Операции над нечеткими отношениями
Операции над нечеткими отношениями аналогичнысоответствующим операциям для обычных отношений. Однако, как и для нечеткихтеоретико-множественных операций, они могут выполняться различными способами.Ниже приводятся определения операций над нечеткими отношениями с использованиемтреугольных нормы и конормы (см. раздел 1.3).
Определение 38.Пересечением нечетких отношений 
и 
, заданных на 
, называется нечеткоеотношение 
сфункцией принадлежности 
, 
, где 
‑ t-норма.
Определение 39.Объединением нечетких отношений и , заданных на , называется нечеткоеотношение 
сфункцией принадлежности 
, , где 
‑ s-норма (t-конорма).
Пересечение и объединение нечетких отношений " 
приблизительноравно 
" и" намногоменьше, чем "из примеров 5 и 6 показаны на рис. 12. В качестве t-нормы и s-нормыиспользовались операции нахождения минимума и максимума, соответственно.
Рисунок 12 -Операции над нечеткими отношениями из примеров 5 и 6
Определение 40.Дополнениемнечеткого отношения 
, заданного на , называется нечеткоеотношение 
сфункцией принадлежности 
, .
Определение 41.Максминной композицией (произведением) нечетких отношений и , заданных на 
и 
, называетсянечеткое отношение 
на множестве с функцией принадлежности 
, , 
, 
. В случае конечныхмножеств 
матрицанечеткого отношения получается как максминное произведениематриц и . Эта операциявыполняется как обычное произведение матриц, в котором операция поэлементногоумножения заменена на нахождение минимума, а суммирование - на нахождениемаксимума. Аналогично определяются операции минимаксной имаксимультипликативной композиции. Композиция играет ключевую роль в нечеткомлогическом выводе.
Пример 8.Заданы нечеткие отношения 
и 
. Тогда максминная ( 
), минимаксная ( 
) имаксимультипликативная ( 
) композиции этих нечетких отношенийопределяются такими матрицами: 
; 
; 
.
Определение 42.Нечеткое отношение на называется транзитивным, если 
.Другими словами, для любой пары степень выполнения отношения должна быть неменьше степени выполнения отношения 
.
Определение 43.Транзитивным замыканием 
нечеткого отношения называется следующее отношение 
, где 
.
Нечеткая логика
Нечеткая логика это обобщение традиционной аристотелевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: "очень истинно", "более-менее истинно", "не очень ложно" и т.п. Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.