Встановлення величини поправки за кривизну Землі

При вивченні фігури Землі встановлено, що вона в наближеному варіанті має геометричну форму сфери. Виникає питання, а яку ділянку рівневої поверхні Землі з необхідною точністю для практичних робіт можна вважати площиною?

Розглянемо частину рівневої поверхні Землі, яка приймається за сферу радіусом R (рис. 7).

На рис. 7 довжина дуги сфери А1 і B1 позначена через s. В точках А1 і B1 проведені радіуси R сфери, які мають продовження до дотичної в точках А і В, АВ = d. Знайдемо, чому дорівнює похибка від заміни дуги s відрізком дотичної d. Різницю між довжиною дотичної d і дугою обчислюють за формулою

Рис.7. Частина сфери

Оскільки дуга s опирається на центральний кут ф, то

(2)

тоді

(3)

Величину tg—розкладемо в ряд і зупинимося на другому члені, тобто

де ф - центральний кут виражений в радіанній мірі, який обчислюється за формулою

а тому формула (4) прийме вид

Підставляючи (6) в (3), отримаємо

Аналізуючи формулу (7) приходимо до висновку, що дотична d довша за дугу s.

Знайдемо відносну похибку різниці Ad за формулою

Якщо прийняти R=6371,ll km та надати різні значення s, то можна обчислити величини за формулами (7) і (8). Результати обчислень представимо в табл.1.

Таблиця 1

Результати абсолютних і відносних похибок при заміні дуги s відрізком дотичної d

S, km	Ad, cm	Ad	S, km	Ad,	Ad

s	cm	s
	0,21	1:4 870 000			1:195 000
	1,64	1:1 218 000			1:49 000
	5,55	1:541 000			1:12 200
	13,1	1:30 400			1:5 410

Аналізуючи результати табл.1 можна зробити наступні висновки.

Сучасний рівень техніки геодезичних вимірювань довжин ліній 10 - 20 km характеризує найвищу точність відносної похибки, біля 1:1000 000.

Дугу сферичної поверхні Землі довжиною s = 20 km можна замінити дотичною d тому, що відносна похибка різниці дуги і дотичної менша (1:1 218 000) сучасних технічних можливостей вимірювань (1:1 000 000).

3. Ділянку рівневої поверхні Землі діаметром 20 км, або площею 300 - 320 км2, можна прийняти за площину з незначною похибкою, а кривизною поверхні Землі в цих границях можна нехтувати.

Розглянемо вплив кривизни Землі на вертикальне положення точки. На рис. 8 приведений фрагмент сфери, на якій s - дуга сфери, t - дотична в точці А до сфери та Ah похибка впливу кривизни Землі на вертикальне положення точки В.

Розглядаючи рис. 8, на основі теореми Піфагора можна записати

звідки

(10)

Якщо замість t підставити s, то величину Ah обчислюють за формулою

(11)

Рис. 8. Вплив кривизни Землі на вертикальне положення точки

Враховуючи те, що одиниця значно менша величини 2R, то кінцеве значення Ah можна записати

За формулою (12) виконаємо розрахунки, а результати приведемо в табл.2.

Таблиця 2

Вплив кривизни Землі на висоту точки

s, km	Ah, m	s, km	Ah, m	s, km	Ah, m
	0,0785		7,85		196,1981
	1,9619		31,3917		784,7926

Аналізуючи табл. 2 можна зробити наступний висновок. Похибкою за вплив кривизни Землі на вертикальне положення точки нехтувати не слід тому, що висоти обчислюють з точністю до

0,1 mm.