Задача распределения средств на 1 год

 

Пример: имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить наибольшую прибыль. Пусть начальный капитал S0=100 д.ед.Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по каждому предприятию.

 

Х 1 предприятие f (х1) 2 предприятие f (х2) 3 предприятие f (х3) 4 предприятие f (х4)

Решение:

Схема решения:

 

 

4 предприятия Условная оптимизация

денег всего S0=80

 

 

So____Iпр____S1____IIпр_____S2____IIIпр____S3____IVпр________S4

1шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг

х1 х2 х3 х4

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)

 

F4=max{f(x4)}


Безусловная F3=max{ f(x3)+F4}

Оптимизация F2=max{ f(x2)+F3}

 

F1=max{ f(x1)+F2}

 

Используется принцип Беллмана:

 

Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление , выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом.

 

 

математическая модель прямой задачи:

 

Экономический смысл переменных:

 

xi количество денег, вкладываемых в i предприятие.

Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);

F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;

S0 – начальный капитал.

 

 

Рассмотрим 4-й шаг:

На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения денег можно получить следующую.

 

S3 Х4 f (x4) F4

Рассмотрим 3-й шаг:

На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую возможность. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и наоборот. Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);

60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).

 

Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага

 

Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.

 

Вклад Проект Остаток Прибыль из матрицы Прибыль за шаг   Прибыль на шаге
S2 Х3 S3 f (x3) F4 f+F F3

Рассмотрим 2-й шаг.

Вклад Проект Остаток Прибыль из матрицы Прибыль за шаг   Прибыль на шаге
S1 Х2 S2 f (x2) F3 f+F F2

 

Рассмотрим 1-й шаг.

Вклад Проект Остаток Прибыль из матрицы Прибыль за шаг   Прибыль на шаге
S1 Х2 S2 f (x2) F3 f+F F2

 

 

Анализ результатов:

 

Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:

 

1) 1 проект –0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект –60 д.ед., 4 проект –40 д.ед.

2) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект –0 д.ед., 4 проект –0 д.ед.

3) 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект –60 д.ед., 4 проект –20 д.ед.

4) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект –20 д.ед., 4 проект –20 д.ед.

5) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект –0 д.ед., 4 проект –40 д.ед.

 

 

6.4. Задача распределения средств на два года

Найти оптимальный способ распределения средств S0 = 100 тыс.руб между двумя предприятиями на два года, если вложенные средства в первое предприятие дают доход f1(x) = 0.9x и возвращаются в размере j1(x) = 0.5x. Аналогично, для второго предприятия f2(x) = 0.8x и j2(x) = 0.7x.

 

  1 предприятие 2 предприятие Всего
Средства в начале года 1 года х1 100-х1
Прибыль на первом году 0,9х1 0,8(100-х1) (0,9-0,8)х1+80
Возврат денег 0,5х1 0,7(100-х1) (0,5-0,7)х1+70 =70-0,2х1
Средства в начале 2 года х2 70-0,2х1- х2 70-0,2х1
Прибыль во втором году 0,9х2 0,8(70-0,2х1- х2) 56-0,16х1+0,1х2
Прибыль за два года 0,1х1+80+56-0,16х1+0,1х2=136-0,6х1+0,1х2

 

Отсюда можно сделать вывод о том, что х1=0, х2=70, максимальная прибыль за два года составит 143 ден. ед.

 

Контрольные вопросы:

1.Какие задачи решаются методом динамического программирования?

2.Что означает понятие «шаговое управление»?

3.Как определяются шаги при решении задачи ДП?

4.В чем суть принципа оптимальности Беллмана?

5.Каким образом проводится условная и безусловная оптимизация?

6.Как решить задачу распределения средств на 1 год?

7. Как решить задачу распределения средств на 2 года?

8.Анализ результатов решения задачи распределения средств на 1год и на 2 года?