T-S-диаграмма. Доказательство теоремы Карно
Из определения энтропии (8.41) следует
.
Проинтегрировав это выражение, можно найти количество теплоты 
, полученной системой при переходе из состояния с энтропией, равной S1, в состояние с энтропией S2:
. (8.51)
В соответствии с (8.51) количество теплоты 
можно найти как площадь под графиком функции 
в пределах от S1 до S2 (рис.8.12).
Используя T-S-диаграмму, можно доказать теорему Карно. Первая часть теоремы Карно гласит:
1) КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и охладителя:
. (8.38)
Доказательство:
На рис.8.13 изображён цикл Карно в осях T-S. Процесс 1→2 – это изотермическое расширение при температуре T1 нагревателя (энтропия при расширении возрастает); 3→4 – это изотермическое сжатие при температуре T2 охладителя (энтропия уменьшается). Процесс 2→3 – это адиабатическое расширение (температура при этом понижается), 4→1 – адиабатическое сжатие (температура повышается). КПД теплового двигателя равен
, (8.37)
где Q1 – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, Q2 – количество теплоты, отданной рабочим телом охладителю. Пользуясь свойством T-S-диаграммы, из графика рис.8.13 определим Q1 – это площадь под отрезком 1-2 (горизонтальная штриховка):
. (8.52)
Аналогично, Q2 – это площадь под отрезком 3-4 (вертикальная штриховка):
. (8.53)
Тогда получим:
.
Вторая часть теоремы Карно:
2) КПД любого обратимого цикла не больше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:
. (8.54)
Доказательство:
Рассмотрим произвольный обратимый цикл abcda (рис.8.14) с температурами нагревателя и холодильника Т1 и Т2 соответственно. На T-S-диаграмме опишем цикл Карно 12341 как прямоугольник вокруг обратимого цикла. КПД обратимого цикла
,
где Q1 – количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя, равно площади под кривой abc и не больше площади под изотермой 1→2 цикла Карно:
.
Q2 – количество теплоты, отданной рабочим телом нагревателю, равно площади под кривой adc и не меньше площади под изотермой 3→4 цикла Карно:
.
Тогда получим:
.
Третья часть теоремы Карно:
3) КПД любого необратимого цикла меньше КПД цикла Карно с теми же температурами нагревателя и охладителя:
. (8.40)
Доказательство:
Рассмотрим необратимый цикл с температурами Т1 и Т2 нагревателя и холодильника соответственно. Из-за необратимости максимальная температура рабочего тела Т1Р.Т. будет меньше Т1, а минимальная Т2Р.Т. – больше Т2:
, 
.
Тогда
.
Свободная энергия
Из второго начала термодинамики вытекает, что не вся внутренняя энергия нагретого тела может быть превращена в эквивалентную ей работу; иначе можно было бы создать тепловую машину с КПД, равным 100%.
Определим свободную энергию F как часть внутренней энергии, которую можно превратить в работу в изотермическом процессе:
. (8.55)
Свободная энергия является функцией состояния системы.
Найдём приращение свободной энергии из (8.55):
. (8.56)
Из (8.41) 
, тогда
. (8.57)
По первому началу термодинамики 
, тогда из (22) получим:
. (8.58)
В изотермическом процессе dT=0, и
, (8.59)
то есть работа совершается за счёт убыли свободной энергии. Физический смысл свободной энергии можно сформулировать так: работа, совершаемая системой в обратимом изотермическом процессе, равна убыли свободной энергии системы.
Произведение 
в (8.55) можно назвать «связанной» энергией, так как её нельзя превратить в работу.
Энтальпия
По определению, энтальпией H называется функция состояния, равная:
. (8.60)
При постоянном давлении
. (8.61)
Отсюда можно сформулировать физический смысл энтальпии: изменение энтальпии системы при постоянном давлении равно количеству теплоты, сообщённому системе.
Поэтому энтальпию также называют теплосодержанием.