с учетом начального запаса
Эффекты дохода и замещения по Е. Слуцкому и Дж. Хиксу в коэффициентах эластичности
Используем уравнение бюджетной линии 
, в которое подставим объемы продуктов из оптимального набора потребителя 
. Тогда
(2.1)
Запишем частную производную функции спроса (2.1) по переменной 
. 
(2.2)
Индексы цен и объемов продуктов принимают значения 
Согласно лемме Шепарда 
. Подставим это равенство в выражение (2.2). Получим первую версию уравнения Слуцкого:
(в общем случае 
) (2.3)
так как 
и 
Продифференцируем утверждение леммы Шепарда по переменной 
, получим выражение 
. В связи с тем, что 
, имеем 
т.е.
В общем случае 
Это вторая версия уравнения Слуцкого.
Матрица из вторых частных производных 
называется матрицей Слуцкого. Все ее элементы по главной диагонали отрицательны 
Отрицательное значение 
означает с точки зрения функций спроса по Хиксу, что все продукты являются нормальными товарами.
Разделим обе стороны уравнения Слуцкого на 
и умножим на , получим 
. Преобразуем последнее слагаемое следующим образом: 
, получим уравнение:
(2.4)
в котором 
- перекрестная эластичность спроса (по Маршаллу) на 
-й продукт по цене 
-го продукта . Если 
, получим прямую (обычную) ценовую эластичность спроса (по Маршаллу) на -й продукт по цене ; 
- перекрестная эластичность спроса по Хиксу на -й продукт по цене -го продукта . Если , получим прямую (обычную) ценовую эластичность спроса (по Хиксу) на -й продукт по цене ; 
- эластичность спроса по доходу;
- доля дохода потребителя, который он тратит на покупку -го продукта.
В коэффициенте 
отражается прямая зависимость ценовой эластичности спроса по Маршаллу от соотношения 
, от степени удовлетворения потребностей. Если цена высокая, то многие потребители не имеют возможности приобрести благо в желаемом количестве и объем покупок невелик, а потребность в товаре не насыщена. Поэтому даже небольшое снижение цены вызывает большое увеличение спроса, коэффициент высок. И наоборот. Когда цена низкая, объем покупок велик, большинство потребителей удовлетворяют свою потребность в продукте. Поэтому снижение цены вызывает незначительное изменение спроса на товар и коэффициент эластичности низкий.
Эластичность спроса по доходу находится в обратной зависимости от степени насыщения потребности в товаре. По необходимым благам степень насыщения потребности высока, поэтому с ростом дохода потребление таких товаров увеличивается незначительно, доход растет относительно быстрее, чем их потребление. Поэтому коэффициент эластичности по доходу 
. Потребность значительной части населения в высококачественных дорогих товарах удовлетворяется в небольшой степени, поэтому значительная часть прироста дохода используется на приобретение таких товаров. Поэтому, 
.
Таким образом, уравнение Слуцкого может быть представлено в эластичностях:
. (2.5)
Используем коэффициент ценовой эластичности спроса в решении одной из практических задач, которую нередко решают предприниматели. Валовой доход продавцов (выручка) равна 
.Так как объем продаж или величина спроса зависит от цены товара, то 
. Продифференцируем функцию валового дохода по цене продукта, выполним преобразования и получим 
. Так как 
, то 
. Принимая во внимание, что объем спроса всегда положителен или равен нулю, а ценовая эластичность спроса для нормальных товаров величина отрицательная, то
. (2.6).
Если 
, то выражение (2.6) будет отрицательным. Это означает, что цена и валовой доход изменяются в разных направлениях: если цена снижается, то валовой доход растет; если цена повышается, то доход уменьшается. Если 
, то выражение (2.6) будет положительным. В таком случае, если цена снижается, то валовой доход уменьшается; если цена растет, то доход увеличивается.
Валовой доход изменяется не только при изменении цены товара, но и изменении объема продаж. Проанализируем изменение валового дохода в случае изменения объемов продаж. Запишем обратную функцию спроса 
. Для этого продифференцируем выражение 
, выполним преобразования и получим 
. Предлагаем студенту магистратуры самостоятельно проанализировать, как изменяется валовой доход производителя при постоянной цене товара и изменяющемся объеме продаж.
Теоретические выводы анализа влияния изменения цены товара и объема продаж на изменение валового дохода фирмы при существующем значении ценовой эластичности спроса можно применять в решении соответствующей практической задачи в рамках дискретного анализа. Для этого используют значения всех параметров на дуге: 
. Фирмы располагают первичным фактическим материалом, позволяющим выполнить соответствующие расчеты.
2.2. Выбор потребителя при наличии начального запаса
До вступления на рынок потребитель имеет начальный запас двух товаров 
. Он или продает товары или покупает их и возвращается с рынка с валовым спросом 
. Общий (валовой) спрос потребителя определяется количеством товара, которое будет потреблено в итоге. Чистый спрос равен валовому спросу без начального запаса. Чистый спрос на товар 
равен 
, на товар 
составляет 
Величина валового спроса обычно положительная величина.
Чистый спрос может быть величиной и положительной и отрицательной. Если чистый спрос отрицателен, то потребитель выступает в роли продавца на рынке. В результате потребитель потребляет товара в меньшем количестве, чем его начальный запас. Если чистый спрос положительная величина, то потребитель покупает на рынке товары и добавляет их к начальному запасу. В таком случае потребитель выступает на рынке в качестве покупателя. Нередко потребитель один (одни) товар (ры) покупает, другой (ие) товар (ры) продает.
В теории спроса и предложения имеется в виду чистый спрос, но в экономическом анализе исследуется валовой спрос.
Если потребитель располагает только начальным запасом, его рыночная стоимость равна 
. Если цены заданы рынком и известна стоимость начального запаса, то, следовательно, известен и доход потребителя. Если один товар продается, а другой покупается, то рыночная стоимость товаров, соответствующих валовому спросу, равна стоимости начального запаса 
. Если 
, то потребитель является чистым покупателем и валовой спрос больше начального запаса 
. Если 
, то 
и экономический субъект является чистым продавцом – поставщиком товара.
Наборы и находятся на одной и той же бюджетной линии, имеющей наклон 
. Поэтому 
. Набор начального запаса всегда доступен потребителю. Уравнение данной бюджетной линии можно выразить через валовой и чистый спрос 
. Это означает, что потребитель продал 
товара и купил 
товара . Набор 
, представленный начальным запасом, находится на более низкой кривой безразличия, а набор 
, представляющий валовой спрос, находится на самой высокой кривой безразличия. Оптимальным набором является набор . Потребитель является чистым продавцом товара и чистым покупателем товара . Таким образом, потребитель решает, быть ему покупателем или продавцом, в зависимости от относительных цен товаров.
Рассмотрим, как изменяется оптимальное положение потребителя с изменением начального запаса при неизменных ценах на продукты. Допустим, начальный запас изменяется с 
до 
так, что 
. Неравенство означает, что новый набор стоит меньше старого, И если потребитель продаст свой новый набор, то его денежный доход станет меньше. Бюджетная линия сдвигается к началу координат.
Но если начальный запас изменяется так, что 
, то новое бюджетное множество содержит в себе старое и бюджетная линия сдвигается в направлении от начала координат. Набор большей стоимости принесет потребителю больший доход, поэтому он является предпочитаемым.
В действительности при наличии начального запаса и изменяющихся ценах денежный доход потребителя изменяется. Точка отмечает начальный запас (рис 2. 1). Но исходным оптимальным потребительским набором является набор , так как он находится на более высокой кривой безразличия.
После снижения цены товара (рис 2.2), набор начального запаса остается доступным, поэтому бюджетная линия поворачивается вокруг начального запаса, отмечая снижение цены товара . Новый потребительский набор отмечается точкой 
. Он находится внутри исходного бюджетного множества, поэтому хуже исходного потребительского набора и его потребитель мог бы выбрать до изменения цены. В рассматриваемой ситуации потребитель остается продавцом и его доход снижается.
Если потребитель остается чистым покупателем товара и цена товара повышается (рис. 2.3), то его благосостояние ухудшится. Но если с ростом цены потребитель станет продавцом, то его благосостояние может и повысится и понизится.
При повышении цены товара потребитель купит больше этого товара или меньше зависит от его вкусов. Поэтому точка (рис. 2.3) может оказаться на новой бюджетной линии выше точки , и тогда благосостояние потребителя повысится.
При прочих равных условиях при снижении цены товара потребитель остается покупателем, при росте цены – продавцом.
Уравнение Слуцкогос учетом начального запаса.
До сих пор поведение потребителя рассматривалось при условии неизменного номинального дохода и изменяющихся ценах на товары. При изменении цены одного из товаров и неизменяющейся цене другого товара в общей величине изменения спроса на товар были выделены эффект замещения и эффект дохода. Но при изменении цены происходит изменение стоимости начального запаса и, следовательно, номинального дохода потребителя. Эффект дохода был вызван изменением покупательной способности потребителя при изменении цены одного из товаров: при снижении цены товара покупательная способность потребителя повышалась, при росте цены – понижалась. Но при наличии начального запаса покупательная способность потребителя изменяется по двум причинам.
Первая причина учтена в уравнении Слуцкого
(2.7)
Если цена снижается, то можно купить столько же товара, что и раньше, но при этом у потребителя высвободится часть дохода, появятся «лишние деньги». На высвободившуюся часть дохода можно увеличить покупки как подешевевшего товара, так и другого товара. Такой эффект 
называют обычным эффектом дохода.
Вторая причина состоит в том, что изменение цены товара вызывает изменение стоимости начального набора и денежного дохода потребителя. При снижении цены товара , если потребитель является чистым продавцом, то при продаже начального запаса выручка, т.е. денежный доход, сократится; при повышении цены товара , после продажи начального запаса денежный доход потребителя увеличится. Эффект дохода, вызванный влиянием изменения цен на стоимость начального запаса, т.е. на денежный доход потребителя, называют эффектом дохода, обусловленного изменением стоимости начального запаса, или просто эффектом начального запаса.
Таким образом, в правой стороне уравнения Слуцкого (2.7) необходимо учесть эффект начального запаса, добавить эффект начального запаса.
Запишем уравнение Слуцкого – изменение спроса на товар при изменении цены этого же товара 
.До сих пор начальный запас был представлен набором 
. Величина эффекта начального запаса зависит от двух факторов: от того, насколько изменится стоимость начального запаса, т.е. доход потребителя; и от того, насколько изменится спрос на товар при таком изменении дохода потребителя. Изменение стоимости начального запаса при изменении цены товара определим на основе функции начального дохода 
, продифференцировав ее по цене. Тогда получим 
. Изменение спроса, вызванное изменением дохода, равно 
В результате эффект начального запаса равен 
, а уравнение Слуцкого принимает вид: 
или для перекрестных эффектов:
(2.8)
Знак совокупного эффекта дохода будет зависеть от того, является ли потребитель чистым покупателем или чистым продавцом рассматриваемого товара.
Заключение по разделу
В разделе решена неоклассическая задача потребления методом Лагранжа, выведены необходимое и достаточное условия оптимального положения потребителя в экономике;
исследованы условия, отражающие характер приобретаемых потребителем товаров;
проанализированы предельная полезность по доходу и предельная полезность по цене продукта;
выявлены зависимости между степенью роста дохода и повышением уровня полезности набора потребителя;
решена задача минимизации расходов потребителя при постоянном уровне полезности методом Лагранжа;
выведена функция компенсированного спроса по Хиксу.
Проанализировав предельный расход по полезности и предельный расход по цене продукта, выявлена зависимость между размером повышения расходов потребителя и повышением уровня полезности набора.
Проанализировав особенности потребительского выбора с учетом начального запаса, выведено уравнение Слуцкого, в том числе в коэффициентах эластичности и с учетом начального запаса.
Теоретические вопросы раздела позволяют дать ответы на контрольные вопросы и решить задания рубежного контроля.
Проектное задание: на основе лекций преподавателя и рекомендуемой литературы определить содержание предмета микроэкономики, границы и задачи продвинутого курса, определить место теории потребительского поведения в рамках всего курса микроэкономики, а также использовать математический анализ в аналитической интерпретации зависимостей, характеризующих поведение потребителя на рынке.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу максимизации функции полезности потребителя при бюджетном ограничении.
2. Назовите условие задачи минимизации расходов потребителя при фиксированном уровне полезности и сформулируйте ее в обобщенном виде.
3. Дайте экономическую интерпретацию метода Лагранжа, применяемого в решении задачи максимизации функции полезности потребителя при бюджетном ограничении.
4. Выведите функцию спроса по Маршаллу на продукт со стороны потребителя и охарактеризуйте свойства этой функции.
5. Что собой представляет косвенная функция полезности, и каковы ее свойства?
6. Определите предельную полезность по цене продукта (тождество Роя) и ее экономический смысл.
7. Объясните необходимость использования метода Лагранжа в решении задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности.
8. Запишите и поясните свойства функции спроса по Хиксу на продукт со стороны потребителя и функции его расходов.
9. Чему равен предельный расход по полезности?
10. Сформулируйте лемму Шепарда – определение предельного расхода по цене продукта.
11. Обоснуйте первую и вторую версию уравнений Слуцкого.
12. В чем состоит различие подходов Е. Слуцкого и Дж. Хикса в разграничении эффекта дохода и эффекта замещения?
13. Объясните, почему с увеличением потребления нормального товара увеличивается общий эффект изменения цены.
14. Объясните, почему в случае товаров низшей категории маршаллианская кривая спроса имеет больший по абсолютной величине наклон, чем кривая компенсированного спроса.
15. Выведите уравнения Слуцкого в коэффициентах эластичности.
16. Имеет место эффект начального запаса. В каком случае общий эффект изменения цены будет меньше эффекта замещения?
Задание рубежного контроля
1. Задана функция полезности потребителя 
. Доход равен 
руб., цены товаров 
руб. Цена товара снизилась до 
руб. Определите
- как изменилась величина спроса на товар за счет эффекта дохода и эффекта замещения по Е. Слуцкому и по Дж. Хиксу?
- определите перекрестный эффект дохода и замещения на товар по цене товара по Е. Слуцкому и по Дж. Хиксу. Являются ли товары и общими субститутами, чистыми субститутами, общими комплементами, чистыми комплементами или независимыми благами?
2. Спрос потребителя на некий товар задан функцией 
, где доход потребителя 
руб., цена товара 
руб. Как изменится величина спроса, если цена вырастет до 30 руб.? Как изменится величина спроса за счет эффекта дохода и за счет эффекта замещения по Е. Слуцкому?
3. Условия задачи таковы: функция полезности потребителя 
, доход 
руб., цена 
руб., цена 
руб.
Необходимо определить
- как изменится спрос на товар , если его цена вырастет до 10 руб. Как изменится спрос на этот товар за счет эффекта замещения и за счет эффекта дохода? Как изменится при этом общий спрос на товар , а также перекрестный эффект замещения и эффект дохода? На все вопросы дайте ответ с позиций Е. Слуцкого и Дж. Хикса.
4. Малое предприятие производит 6000 изделий в месяц. Его спрос на товар для собственного потребления задан функцией 
. Определите общий эффект изменения цены, эффект замещения, дохода и начального запаса, если цена изделия выросла с 10 до 12 руб.
5. Функция полезности потребителя имеет вид 
. Цены продуктов равны 
, доход потребителя 
:
- найдите методом Лагранжа локальное рыночное равновесие потребителя 
и множитель Лагранжа 
;
- постройте точку на плоскости в системе двух координат;
- запишите уравнение и постройте, используя не менее трех точек, линию безразличия, содержащую точку ;
- запишите уравнение и постройте бюджетную линию;
- дайте экономическую интерпретацию множителя Лагранжа.
6. Функция полезности потребителя имеет вид 
, цены продуктов 
, уровень полезности 
:
- найдите методом Лагранжа потребительский набор , который минимизирует функцию расходов потребителя, а также множитель Лагранжа ;
- запишите уравнение и постройте. Используя не менее трех точек, линию безразличия потребителя, содержащую точку ;
- запишите уравнение и постройте линию минимального расхода;
- постройте вектор цен, выходящий из точки ;
- дайте геометрическую интерпретацию множителю Лагранжа .
6. Функция полезности потребителя имеет вид 
. Определите эластичность по цене 
максимума функции полезности 
при заданном бюджетном ограничении 
.
7. Функция полезности потребителя имеет вид 
, цены на продукты соответственно равны 
, доход равен 
:
- запишите функции спроса по Маршаллу на первый и второй продукты;
-запишите косвенную функцию полезности.
8. Функция полезности потребителя имеет вид 
, цены на продукты соответственно равны , уровень полезности равен :
- запишите функции спроса по Хиксу на первый и второй продукты;
-запишите функцию расходов.
9. Косвенная функция полезности имеет вид 
. Запишите функцию спроса по маршалу на второй продукт 
.
10. Обоснуйте правильный ответ.
- предельный расход по цене -го продукта 
:
- равен множителю Лагранжа задачи минимизации расходов при фиксированном уровне полезности;
- пропорционален предельному расходу по полезности;
- равен предельному расходу по полезности;
- равен величине 
спроса по Хиксу на -ый продукт.
11. Функция расходов 
как функция цен на продукты и максимального уровня полезности:
- однородна нулевой степени относительно вектора цен 
;
- однородна первой степени относительно вектора цен ;
-однородна нулевой степени относительно всех переменных 
;
- не имеет однозначной характеристики относительно вектора цен .
12. 
- предельная полезность косвенной функции полезности по цене -го продукта :
- равна значению 
функции спроса по Маршаллу на -й продукт;
- пропорциональна значению ;
-равна значению функции спроса по Хиксу на -й продукт;
- пропорциональна значению функции спроса по Хиксу на -й продукт;
- все ответы не верны.
13. Косвенная функция полезности 
:
- однородна нулевой степени относительно вектора цен на продукты при фиксированном доходе;
- однородна первой степени относительно вектора цен на продукты при фиксированном доходе;
- однородна нулевой степени по всем переменным 
- однородна первой степени по всем переменным
- все ответы не верны.
14. Функция спроса линейна. Определите координаты точки, в которой ценовая эластичность спроса равна 1. Выделите отрезок линии спроса, где спрос эластичный.
15. Как зависит ценовая эластичность спроса от доли товара в расходах потребителя? Дайте математическое обоснование этой зависимости на основе уравнения Слуцкого в коэффициентах эластичности.
16. Используя уравнение Слуцкого, покажите, что чем больше доля товара в расходе потребителя, тем выше при прочих равных условиях перекрестная эластичность.
17. Если чистый спрос потребителя равен (5,-3), а его начальный запас (4,4), то каков его валовой спрос?
18. Заданы цены 
, и потребитель потребляет 
. Товары реализуются и покупаются на совершенно конкурентном рынке. Можно ли утверждать, что потребитель предпочтет набор 
?
19. Заданы цены товаров , и потребитель потребляет . Цены изменяются до (2,4). Может ли при новых ценах повыситься благосостояние потребителя?
Литература
1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963.
2. Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т. 1. / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа . 2000.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 2001.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002.
5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М.: УРАО. 1998.
6. Самуэльсон П. А. Основания экономического анализа. СПб.: 2002.
7. Теория потребительского поведения и спроса. Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа. 1993.
8. Хикс Джон Р. Стоимость и капитал. М.: Издательская группа «Прогресс», 1993.
9. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005.
10. Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008.