Критерий Колмогорова – Смирнова

Назначение критерия. Критерий λ предназначен для сопоставления двух распределений: а). эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным; б). одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Ограничения критерия. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой, , ≥50.

Гипотезы:

: различия между двумя распределениями незначимы.

: различия между двумя распределениями значимы.

Алгоритм подсчета λ – критерия.

Составляем таблицу для удобства расчетов:

1. В первом столбце располагают эмпирические значения признака, упорядоченные по возрастанию.

2. Во втором столбце располагают эмпирические частоты для каждого значения, а в третьем столбце относительные эмпирические частоты для каждого значения, рассчитанные по формуле: f*_эмп_j = f_эмп_j / n, где f_эмп_j – эмпирическая частота из второго столбца, n – объем выборки.

3. Подсчитываем «накопленные» эмпирические частоты по формуле:

∑ f*_эмп_j = ∑ f*_эмп_j_-1+ f*_эмп_j ,

где ∑ f*_эмп_j_-1 – частота, накопленная на предыдущих значениях признака;

j – порядковый номер значения признака; f*_эмп_j – эмпирическая частота данного j разряда. Результаты помещают в 4 столбец.

4. В 5 столбце располагают накопленные теоретические частоты, если сравнивают с известным теоретическим распределением; если сравнивают 2 эмпирических распределения, то в 5 столбце располагают накопленные эмпирические частоты для выборки 2.

5. Подсчитывают разности между накопленными частотами и их абсолютные значения помещают в 6 столбец. Обозначим их d_j.

6. Определяют по 6 столбцу максимальное значение d_j → d_max.

7. Подсчитывают λ_эмп по формуле:

где n₁ – объем выборки 1, n₂ - объем выборки 2, если = = n, то .

8. По заданному уровню значимости из таблицы VII приложения находят граничную точку λ_кр.

9. Если λ_эмп< λ_кр, то различия между распределениями признака незначимы; если λ_эмп> λ_кр, то различия между распределениями признака значимы.

Пример. В продовольственном магазине проведены контрольные взвешивания проданной колбасы. Объем выборки n = 100. Полученные данные указаны в таблице.

недовес, г
частота

Определить с помощью λ – критерия Колмогорова-Смирнова на уровне значимости α=0,05, согласуются ли данные выборки с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Решение. : различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением незначимы.

: различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением значимы.

Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,10] имеет следующий вид:

Заполним таблицу:

x_j	f_эмп_j	f_эмп_j/n	∑ f*_эмп_j	∑ f*_теор_j	d_j
		0,10	0,10	0,1
		0,11	0,21	0,2	0,01
		0,08	0,29	0,3	0,01
		0,09	0,38	0,4	0,02
		0,12	0,50	0,5
		0,10	0,60	0,6
		0,13	0,73	0,7	0,03
		0,15	0,88	0,8	0,08
		0,12	1,00	0,9	0,1

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых двух столбцов взяты из условия. Каждое число второго столбца делим на n = 100 и результат записываем в 3 столбец. Каждое число 4 столбца равно сумме числа из этой же строки 3 столбца и предыдущего числа 4 столбца. Каждое число 1 столбца подставляем в формулу f^*_теор = x_j /10 и результат записываем в 5 столбец. 6 столбец – модуль разности 4 и 5 столбцов. Наибольшее число в 6 столбце d_max =0,1; λ_эмп =0,1 = 1.

По уровню значимости α = 0,05 из таблицы VI приложениия находим граничную точку λ_кр = 1,358. Поскольку λ_эмп< λ_кр(1 < 1,358), то принимаем гипотезу на уровне значимости α = 0,05. Данные выборки согласуются с равномерным распределением на отрезке [0,10].