Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности

xn = x1,x2,...,xn

n1 < n2 < … < nk < ...

xnk = xn1,xn2,...,xnk

 

xnk → a (k → ∞)

 

Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.

 

n = αβγ..ω ==> xn = 0,αβγ..ω

n = 15, 150, 1500

x15 = 0,15

x150 = 0,15

x1500 = 0,15

 

xnk ϵ [0,1 ; 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.

 

 

Теорема Вейерштрасса:

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

A ≤ xn ≤ b ∀ n

[a,b] = p0

p1 < p0

p0 > p1 > p2 > …

Пусть xn1 ϵ p1

xn2 ϵ p2, n2 > n1

xn3 ϵ p3, n3 > n2

xnk ϵ pk, nk > nk–1

 

a ≤ xnk ≤ bk

ak → c

bk → c

==> xnk → c

 

Всякая ограниченная последовательность имеет предел.

 

 

Если xn – неограниченая, то существует подпоследовательность xnk, имеющая бесконечный предел.

∀ A ∃ KA : k > KA ==> yk > A

(∀ KA > A xnk k > KA xnk > k > KA > A)

 

Доказательство:

Пусть xn не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность xn1. Среди элементов xn1+1, xn1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:

1. xn1 > 1.

Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности xn2.

2. xn2 > 2, n2 > n1.

Тогда на k-ом шаге будет

k. xnk > k, nk > nk-1.

Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.

xn → +∞.

 

 

Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.

Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.

 

В любой последовательности xn существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти xn.

 

xn = (-1)n

xnk = x2k = (-1)2k = 1

xnk = x2k+1= (-1)2k+1 = -1.

 

Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:

Q = {xn}, a ϵ R.

a – 1 < xn1 < a + 1

a – ½ < xn2 < a + ½

a – 1/3 < xn3 < a + 1/3

a – 1/k < xnk < a + 1/k

 

 

a = infm(supm≥n xn) = limm→∞ am

 

I. Неравенство xn ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.

a + ℰ > a, a+ℰ – не нижняя граница для {am}.

∃ m0 : amo < a + ℰ amo = supn>=mo xn ≥ xn (n>=mo) ==> ∀ n ≥ m0 xn ≤ amo < a + ℰ

 

II. Неравенство xn > a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.

Пусть n = 1,2,...,N (конечно). Тогда

∀ n > N xn ≤ a – ℰ

m > N am = supnm xn ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.

 

 

Предельная точка

 

f D a – предельная точка;

A = limxa f(x)

 

I. Если {xn} c D, xn ≠ a, xnn→∞ a, то lim(xn) = A, 0 < |x-a| < δ.

 

II. ∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.

 

D f(x), g(x);

∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B ==> A ≤ B.

 

{xn}сD, xn ≠ a, xn → a

f(xn) →n→∞ A

g(xn) →n→∞ B

 

f(x) < g(x)

limx→af(x) ≤ limx→ag(x)

 

∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.

δ' = min(δ,δ0)

x ϵ D, |x-a| < δ' ==> |x-a| < δ

|x-a| < δ0

h(x) = f(x) ==> |h(x) – A| < ℰ

∀ ℰ > 0 ∃ δ' > 0 : x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ' ==> |h(x) – A| < ℰ.

Доказательство:

||g(x)| - |B|| ≤ |g(x) – B| < |B|/2

|g(x)| ≥ |B| - |B|/2 = |B|/2 > 0

g(x) ≠ 0

x ϵ D^(a-δ, a+δ)

x ≠ a

f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ)\{a} = D'

{xn} с D', xn ≠ a, xnn→∞→ a

limx→a f(xn)/g(xn) = A/B ­

 

Критерий Коши для функций:

∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0 : x,y ϵ D, 0 < |x-a| < δ, 0 < |y-a| < δ ==> |f(x) – f(y)| < ℰ

 

 

{xn} c D, xn ≠ a, xn → a, {yn} c D, yn ≠ a, yn → a,

∃ limn→∞ f(xn) ∃ limn→∞ f(yn)

limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(yn)

Доказательство:

zn : x1,y1,x2,y1,x3,y3,....

zn c D, zn ≠ a, zn → a ==> ∃ limn→∞ f(zn) = A

f(z2n-1) = f(xn) ==> limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(z2n-1) = A

f(z2n) = f(yn) ==> limn→∞ f(yn) = limn→∞ f(z2n) = A

 

Монотонная функция

f(x) c D монотонно возрастает (не убывает), если

∀ x1,x2 ϵ D x1 <(≤ ) x2 ==> f(x1) <(≤ ) f(x2)

 

Da+ = {x ϵ D : x > a} Da= {x ϵ D : x < a}

правая предельная точка левая предельная точка

всякая предельная точка является либо правой предельной точкой,

либо левой предельной точкой, либо сразу и той, и другой.

 

f/Da+ = fa+(x) f/Da– = fa(x)

limx→a+0 f(x) = limx→a fa+(x) limx→a-0 f(x) = limx→a fa(x)

 

 

f(x) D, f(x) D,

∀ x f(x) ≤ M < +∞ ∀ x f(x) ≥ M > –∞

a – левая предельная точка a – правая предельная точка

∃ limxa-0 f(x) = supDaf(x) ∃ limxa+0 f(x) = infDa+ f(x)

 

A – ℰ < f(x) ≤ f(x) A ==> |f(x) – A| < ℰ

|fa(x) – A| < ℰ

 

{xn} c D, xn ≠ a, xn → a

{xn} c D, xn → +∞

limn→∞ f(xn) = A

∀ ℰ > 0 ∃ M : x ϵ D, x > M ==> |f(x) – A| < ℰ

 

{xn} c D, xn → –∞

limn→∞ f(xn) = A

∀ ℰ > 0 ∃ M : x ϵ D, x < M ==> |f(x) – A| < ℰ

 

{xn} c D, xn → +∞

limn→∞ f(xn) = +∞

∀ M ∃ δ>0 : x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) > M

 

{xn} c D, xn → –∞

limn→∞ f(xn) = –∞

∀ M ∃ δ>0 : x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) < M

 

∀ M D ∩ (M , ∞) or ∀ M ∃ x ϵ D : x > M

состоит из бесконечного числа элементов

 

f(x), g(x) D, a – предельная точка

∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B

 

f(x) D, a ϵ D

  1. a – изолированная точка множества D ==> f непрерывна в точке a
  2. a – предельная точка D ==> f непрерывна в точке a <==> ∃ limxaf(x) = f(a)

 

Функция Дирихле:

1 – x рациональный,

f(x)

0 – x иррациональный.

 

Определение непрерывности в точке a:

∀ ℰ>0 ∃ δ>0 : xϵD, 0<|x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ ,

здесь требование x ≠ a излишне:

∀ ℰ>0 ∃ δ>0 : x ϵ D, |x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ

 

В терминах последовательности:

∀ {xn} c D, xn → a ==> f(xn) → f(a)

 

Пусть D, f(x), g(x) – непрерывны в точке a ϵ D. Тогда непрерывны в точке a:

  1. f(x) ± g(x)
  2. f(x) ⋅ g(x)
  3. f(x)/g(x) (g(a) ≠ 0)
  4. |f(x)|

 

Любой полином будет непрерывной функцией:

f(x) = x:

x2 = x⋅x

x3 = x⋅x2

xn = x⋅xn-1

 

k=0Σn ak⋅xk = P(x)

P(x)/Q(x)

 

|sinx| ≤ |x|, |x| ≤ π/2

k ≤ |x|,

|sinx| ≤ k ≤ |x|

limxasinx = sina

0 ≤ |sinx – sina| = |2⋅sin[(x-a)/2]⋅cos[(x+a)/2]| ≤ 2⋅|(x-a)/2|⋅1 = |x-a|

0 ≤ |sinx – sina| ≤ |x-a|

 

 

f(x), D g(y), Δ

f[D] c Δ

h(x) = g(x), D

Если f непрерывна в точке a ϵ D g непрерывна в точке b = f(a) ϵ Δ, тогда h(x) непрерывна в точке a.

∀ ℰ>0 ∃ σ>0 : y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ

Доказательство:

ℰ>0 ∃ σ>0 : y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ

σ>0 ∃ δ : xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ

∀ ℰ>0 ∃ δ>0 : xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ ==> |g(f(x))–g(b)| < ℰ

|f(x)–b| |h(x)–h(a)| (т.к. g(b)=g(f(a))=h(a) )

f(x), D

g(y), Δ h(x)=g(f(x))

f[D] c Δ

f непрерывна в точке a, g непрерывна в точке b=f(a) ==> h(x) непрерывна в точке a

limx→ag(f(x)) = g(limx→af(x)). Доказано.

 

 

Теорема о пределе суперпозиции

f(x), D

g(y), Δ

f[D] c Δ , a – предельная точка D

∃ limxaf(x) = b ϵ Δ, g непрерывна в точке b ==> ∃ limxag(f(x))=g(b)

limgx→a(f(x)) = g(b) = g(limx→af(x))

f’(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, g непрерывна в точке b

f(x), x ≠ a

f’(x) =

b, x = a

f’(x) на Dv{a}

limx→af’(x) = limx→af(x) = b = f’(a) ==> f непрерывна в точке a

 

Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на каком-то множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множества.

f(x) [a,b], f непрерывна на [a,b], f(x) ограничена на [a,b]

∀ x ϵ [a,b] |f(x)| ≤ M, 0 < M < ∞

  1. x1 ϵ [a,b] |f(x1)| > 1
  2. x2 ϵ [a,b] |f(x2)| > 2
  3. x3 ϵ [a,b] |f(x3)| > 3

  1. xn ϵ [a,b] |f(xn)| > n

{xn} c [a,b] {xnk} : limx→∞xnk = x0

a ≤ xn ≤ b a ≤ xnk ≤ b ==> a ≤ x0 ≤ b

limx→xof(x) = f(x0)

limk→∞f(xnk) = f(x0)

|f(xnk)| > nkk→∞→ ∞

 

-∞ < inf[a,b]f(x) ≤ sup[a,b]f(x) < +∞, sup[a,b]f(x) = A

∃ x0 ϵ [a,b] : f(x0) = A

A-1 ∃ x1 ϵ [a,b] : A-1 < f(x1) ≤ A

A-½ ∃ x2 ϵ [a,b] : A-½ < f(x2) ≤ A

. . .

A-1/n ∃ xn ϵ [a,b] : A-1/n < f(xn) ≤ A

∃ {xnk} : limx→∞xnk = x0 ϵ [a,b]

f(x0) = limk→∞f(xnk) = A = sup[a,b]f(x)

A – 1/nk < f(xnk) ≤ A

 

Теорема Больцано-Коши:

f, [a,b] – непрерывна, f(a) ⋅ f(b) < 0 (разных знаков) ==> ∃ c ϵ (a,b) : f(c) = 0

Доказательство:

Пусть f((a+b)/2) ≠ 0.

[a1,b1], f(a1)⋅f(b1) < 0.

Снова разделим пополам данный промежуток.

[a2,b2], f(a2)⋅f(b2) < 0.

Снова разделим пополам промежуток. Так, продолжая этот процесс, мы либо найдём точку c, где f(c)=0, либо такую точку не найдём, тогда последовательность

[an,bn], f(an)⋅f(bn) < 0,

[an,bn] c [an-1,bn-1],

bn-an = (b-a)/2n

стремится к нулю limn→∞ (b-a)/2n = 0.

{c} = ∩n=1 [an,bn]

xn – конец промежутка [an,bn], f(xn) > 0

yn – другой конец [an,bn], f(xn) < 0

xn → c, f(xn) > 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≥ 0

==> ==> f(c) = 0.

yn → c, f(yn) < 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≤ 0

Вывод из теоремы: если функция принимает на концах интервала [a,b] два значения одного знака, рассмотрим функцию y = ξ : f(a) < ξ < f(b). Тогда ∃ c : f(c) = ξ.

 

Доказательство:

f(a) < f(b), f(a) < ξ < f(b) ==> ∃ c ϵ (a,b) : f(c) = ξ

g(x) = f(x) – ξ, g(a) = f(a) – ξ < 0,

g(b) = f(b) – ξ > 0;

∃ c : g(c) = 0 ==> ∃ c : f(c) – ξ = 0.

 

 

<a,b> – некоторый промежуток, т.е.: (a,b), (a,b], [a,b), [a,b].

Пусть f(x) определена и непрерывна на <a,b>. Тогда образ этого промежутка f[<a,b>] – тоже промежуток (это не означает, что функция непрерывна на этом промежутке, если только она не монотонна).

 

Доказательство:

Пусть A = inf<a,b> f(x), B = sup<a,b> f(x). Доказать, что (A,B) c f[<a,b>].

Возьмём ξ ϵ (A,B), ∃ c ϵ <a,b> : f(c) = ξ, т.к.:

A < ξ < B ==> ∃ x1 ϵ <a,b> : f(x1) < ξ;

∃ x2 ϵ <a,b> : f(x2) > ξ;

Пусть x1 < x2. Тогда [x1,x2] c <a,b>, f(x) непрерывна на [x1,x2], f(x1) < ξ, f(x2) > ξ, ==>

==> по т. Больцано-Коши ∃ c ϵ (x1,x2) : f(c) = ξ.

 

Теорема: f определена на <a,b> и монотонна, если область значений f является промежутком, то f – непрерывна.

Доказательство:

Предположим, это не так. Тогда функция имеет разрыв.

Пусть функция возрастет: x1 < x2 ==> f(x1) ≤ f(x2), c ϵ (a,b) – точка разрыва. Тогда ∃ f(c-0), f(c+0):

f(c–0) = supa<x<cf(x) ≤ f(c) x < c ==> f(x) ≤ f(c)

==> ==> f(c-0) ≤ f(c) ≤ f(c+0), т.е. функция в точке c

f(c+0) = infc<x<bf(x) ≥ f(c) x > c ==> f(x) ≥ f(c) непрерывна, разрыва нет, противоречие.

 

f(x) = xh

f-1(y) = y1/n =

Предположим, имеется число a > 0, ar, r ϵ ℚ. Пусть r = ,

1. ar = (a1/n)m = (am)1/n = am/n

2. ar1⋅ar2 = ar1+r2

3. a-r = 1/ar

4. r1 < r2 ==> ar1 < ar2, a > 1

5. r1 < r2 ==> ar1 > ar2, 0 < a < 1

 

a > 1, ar /`

r = ∞ n = [r], a = 1 + λ, λ > 0

n → ∞, ar = (1 + λ)2 > (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ → ∞

r = -r = p = 0, p = -r.

 

0 < a < 1 :

1. ar = 1/(1/ar) = 1/(1/a)r → 0

2. 1/a > 1, (1/a)r → ∞

3. (ar1)r2 = ar1r2

 

a > 1 :

a1/n – 1 = – 1

 

= 1 + λ, λ > 0 :

a = ( n = (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ ==> a-1 > n⋅λ ==> λ < (a-1)/n ==> – 1 < (a-1)/n

a1/n – 1 < (a-1)/n

0 < r < 1:

1/(n+1) < r ≤ 1/n

ar – 1 ≤ a1/n – 1 < (a-1)/n = (n+1)/n ⋅ (a-1) ⋅ 1/(n+1), (n+1)/n = 1n+1/n ≤ 2

(a-1)/n < 2⋅(a-1)⋅r

 

-1 < r < 0:

0 < -r < 1

0 < 1 – ar = 1 – ar = 1 – 1/a-r = (a-r – 1)/a-r < a-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)

0 < 1 – ar < a-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)

|r| < 1 ==> |ar – 1| ≤ 2⋅(a-1)⋅|r|

Неравенство Бернулли

 

a > 1, ar/`

c ϵ ℚ

r,p ϵ ℚ, r,p < c

|r - p| < 1,

|ar - ap| = ap⋅|ar-p - 1| < ac⋅|ar-p - 1| ≤ ac⋅2⋅(a-1)⋅|r-p| = Mc⋅|r-p|, Mc = ac⋅2⋅(a-1)

 

ax, x notϵ ℚ, c > x, c ϵ ℚ. rn ϵ ℚ, rn → x, rn < c

∃ limn→∞arn = ax

Доказательство:

rn, rm

∃ N : |rn - rm| < 1 для n,m > N

|arn - arm| < Mc⋅|rn - rm| < Mc⋅(ℰ/Mc) = ℰ ==> критерий Коши доказан, предел существует

rn → x, pn → x

0 ≤ |arn - apn| < Mc⋅|rn - pn| → 0

|arn -ax| < Mc⋅|rn - x| ==> справедливо как для ℚ, так и для иррац.

|ax - ay| c > x,y, c ϵ ℚ, rn ϵ ℚ rn → x, rn < c

pn ϵ ℚ pn → y, pn < c

|arn - apn| < Mc⋅|rn - pn|

limx→y ax = ay

x < y ==> ax < ay

ax = limn→∞ arn, rn → x, rn ϵ ℚ

ay = limn→∞ apn, pn → x, pn ϵ ℚ

∃ N : n > N ==> rn < pn ==> arn < apn

↓ ↓

ax ≤ ay

x < λ < μ < y, λ,μ ϵ ℚ

rn > λ , pn > μ ,

arn < aλ < aμ < apn

ax ≤ aλ < aμ

ay ≤ aλ < aμ

ax < ay

 

ax⋅ay = ax+y:

rn → x, pn → y

arn⋅apn = arn+pn → ax⋅ay = ax+y

 

xn → ∞ axn → +∞ lim ax = +∞

[xn] → ∞ axn ≥ [axn] → ∞

 

limx→–∞ ax= 0

(ax)y = axy:

x < 0:

0 < b < 1, b = 1/a, a > 1

by = (1/a)y = 1/ay

x,y, ϵ ℕ:

y = m

(ax)m = ax⋅ax⋅…⋅ax = axm

y < 0:

–m > 0

(ax)m = 1/ax(–m) = 1/a-xm = axm

y = 1/n:

(ax)1/n = n√ax

(ax/n)n = a(x/n)n = ax ==> ax/n = n√ax = (ax)1/n

(ax)1/n = ax/n

y = m/n:

(ax)m/n = ((ax)1/n)m = (ax/n)m = a(x/n)m = ax(m/n)

pn → y, pn ϵ ℚ:

(ax)pn = axpn

x⋅pn → x⋅y

(ax)pn → (ax)y = axpn → axy

logax, xα

a > 1: 0 < a < 1: a = 1:

ax

 

ax 1 logax 1 ax

 


1 1

 

 

loga (xy) = loga x = loga y:

aα = aβ ==> α = β

aloga (xy) = x⋅y:

aloga x + loga y = aloga x ⋅ aloga y = x⋅y

loga x = logb x/logb a;

log1x

 

a = e = lim (1+1/n)n

e x = exp(x)

loge x = ln x

 

xα :

α = m/n:

xm/n = (x1/n)m .

 

xα = e αln x , x > 0

xα – непрерывная функция, т.к. e y – непрерывная.

 

(x⋅y)α = xα ⋅ yα :

(x⋅y)α = e αln (xy) = e αln xe αln y = xα ⋅ yα

 

xα = e αln x = aαlog a x

 

Замечательные пределы

 

 

 

 

 

[xn] ≤ xn ≤ [xn]+1

(1 + 1/([xn]+1))[xn] < (1 + 1/xn)xn ≤ (1 + 1/[xn])[xn]+1

(1 + 1/([xn]+1))[xn]+1 ⋅ (1/(1+1/([xn+1]))) < (1 + 1/xn)xn < (1 + 1/[xn])[xn] ⋅ (1+1/[xn])

 

e e

e

 

y = -x

(1 – 1/y)-y = ( (y-1)/y )-y = ( y/(y-1) )y = ( (y-1+1)/(y-1) )y = (1 + 1/(y-1) )y =

= (1 + 1/(y-1) )y-1⋅(1+1/(y-1)) → e⋅1 = e

z = 1/x

limz→0 (1+z)1/z = e

limx→0 (1+x)1/x = e

 

limx→0 (ln(1+x))/x = limx→0 (1/x)⋅ln(1+x) = limx→0 ln(1+x)1/x = ln (limx→0(1+x)1/x)= ln e = 1

limx→0 (loga(1+x))/x = limx→0 (ln (1+x))/(x⋅ln a) = 1/ln a

 

limx→0 (ax - 1)/x = limy→0 y/(loga (1+y)) = ln a

limx→0 (ex - 1)/x = 1

 

limx→0 (eαln (1+x) - 1)/x = limx→0 (eαln (1+x) - 1)/α⋅ln (1+x) ⋅ (α⋅ln (1+x))/x = α

 

|sin x| ≤ x

x > 0, B C

0 ≤ sinx ≤ x tg x

0 ≤ (sin x)/x ≤ 1 O A

SOAB = S∆OAC

x/2 ≤ ½ ⋅ 1 ⋅ tg x

x ≤ tg x

x ≤ sinx/cosx,

cosx ≤ sinx/x ≤ 1

 

1 1 1

 

 

Производные

s(t) s(t+h)

s(t), s(t+h), h – приращение.

s’(t) = v(t).

 


α

 

 

 

 


a F Q b

 

(a,b) f(x)

x0 ϵ (a,b)

 

f(x) = xα, x > 0

x0 > 0

limh→0((x0 + h)α – x0α)/h = limh→0(x0α⋅(1 + h/x0)α – x0α)/h = α ⋅ x0α -1

 

∃ f’(x0), g’(x0), g(x0) ≠ 0 ==>

∃ (f/g)’(x0) = ( f’(x0)⋅g(x0) – f(x0)⋅g’(x0) )/(g’(x0))2

limh→0 [f(x0+h)/g(x0+h) – f(x0)/g(x0)]⋅1/h =

= limh→0(1/h)⋅[( f(x0+h)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0+h) )/g(x0+h)⋅g(x0)] =

= limh→0 (1/h)⋅[( f(x0+h)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0) + f(x0)⋅g(x0) – f(x0)⋅g(x0+h) )/g(x0+h)⋅g(x0)] =

= limh→0 [(f(x0+h) – f(x0))/h ⋅ g(x0) – (g(x0+h) – g(x0))/h ⋅ f(x0)] ⋅ 1/(g(x0+h)⋅g(x0))

 

k=0n ak⋅xk]’ = Σk=1n ak⋅kxk-1

 

(tg x)’= (sin x/cos x)’ = =

 

 

Дифференцирование

f(a) = b

 


 

b

 

 

 

a h

 

f(a+h) – (α⋅h + β) = ϕ(h) ϕ(h)/h –h→0→0 = f(a) – β, β = f(a) ==>

f(a+h) – f(a) – α⋅h = ϕ(h) (f(a+h) – f(a) – α⋅h)/h = (f(a+h) – f(a))/h – α –h→0→ 0 ==>

α = f’(a), т.е. существует «хорошее» линейное приближение <==> существует f’(a) и это линейное приближение имеет вид f’(a)⋅h + f(a) ≈ f(a+h).

Верно и обратное: пусть существует производная, тогда существует такое приближение.

f’(a)⋅h= α⋅h

 

ϕ(h) = f(a+h) – f’(a)⋅h – f(a) = [f(a+h) – f(a)] – f’(a)⋅h

ϕ(h)/h = ( f(a+h) – f(a) )/h – f’(a) –h→0→0

 

f(x), aϵD,

∃ δ > 0 : |x-a| < δ,

x ϵ D ==> f(x) < f(a)

 

Теорема Ферма

(a,b) f(x)

c ϵ (a,b) – лок. экстремум.

Если в точке с существует производная, то эта производная должна равняться нулю:

∃ f’(c) ==> f’(c) = 0.

Доказательство:

f’(c) = limx→c (f(x)-f(c))/(x-c)

Пусть с – локальный максимум, тогда

справа: f(x) ≤ f(c), x>c,

limx→c+0 (f(x)-f(c))/(x-c) ≤ 0

слева: f(x) ≤ f(c), x<c, ==> f’(c) = 0.

limx→c–0 (f(x)-f(c))/(x-c) ≥ 0

∃ f’(c)

 

Пусть f(x) определена на [a,b] и

1. f(x) – непрерывна;

2. ∃ f’(x) на (a,b); ==> ∃ ξ ϵ (a,b) : f’(ξ) = 0

3. f(a) = f(b);

 

f(x) непрерывна на (a,b), с ϵ (a,b),

∀ x ≠ c ∃ f’(x)

(a,c) f’(x) ≥ 0 c – точка max

(c,b) f’(x) ≤ 0

∀ x ≠ c ∃ f’(x)

(a,c) f’(x) ≤ 0 c – точка min

(c,b) f’(x) ≥ 0

 

f’’(x) = (f’)’(x)

f(n+m)(x) = [f(n)](m)(x)

[α⋅f(x) + β⋅g(x)](n) = α⋅f(n)(x) + β⋅g(n)(x)

 

Теорема:

Предположим, что f(x), g(x) определена на (a,b), ∃ f(n)(x), g(n)(x). Тогда

(f⋅g)(n)(x) = Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k)(x).

Доказательство:

Докажем по индукции:

(f⋅g)’(x) = f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

(f⋅g)(n+1)(x) = d/dx (f⋅g)(n)(x) = [(f⋅g)(n)]’(x) = [Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k)(x)]’ =

= Σk=0n cnk ⋅ [f(k+1)(x) ⋅ g(n-k)(x) + f(k)(x)⋅g(n-k+1)(x)] =

= Σk=0n cnk ⋅ f(k+1)(x) ⋅ g(n-k)(x) + Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k+1)(x)

m = k+1:

Σk=0n cnk ⋅ f(k+1)(x) ⋅ g(n-k)(x) = Σm=1n+1 cnm-1 ⋅ f(m)(x) ⋅ g(n+1–m)(x)

k = m:

Σm=1n+1 cnm-1 ⋅ f(m)(x) ⋅ g(n+1–m)(x) + Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k+1)(x) =

= Σk=1n+1 cnk-1 ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n+1–k)(x) + Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k+1)(x) =

= f(x)⋅g(n+1)(x) + f(n+1)(x)⋅g(0)(x) + Σk=n [cnk + cnk-1]⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k+1)(x) =

= Σk=0n cnk ⋅ f(k)(x) ⋅ g(n-k)(x).

 

f(x), g(x) g(x) ≠ 0 (x ≠ a)

f(x)/g(x) –xa→0 ~ f(x) = o(g(x)) – функция f(x) при x→a стремится к нулю быстрее, чем g(x)

Свойства:

f1(x) = o(g(x))

f2(x) = o(g(x))

1. [f1(x) + f2(x)]/g(x) = f1(x)/g(x) + f2(x)/g(x) → 0

2. f1(x) + f2(x) = o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x))

3. f(x)⋅h(x) = o(g(x)), |h(x)| ≤ M

 

|f(x)|/|g(x)| ≤ const ~ f(x) = O(g(x)) – порядок малости одинаков у функций f(x) и g(x)

 

f(x) (a-δ; a+δ), δ>0

∃ f(n)(a).

Формула Тейлора

f(x) = Σk=0n (f(k)(a))/k! (x-a)k = rn(x)

rn(x) = o((x-a)n), limx→a rn(x)/(x-a)n = 0

Доказательство:

Pn(x) = Σk=0n (f(k)(a))/k! ⋅ (x-a)k

Pn(a) = k!⋅(f(k)(a))/k! = f(k)(a)

rn(k)(a) = 0, k ≤ n ==> rn(x) = o((x-a)n):

n=1. r1(x) = f(x) – f(a) – f’(a)⋅(x-a) ==> r1’(a) = 0 => r1(x) = o(x-a)

r1(x)/(x-a) = (f(x)–f(a))/(x-a) – f’(a) –x→a→ 0

n=n-1. rn’(x) = ϕ(x), ϕ(k)(x) = rn(k+1)(x), x=a => rn(k+1)(x) = 0, k+1 ≤ n, k ≤ n-1

ϕ(x)/(x-a)n-1x→a→ 0

rn(x)/(x-a)n = (rn(x) – rn(a))/(x-a)n = rn’(ξ)⋅(x-a)/(x-a)n = rn’(ξ)/(x-a)n-1 =

= ϕ(ξ)/(ξ-a)n-1 ⋅ (ξ-a)n-1/(x-a)n-1, ξ ϵ (a,x), ϕ(ξ)/(ξ-a)n-1 →0, |(ξ-a)n-1/(x-a)n-1| < 1 ==>

==> ϕ(ξ)/(ξ-a)n-1 ⋅ (ξ-a)n-1/(x-a)n-1x→a→ 0 ⋅ 1/ℰ = 0.

 

Разложение по форме Тейлора с остатком в виде Пеано

f’(a) = f’’(a) = … = f(k-1)(a) = 0

f(k)(a) ≠ 0, k ≤ n

f(x) = f(a) + 0⋅(x-a) + 0⋅(x-a)2 + … + 0⋅(x-a)k-1 = f(k)(a)/k! ⋅ (x-a)k + o((x-a)k).

f(x) – f(a) = (x-a)k ⋅[f(k)(a)/k! + o((x-a)k)/(x-a)k]

k – нечётное ==> нет экстремума

sgn = sgn f(k)(a) k – чётное ==> есть экстремум

f(k)(a) > 0 ==> f(x) – f(a) ≥ 0 – min

f(k)(a) < 0 ==> f(x) – f(a) ≤ 0 – max

 

f(x)/g(x) = [f(n)(a)/n! ⋅ (x-a)n + o((x-a)n)] / [g(m)(a)/m! ⋅ (x-a)m + o((x-a)m)] =

= [f(n)(a)/n! ⋅ (x-a)n–m + o((x-a)n)/(x-a)m] / [g(m)(a)/m! + o((x-a)m)/(x-a)m]

n=m. f(x)/g(x) = [f(n)(a)/n! + o((x-a)n)/(x-a)n] / [g(m)(a)/m! + o((x-a)m)/(x-a)m]

 

Вычисление с погрешностью

rn(x) = (x-a)p⋅H(x,a,p)

f(x) = Σk=0n (f(k)(a))/k! (x-a)k + (x-a)p⋅H(x,a,p)

ϕ(t) = Σk=0n (f(k)(t))/k! (x-t)k + (x-t)p⋅H(x,a,p), t ϵ (a–δ, a+δ),

∃ ϕ’(t)

ϕ(a) = f(x) t

ϕ(x) = f(x) |––––––––––––|

∃ ξ ϵ (a,x) : ϕ’(ξ) = 0 a x

ϕ’(t) = Σk=0n (f(k+1)(t))/k! (x-t)k + (-1)⋅k⋅(x-t)k-1⋅ f(k)(t))/k! + (-1)⋅p⋅(x-t)p-1⋅H(x,a,p) =

= f’(t) + f’’(t)⋅(x-t) – f’(t) + f’’’(t)/2! (x-t)2 – f’’(t)/2! ⋅2⋅(x-t) + …

… + f(n+1)(t)/n! (x-t)n – f(n)(t)/n! ⋅n⋅(x-t)n-1 – p⋅(x-t)p-1 ⋅H(x,a,p) =

= f(n+1)(t)/n! (x-t)n – p⋅(x-t)p-1⋅H(x,a,p)

ξ = a + θ⋅(x–a), 0 < θ < 1

f(n+1)(a + θ⋅(x–a))/n! (x–a–θ⋅(x–a))n = p⋅(x–a–θ⋅(x–a))p-1⋅H(x,a,p)

f(n+1)((x–a)(1–θ))/n! ((x–a)(1–θ))n = p⋅((x–a)(1–θ))p-1⋅H(x,a,p)

H = [f(n+1)((x–a)(1–θ)) / (n!⋅p)] ⋅ ((x–a)(1–θ))n+1–p

(x-a)p⋅H = [f(n+1)((x–a)(1–θ)) / (n!⋅p)] ⋅(1–θ)n+1–p (x-a)n+1 < погрешности, зависящей от n.

остаток формулы Тейлора в форме Лагранжа: f(n+1)(a + θ⋅(x–a))/(n+1)! ⋅(x-a)n+1

остаток формулы Тейлора в форме Коши: f(n+1)(a + θ⋅(x–a))/n! ⋅(1–θ)n⋅(x-a)n

 

= (1+29)1/3= = 3 = 3⋅(1+1/9)1/3 = 3⋅[1 + 1/3⋅x – 1/3⋅2/3⋅1/2⋅1⋅x2 + 1/3⋅2/3⋅5/3⋅1/(1+θx)8/3⋅1/3!⋅x3] = 3⋅[ 1 + 1/27 – 1/729 + 5/95⋅1/(1+θx)8/3] =