Определение оптимального количества кладовщиков на складе (по А.А.Воронову)

Рассмотрим производственную систему - инструментальный склад, обслуживающий несколько цехов.

Руководитель предприятия, субъективно оценивая ситуацию, считает, что для обслуживания склада вполне достаточно одного кладовщика. Как получить научное обоснование такого решения?

Ситуации, подобные описанным, возникают в системах, называемых системами массового обслуживания (СМО).

Основываясь на предыдущем опыте, сделаем предположение о том, что поток требований пуассоновский. Для нахождения интенсивности потока будем регистрировать число пришедших на склад рабочих за каждые 15 минут на протяжении всего рабочего дня. В течение 5 рабочих дней сделано 140 наблюдений общей продолжительностью Т = 15 х 140 =2100 мин. При этом промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий - не наблюдалось; двое рабочих приходили 1 раз; трое - 3 раза и т.д. Подсчитаем наблюденные частоты прихода разного количества рабочих, выразив их для удобства записи в процентах. Частота прихода двух рабочих, таким образом, оказывается раной трех - 2,14%, четырех - 5,72% и т.д. Полученные данные сводятся в таблицу (табл.1), где в первом столбце помещено наблюдаемое число m приходящих за 15 мин., во втором - общее число наблюдавшихся таких приходов, в третьем - вычисленная наблюденная частота.

Сумма цифр второго столбца равна общему числу наблюдений, т.е. 140. Из-за ошибок от округления при вычислении частот сумма цифр третьего столбца получилась равной 99,87%, а не 100%.

Чтобы найти среднее число приходов в единицу времени, определим полное число приходов М как сумму попарных произведений цифр, стоящих в одинаковых строках первого и второго столбцов.

М = 2 х 1 + 3 х 3 + 4 х 8 + . . . + 19 х 1 = 1201

Проверим теперь, насколько допустима гипотеза о пуассоновском распределении потока. Для этого вычислим теоретическую частоту событий, равную вероятности поступления m требований (приходов) в данном интервале времени определяется по формуле (1). Поскольку период одного наблюдения t = 15 мин., то Т = 15 х 0,572 = 8,58. По таблицам определяем е^-8,58 = 0,000188 и m! Числа 8,58^m находим для разных m = 0,1,2 ... 19 с помощью таблиц логарифмов. Произведя вычисления и умножив найденные значения теоретических частот на 100, получим четвертый столбец табл.1.

Таблица 1

Число приходов за 15 мин.	Наблюдаемое число приходов за 140 наблюдений	Наблюдаемая частота приходов, %	Теоретическая частота приходов, %

			0,02
			0,16
		0,71	0,69
		2,14	1,98
		5,72	4,25
		7,14	7,28

		12,15	12,8
		12,85	13,62
		12,15	13,1
		12,85	11,2
		7,85	8,73
		6,32	6,23
		4,28	4,12
		2,86	2,54
		1,43	1,44
		0,71	0,78
			0,29
			0,18
		0,71	0,09
Сумма		99,87	99,5

Проверку согласованности теоретического и статистического распределений осуществим по критерию «Хи-квадрат» на основании анализа расхождений между теоретическими вероятностями Р_i и наблюденными частотами Р_i^k. Мера расхождения обычно обозначается . В данном случае получим:

Входами в таблицах являются значения вероятности Р и число степени свободы r. Пользуясь таблицей, можно для каждого значения и числа степеней свободы r найти вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение. Если вероятность Р сравнительно велика, можно признать расхождения между теоретическим и статистическим распределениями несущественными и отнести их за счет случайных причин.

Число степеней свободы равно числу разрядов минус число независимых условий («связей»), наложенных на частоты Р_i^k.

В нашем примере таких независимых условий два, причем одним является требование , т.е. r =18. Для =6 и r =18 вероятность Р будет больше 0,99 и, таким образом, гипотезу о пуассоновском распределении потока заявок можно считать не противоречащей опытным данным.

Далее, проведя регистрацию длительности интервалов обслуживания - экспоненциальный с интенсивностью и m_t_об=1,25 мин. Так как оказалось, что , один кладовщик справиться с обслуживанием, однако будут иметь место случаи ожидания рабочими обслуживания (очередь), а кладовщики посетителей. Вероятность отсутствия очереди равна:

Сопоставив потери от простоя станков со стоимостью содержания 1,2, ... кладовщиков, можно найти оптимальную численность кладовщиков (по аналогии с расчетом численности механиков).

Выбор оптимального варианта структуры управления.1

Проанализируем процесс функционирования одного из структурных подразделений предприятия (объединения), например, отдела материально-технического снабжения. Допустим, что в отделе работает n штатных сотрудников, которые занимаются обслуживанием требований (заявок на поставку сырья, комплектующих изделий и т.д.), поступающие в отдел. Интенсивность поступления заявок на обслуживание и время обслуживания одной заявки являются случайными величинами. Для удобства анализа примем следующую дисциплину обслуживания: требование, поступившее в отдел, когда все работники заняты обслуживанием других, ранее поступивших заявок, теряется. В реальных условиях в подобных случаях к обслуживанию заявки (в зависимости от ее важности) привлекаются работники других служб предприятия (при необходимости может быть определено и число ожидающих заявок).

Процесс функционирования рассмотренного структурного подразделения предприятия может быть описан в терминах систем массового обслуживания с n идентичными приборами - каналами обслуживания и числом мест для ожидания, равным нулю.

Как показали приведенные на ряде заводов машиностроительной промышленности исследования, законы распределения промежутка времени обслуживания одной заявки в большинстве случаев могут быть приняты экспоненциальными (поток заявок пуассоновский). Причем, в зависимости от характера производства и размеров предприятия характеристики закона распределения изменяются в широких пределах.

Обозначим через интенсивность потока заявок. Поступившая в отдел заявка направляется для обслуживания к любому свободному сотруднику. Время ее обслуживания имеет функцию распределения и не зависит от сотрудника, к которому она направлена.

Используя модифицированные обозначения Кендалла, описанную систему можно классифицировать как

где М - экспоненциальное распределение времени поступления заявок;

- система с потерями.

Покажем на условных числовых параметрах возможность использования предложенной модели для анализа процесса функционирования звеньев аппарата управления и выбора оптимального, относительно принятого критерия, варианта структуры управления.

Пример 1. Пусть имеем предприятия А и В. На первом предприятии в отделе материально-технического снабжения работает 3 человека (n₁ = 3), на втором - 2 человека (n₂ = 2); интенсивность потока требований = 3 (заявки в день), = 2 (заявки в день); среднее время обслуживания одной заявки m_t_об = 2 дня ( ). Определим вероятность того, что поступившее требование получит отказ в обслуживании. Приведенная плотность потока заявок По формуле Эрланга для установившегося режима находим вероятность отказа в обслуживании (критерий качества функционирования системы).

Пример 2. Посмотрим, как изменится вероятность отказа в обслуживании заявки, если отделы снабжения обоих предприятий объединить в один отдел (при прежних условиях поступления и обслуживания заявок).