Математические модели в процедурах анализа на макроуровне
Исходные уравнения моделей
Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитические решения таких систем при типичныхзначениях их порядковвпрактическихзадачахполучитьнеудается,поэтомувСАПР преимущественноиспользуютсяалгоритмическиемодели. В этом параграфе изложен обобщенныйподходк формированию алгоритмическихмоделей на макроуровне, справедливый для большинства приложений.
Исходнымидляформированияматематическихмоделейобъектовна макроуровне являются компонентные и топологическиеуравнения.
Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов(компонентов),другимисловами,это уравненияматематических моделей элементов(ММЭ).
Топологические уравненияописываютвзаимосвязи в составемоделируемойсистемы.
Всовокупностикомпонентныеи топологическиеуравнения конкретной физической системы представляютсобой исходную математическую модель системы (ММС).
Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системахразличной физической природы отражают разные физические свойства, но могут иметьодинаковый формальныйвид. Одинаковая форма записиматематических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических по- ступательных,механическихвращательных,электрических,гидравлических (пневматических), тепловыхобъектов. Наличие аналогий приводит к практическиважномувыводу: значительнаячастьалгоритмовформированияи исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может бытьпримененаканализупроектируемыхобъектоввразныхпредметныхобластях. Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно при анализе систем, состоящихиз физически разнородныхподсистем.
В перечисленныхвыше приложениях компонентные уравнения имеют вид
Fk (dV/dt,V,t) =0, (3.1)
топологические уравнения —
Fτ(V)= 0, (3.2)
где V = (v1,, v2, ..., vn ) — вектор фазовых переменных;t — время.
Фазовая переменная – величина, характеризующая энергетическое или информационное наполнение элемента или системы.
Различаютфазовые переменныедвухтипов, ихобобщенныенаименования — фазовые переменныетипа потенциала (например, электрическое напряжение) и типа потока (например, электрический ток). Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимисяк одномукомпоненту (например, законОмаописываетсвязь между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение — связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.
Модели можно представлятьв виде систем уравнений или в графической форме, если междуэтими формами установленовзаимно однозначное соответствие.Вкачествеграфическойформы частоиспользуютэквивалентные схемы.
Примеры компонентных и топологических уравнений
Рассмотрим несколько типовсистем.
Электрические системы.Вэлектрическихсистемахфазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами систем могутбытьпростыедвухполюсные элементыи более сложные двух-и многополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующие элементы:сопротивление,емкостьииндуктивность, характеризуемыеодноименными параметрами R, С, L. В эквивалентных схемах эти элементы обозначают в соответствиис рис. 3.2,а.
Компонентные уравнения простых двухполюсников:
для сопротивления и = iR (закон Ома); (3.3)
для емкости i = Cdu/dt;(3.4)
для индуктивности и = Ldi/dt, (3.5)
где u — напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике);i — ток.
Эти модели лежат в основе моделей других возможных более сложных ком понентов.Большая сложностьможет определятьсянелинейностьюуравнений (3.3) — (3.5) (т. е. зависимостью R, С, Lот фазовых переменных),илиучетом зависимостей параметровR, С, Lот температуры,или наличиемболеедвух полюсов. Однако многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных простых элементов.
Примеромматематическоймоделисложногокомпонента можетслужитьмодель транзистора.На рис.3.3 представлена эквивалентная схема биполярного транзистора, на которой зависимые от напряжений источники тока iэд = iтэехр(uэ/(mφт)) и iкд = iткехр(uк/(mφт))отображают статические вольт-амперные характеристики p – n переходов;
iтэ и iтк — тепловые токи переходов;
mφт — температурныйпотенциал;
uэи uк — напряжения на эмиттерном и коллекторном переходах;
Сэи Ск— емкости переходов;
Rуэи Rук — сопротивления утечки переходов,
Rби Rк— объемныесопротивления тел базы и коллектора;
iг = B iэд- Ви iкд—источник тока, моделирующий усилительныесвойства транзистора;
Ви Ви — прямой и инверсный коэффициенты усиления тока базы.
Здесь uэ, uк, iэд, iкд, iг — фазовые переменные, а остальные величины — параметры модели транзистора.
Механические системы.Фазовыми переменными вмеханическихпоступательныхсистемахявляются силы и скорости. Используютодну из двух возможных электромеханических аналогий. В дальнейшем будем использовать ту из них, в которой скорость относят к фазовым переменным типапотенциала, а силу считают фазовойпеременной типа потока. Учитывая формальный характер подобныханалогий, в равной мере можно применять и противоположную терминологию.
Компонентное уравнение,характеризующееинерционные свойства тел, в силу второго закона Ньютонаимеет вид
F= Mdu/dt, (3.8)
где F — сила; М—масса; и — поступательная скорость.
Упругиесвойствателописываютсякомпонентным уравнением, которое можнополучитьиз уравнениязакона Гука. Водномерном случае(если рассматриваются продольные деформации упругого стержня)
G = Eε, (3.9)
гдеG — механическоенапряжение; Е — модульупругости;ε = Δl/l— относительная деформация; Δl — изменение длины l упругого тела под воздействием G.
Учитывая, что G = F/S,где F— сила, S—площадь поперечного сечения тела, и дифференцируя (3.9), имеем
dF/dt = (SE/l)d(Δl)/dt
или
dF/dt = gu, (3.10)
где g = SE/l — жесткость, и = d(Δl)/dt — скорость.
В механических вращательных системах справедливы компонентные и топологические уравнения поступательныхсистем с заменой поступательныхскоростей на угловые, сил —на вращательные моменты, масс — на моменты инерции,жесткостей — на вращательные жесткости.
Условные обозначения простых элементов механической системы показаны на рис. 3.2,б.
Нетрудно заметитьналичиеаналогиймеждуэлектрической и механической системами. Так, токам и напряжениям в первой из них соответствуют силы (либо моменты) и скорости механической системы, компонентным уравнениям (3.4) и (3.5) и фигурирующим в них параметрам С и L,—уравнения (3.8) и (3.10) и параметры Mи LM очевидна аналогия и между топологическими уравнениями.
Представление топологических уравнений
Известенряд методовформирования ММС на макроуровне. Получаемые с ихпомощьюмоделиразличаютсяориентациейна теили иныечисленные методы решения и набором базисных переменных,т. е. фазовыхпеременных, остающихся в уравненияхитоговой ММС.Общейдля всех методовявляется исходная совокупность топологических и компонентных уравнений (3. 1) и (3.2).
При записитопологических уравненийудобно использоватьпромежуточную графическуюформу — представлениемодели в виде эквивалентнойсхемы, состоящей из двухполюсныхэлементов. Общность подхода при этом сохраняется, так как любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой из двухполюсников.В свою очередь, эквивалентнуюсхемуможно рассматривать как направленный граф, дуги которого соответствуютветвям схемы. Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальноенаправление при моделировании окажется противоположным, то это приведетлишь к отрицательнымчисленнымзначениям потока).
Примернекоторой простойэквивалентнойсхемыисоответствующегоей графа приведен на рис. 3.6. Для конкретности и простоты изложения на рисунке использованы условныеобозначения, характерныедляэлектрическихэквивалентныхсхем, по той же причине далее в этом параграфе частоприменяетсяэлектрическаятерминология.Очевидно,чтопоясненныевышеаналогии позволяют при необходимости легко перейти к обозначениям и терминам, привычным для механиков.
Для получения топологическихуравнений все ветви эквивалентной схемы разделяютнаподмножествахорд иветвей дерева.Имеетсяввидупокрывающее (фундаментальное) дерево, т. е. подмножество из ß - 1 дуг, не образующее ни одного замкнутого контура, где ß —число вершин графа (узлов эквивалентной схемы). На рис. 3.6, б показан граф эквивалентной схемы, приведенной на рис. 3.6, а, утолщенными линиями выделено одно из возможных покрывающих деревьев.
Выбордереваоднозначноопределяетвекторынапряжений Uxи токовIxхорд, напряжений Uвди токов Iвд ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в виде
Ux + МUвд = 0; (3.13)
Iвд - МTIx= 0, (3.14)
где М — матрица контуров и сечений; МT — транспонированная М-матрица.
В М-матрице число строк соответствует числу хорд, число столбцов равно числу ветвей дерева. М-матрица формируется следующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Если при подключении к дереву р-й хорды q-я ветвь входит в образовавшийся контур, то элемент матрицы Мм = +1 при совпадении направлений ветви и подключенной хорды, Мм = -1 при несовпадении направлений. В противном случае Мм = 0.
Для схемы на рис. 3.6 М-матрица представлена в виде табл. 3.1
|
Лекция 6
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ АНАЛОГОВЫХ УСТРОЙСТВ
На функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качестве элементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами на макроуровне. Поэтому необходимо упростить представление моделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне. Другими словами, вместо полных моделей узлов и блоков нужно использовать их макромодели.
Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логического уровня фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами.
Физический смысл сигнала, т. е. его отнесение к фазовым переменным типа потока или типа потенциала, конкретизируют в каждом случае исходя из особенностей задачи.
Основой моделирования аналоговых устройств на функционально-логическом уровне является использование аппарата передаточных функций. При этом модель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход, т. е. в виде
Vвых = f (Vвх)
где Vвых и Vвх - сигналы на выходе и входе узла соответственно. Если узел имеет более чем один вход и один выход, то скаляры Vвых и Vвх становятся векторами. Однако известно, что подобное представление модели возможно, только если узел является безынерционным, т. е. в полной модели узла не фигурируют производные. Следовательно, для получения данного выражения в общем случае требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизацию выполняют с помощью интегральных преобразований, например с помощью преобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной р. Тогда в моделях такого типа имеют место не оригиналы, а изображения сигналов Vвых(р)и Vвх(р), сами же модели реальных блоков стараются по возможности максимально упростить и представить моделями типовых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных библиотечных моделей. Обычно модели звеньев имеют вид
Vвых(р)= h (p) Vвх(р),
где h (p) - передаточная функция звена.
В случае применения преобразования Лапласа появляются ограничения на использование нелинейных моделей, а именно в моделях не должно быть нелинейных инерционных элементов.
Другое упрощающее допущение при моделировании нафункционально-логическом уровне — неучет влияния нагрузки на характеристики блоков. Действительно, подключение к выходу блока некоторого другого узла не влияет на модель блока.
Собственно получение математической модели системы (ММС) из математических моделей элементов (ММЭ) оказывается вследствие принятых допущений значительно проще, чем на макроуровне: ММС есть совокупность ММЭ, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходах элементов. Эта ММС представляет собой систему алгебраических уравнений.
Получение ММС проиллюстрируем простым примером (см. рис.), где показана система из трех блоков с передаточными функциями h1(p), h2(p) и h3(p).ММС имеет вид
V2 = h1(p)V1 ;
Vвых = h2(p)V2 ;
V1 = Vвх(p) = h3(p)Vвых ;
или
Vвых = H(p)Vвх(p) ;
где H(p) = h1(p)h2(p)/ (1 - h1(p)h2(p) h3(p) )
Пример схемы из трех блоков