых зависимостей между фигурирующими величинами.
2. О способах использования математической модели для исследования процессов
При любом способе использования математической модели для исследования некоторого реального процесса в первую очередь необходимо наметить совокупность искомых величин, т.е. тех характеристик процесса, параметров системы и начальных условий или функций от них, определение которых является целью исследования.
Кратко остановимся только на основныхспособах использования математической модели, а именно:
1) на аналитическом исследовании процессов;
2) исследовании процессов при помощи численных методов (втомчисле и с применением всех видов вычислительной техники);
3) физическом моделировании процессов;
4) моделировании процессов на вычислительных машинах непрерывного действия (аналоговыхустановках или моделирующих машинах) и
5) моделировании процессов на цифровых вычислительных машинах (машинах дискретного действия)*.
Каждый из перечисленных способов имеет специфические свойства, определяющие сферу его эффективного применения при решении различных теоретических и прикладных задач.
Рассмотрим вкратце мероприятия, проводимые при аналитическом исследовании процессов.
Как правило, математическая модель в своём первоначальном виде не может быть использована для аналитического исследования процесса. В частности, математическая модель вообще может не содержать в явном виде искомых величин. Необходимо преобразовать математическую модель в такую систему соотношений (например, уравнений) относительно искомых величин, которая допускает получение нужного результата аналитическими методами. Это преобразование является наиболее существенным и в то же время часто наиболее трудным шагом при аналитическом исследовании процессов. Под получением результата здесь будем понимать либо построение явных формул для искомых величин, либо приведение уравнений к виду, для которого решения известны, либо, наконец, проведение исследования уравнений качественными методами (например, оценка асимптотических значений искомых величин, оценка устойчивости решений) и т.д.
Однако воспользоваться аналитическим исследованием удается сравнительно редко, так как преобразование математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное получение результатов, является трудной задачей, а для сложных процессов часто эти трудности оказываются непреодолимыми.
При решении многих прикладных (а иногда и теоретических задач) идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и огрубление её ради возможности получить хотя бы приближённое решение задачи.
В случаях, когда не удаётся преобразовать математическую модель в подходящую систему уравнений, а упрощения задачи приводят к недопустимо грубым результатам, от аналитического исследования отказываются к переходят к другим способам использования математической модели.
Более широкую сферу применения имеет исследование процессов при помощи численных методов. Содержание работы при численном исследовании процессов остаётся в основном таким же, как и при использовании аналитических методов. Разница заключается в том, что после выполнения наиболее трудной части работы - преобразования математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение численными методами, - необходимо вручную или с использованием вычислительной техники произвести вычисления - реализовать соответствующий численный метод, В качестве результатов при исследовании процессов численными методами обычно получают таблицы значений искомых величин для конечного набора значений параметров системы, начальных условий или времени.
Необходимо отметить, что класс уравнений для искомых величин, которые могут быть решены приближенно численными методами, значительно шире,чем класс уравнений, доступных аналитическому исследованию. Вместе с тем решение задач при использовании численных методов бывает обычно менее полным по сравнению с аналитическим исследованием, а в некоторых весьма распространенных случаях ограничивается обследованием небольшого количества частных реализации процесса.
Чрезвычайно неприятным является то обстоятельство, что математические модели сложных процессов в своём первоначальном виде далеко не всегда оказываются пригодными для применения численных методов, а преобразования математических моделей в соответствующую систему уравнений, как правило, остаются столь же сложными, как и в случае аналитического исследования.
При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин. Для моделирования характерно воспроизведение явлений, описываемых математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, а иногда и физического содержания, выполняемое при помощи специальных моделирующих установок или средств вычислительной техники,
Для моделирования процесса на ЭВМ необходимо преобразовывать математическую модель его в специальный моделирующий алгоритм.
При моделировании процессов на цифровых вычислительных машинах реализация моделирующего алгоритма является в некотором смысле имитацией элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени и особенно характера и состава информации о состояниях процесса.
Структура моделирующего алгоритма слабо зависит от совокупности искомых величин, а определяется главным образом строением математической модели.
Метод моделирования процессов на цифровых вычислительных машинах имеет весьма обширную сферу применения. Он дает возможность проводить достаточно полное исследование разнообразных процессов независимо от физической природы явлений, составляющих данный процесс, выбора совокупности искомых величин и формулировки прикладных задач.