Области применения статистического моделирования
Статистическое моделирование широко применяется для решения задач из различных областей человеческого знания. Среди них такие актуальные области как биология, химия, физика, экономика и другие.
Среди задач, где может быть использован и часто используется этот подход, часто указывают следующие задачи:
- численное интегрирование,
- расчеты в системах массового обслуживания,
- расчеты качества и надежности изделий,
- расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину,
- передача сообщений при наличии помех,
- задачи теории игр,
- задачи динамики разреженного газа,
- задачи дискретной оптимизации,
- задачи финансовой математики (оценивание опционов и др.)
и многие другие.
Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
Способ усреднения подынтегральной функции.
В качестве оценки определённого интеграла 
принимают
,
где n – число испытаний; 
- возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования 
, их разыгрывают по формуле 
, где 
- случайное число.
Дисперсия усредняемой функции 
равна
,
где 
, 
. Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30) 
, или исправленную дисперсию (при n<30) 
, где 
.
Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.
В качестве оценки интеграла 
, где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату 
, 
, принимают
, (*)
где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек 
, принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять 
; в этом случае формула (*) имеет вид
,
где n – число испытаний.
В качестве оценки интеграла 
, где область интегрирования V принадлежит единичному кубу , 
, 
, принимают 
, где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек 
, принадлежащих области интегрирования.
Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять 
, в этом случае формула (**) имеет вид 
, где n – число испытаний.
Задача: найти оценку 
определённого интеграла 
.
Решение. Используем формулу . По условию, a=1, b=3, 
. Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка 
, где возможные значения 
разыгрывается по формуле 
.
Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.
Случайные числа 
взяты из таблицы приложения.
Таблица 1.
| Номер i |
| 
| 
|
| 0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876 | 1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752 | 2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752 |
Из таблицы 1 находим 
. Искомая оценка
